2022-2023学年福建省三明市尤溪县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市尤溪县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在正方形的外侧，作等边，则为(    )
    

A.  B.  C.  D.

4. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若：：，则四边形与的面积比是(    )
    

A. ： B. ： C. ： D. ：

6. 甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频本，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是(    )

A. 从一个装有个白球和个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B. 任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率

7. 如图，已知矩形中，下列条件能使矩形成为正方形的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 如图，中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 矩形的两条对角线相交于点，若，则的长为______．
12. 一个不透明的袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是______．
13. 对于解一元二次方程，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是______．
14. 对于一元二次方程：，下列是小聪求解的推理过程：
    解：两边都减，得；
    两边分别分解因式，得；
    两边都除以，得；
    两边都减，得
    以上推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
15. 如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上．当与相似时，的长为______．

16. 解方程：；
    ．
17. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，请你计算出古井水面以上部分深度是多少米？

18. 某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题．
    若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“时代”的概率是______；
    若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率．
19. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点上，以为一边画格点，使得∽其中，，，．
    在图中画出；
    证明：∽．

20. 如果，，，四个数成比例，即，那么，其变形根据是______；反过来，如果都不等于，可以得出比例式，那么还可以得出其它哪些不同的比例式直接写出其中三个正确的比例式即可．
    如果，那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
21. 已知：如图，在中，．
    求作：斜边边上的中线要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
    在的条件下，求证：．

22. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知．
    求证：∽；
    若，，求的长．

23. 有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路阴影部分，余下的场地建成草坪．
    
    如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
    请写出两条小路的面积之和______用含、的代数式表示；
    若：：，且草坪的总面积为米，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
    如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路为常数，若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
24. 如图，点是▱的对角线，的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是▱的中心距比．
    如图，当，求证：▱是菱形；
    如图，当，且，求▱的值；
    如图，在中，，，动点从点出发．沿线段向终点运动，动点自出发，沿线段向终点运动，、两点同时出发，运动速度均为每秒个单位，连结，以、为邻边作▱，若▱的中心距比求点的运动时间．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将一元二次方程化成一般形式后，一次项的系数是．
故选：．
首先把移到等号左边，把右边化为，然后再确定答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，为等边三角形，
，，，
，
又，
．
故选：．
由四边形为正方形，三角形为等边三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到，且得到为直角，为，由求出的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出的度数．
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程整理得，
，
选项A中方程有两个不相等实数根；
方程整理得，
，
选项B中方程有两个不相等实数根；
方程整理得，
，
选项C中方程有两个相等的实数根；
方程整理得，
，
选项D中方程没有实数根．
故选：．
计算每个选项的根的判别式，根据判别式与的关系可得结论．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是位似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】
解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，：：，
：：：，
四边形与四边形的面积比为：，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：、从一装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：，正确；
B、任意写出一个整数，能被整除的概率为，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为，故此选项错误；
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题考查利用频率估计概率，正确计算出各自的概率是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、当时，只能判定四边形是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
B、矩形的四个角都是直角，则，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
C、矩形的对边，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
D、当矩形的对角线相互垂直，即时，该矩形是正方形，故本选项正确；
故选：．
根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可．
本题考查了正方形的判定．需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．
 

8.【答案】 

【解析】解：由表中数据得当时，；
当时，；
所以方程的解为，．
故选：．
根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

9.【答案】 

【解析】解：、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，

故选：．
证明∽，求得：，再根据三角形的面积关系求得结果．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，求出，再求出即可．
本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：这个球是白球．
故答案为：．
应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
故答案为：．
利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据等式的基本性质可判断错误．
故答案为：．
根据等式的性质可判断错误．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

15.【答案】或 

【解析】解：将沿翻折得到，
，
，
，
当与相似时，或，即或，
解得：或，
故答案是：或．
根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
则，
，即，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

17.【答案】解：由题意得：
，
，，
∽，
，
，
解得：，
答：古井水面以上部分深度的长为米． 

【解析】根据字模型相似三角形证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：若小颖随机选择其中一个主题，则她选中的主题是“时代”的概率是，
故答案为：；
把“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，
小颖和小亮恰好选择同一个主题的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

证明：由图可知：，，
，，，，
，
∽． 

【解析】利用与是对应边，进而得出，的长，进而得出答案；
利用相似三角形的判定方法得出对应边的比值，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定以及相似变换，正确得出对应边的长是解题关键．
 

20.【答案】等式的基本性质 

【解析】解：，
根据等式的基本性质，，
由，还可以得到，，；
故答案为：等式的基本性质；
成立，
理由：由得，
，
即，
．
观察两个式子，是在原等式的左右两边同乘以，即可得到，是根据等式的基本性质．反过来，则需同除以，即可得到结果；
由得，根据等式的性质，两边都减，得，即，所以．
本题考查了比例的性质，会正确变形和能够说明其变形的依据是关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

证明：延长到点使，
为边上的中线，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
． 

【解析】作的垂直平分线即可；
延长到点使，先证明四边形为平行四边形，则判断四边形为矩形，所以，从而得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的判定与性质．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，，
，
∽；
在和中，，
又，
，
，
∽，
，
由知，∽，
，
即，
． 

【解析】由余角的性质可得，，可得结论；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
 

23.【答案】平方米 

【解析】解：根据题意，两条小路的面积之和平方米，
故答案为：平方米；
根据题意，得，
又：：，
，
原方程化为，
解得不符合题意，舍去，，
米，
答：原来矩形场地的长为米，宽为米；
根据题意，得，
整理得，
，为正整数，
是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，
当时，，
，，
；
当时，，
，，
；
当时，，
，，
，
综上所述，或．
根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；
根据草坪的总面积为米，列一元二次方程，求解即可；
根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
．
，，垂足分别为，，
，
四边形是平行四边形，
．
．
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，，
，，垂足分别为，，
，
四边形是矩形，
，
，交于点，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，垂足分别为，
，
设，则由勾股定理得，
；
解：设▱的对角线交点为，过作交于，过作交于，

设运动时间为秒，由题意得：，，，，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
化简得：，
，舍，
点运动时间为秒，
故答案为：． 

【解析】当，利用角平分线的判定可得，再利用平行线的性质可证明，从而证明结论；
由可得是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质可得，可得答案；
设▱的对角线交点为，过作交于，过作交于，根据，得，列出方程，解方程可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握新定义，根据面积法列出方程是解决问题的关键．