2023年高考数学(文数)一轮复习课时33《二元一次不等式组与简单的线性规划问题》达标练习（2份，答案版+教师版）

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、选择题
已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1≤0，,3x－y＋1≥0，,x－y－1≤0，))则z＝2x＋y的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案解析】答案为：B
解析：作图易知可行域为一个三角形，
其三个顶点为(0,1)，(1,0)，(－1，－2)，验证知当直线z＝2x＋y过点A(1,0)时，
z最大是2.
已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为( )
A.4 B.eq \f(1,4) C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,5)
【答案解析】答案为：D
解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距.分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝eq \f(\f(22,5)－2,1－5)＝－eq \f(3,5)，即a＝eq \f(3,5)，故选D.
设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z=3x＋5y的最大值为( )
A.6 B.19 C.21 D.45
【答案解析】答案为：C；
解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).
作出基本直线l0：3x＋5y=0，平移直线l0，当经过点A(2，3)时，z取最大值，
zmax=3×2＋5×3=21，故选C.
不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥1，,x＋2y≤2))的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；
p2：∃(x，y)∈D，x－2y≥3；
p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥eq \f(2,3)；
p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2.
其中的真命题是( )
A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3
【答案解析】答案为：A.
解析：不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝1，,x＋2y＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3)，))所以M(eq \f(4,3)，eq \f(1,3)).
由图可知，当直线z=x－2y过点M(eq \f(4,3)，eq \f(1,3))处时，z取得最小值，且zmin=eq \f(4,3)－2×eq \f(1,3)=eq \f(2,3)，
所以真命题是p2，p3，故选A.
若变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
【答案解析】答案为：C.
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max=|OA|2=32＋(－1)2=10.故选C.]
设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B.－9 C.1 D.9
【答案解析】答案为：A
解析：作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0))对应的平面区域，如图中阴影部分所示.
易求得可行域的顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，
当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选A.
某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
【答案解析】答案为：D.
解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))目标函数z=3x＋4y，
线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：
可得目标函数在点A处取到最大值.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12))得A(2,3).则zmax=3×2＋4×3=18(万元).]
设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z=3x＋5y的最大值为( )
A.6 B.19 C.21 D.45
【答案解析】答案为：C；
解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).
作出基本直线l0：3x＋5y=0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，
即zmax=3×2＋5×3=21，故选C.
某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )
A.320千元 B.360千元 C.400千元 D.440千元
【答案解析】答案为：B；
解析：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y≤480，,6x＋y≤960，))z=2x＋y，作出eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,2x＋3y≤480，,6x＋y≤960))表示的可行域如图中阴影部分所示，
作出直线2x＋y=0，平移该直线，当直线z=2x＋y经过直线2x＋3y=480与直线6x＋y=960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.
已知x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≤0,x－3y＋5≥0,x≥0,y≥0))，则z=8－x·(eq \f(1,2))y的最小值为( )
A.1 B. SKIPIF 1 < 0 C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,32)
【答案解析】答案为：D；
解析：作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，而z=8－x·(eq \f(1,2))y=2－3x－y，
欲使z最小，只需使－3x－y最小即可.由图知当x=1，y=2时，－3x－y的值最小，
且－3×1－2=－5，此时2－3x－y最小，最小值为eq \f(1,32).故选D.
若平面区域 SKIPIF 1 < 0 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案解析】答案为：B；
解析：作出可行域如图.
由 SKIPIF 1 < 0 得A(2,1),由 SKIPIF 1 < 0 得B(1,2).
斜率为1的平行直线l1,l2分别过A,B两点时它们之间的距离最小.
过A(2,1)的直线l1:y=x-1,过B(1,2)的直线l2:y=x+1,此时两平行直线间的距离d= SKIPIF 1 < 0 .
已知x,y满足约束条件 SKIPIF 1 < 0 ，若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是( )
A.- SKIPIF 1 < 0 B.1 C.2 D.5
【答案解析】答案为：B；
解析：作出可行域,如图所示的阴影部分.
∵m>0,∴当直线z=y-mx经过点A时,z取最大值,解得x=1,y=2即A(1,2),
∴2-m=1,解得m=1.故选B.
、填空题
已知x，y满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y－5≥0，,x＋y－7≤0，,x－2≥0))若z=x＋ay的最小值为4，则实数a的值为________.
【答案解析】答案为：2或4
解析：不等式
组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z=x＋ay在点C(2，1)处取得最小值，
则2＋a=4，a=2，此时y=－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)z，其在点C(2，1)处取得最小值，符合题意.
假设z=x＋ay在点B(2，5)处取得最小值，则2＋5a=4，a=eq \f(2,5)，此时y=－eq \f(5,2)x＋eq \f(5,2)z，
其在点C处取得最小值，不符合题意.假设z=x＋ay在点A(8，－1)处取得最小值，
则8－a=4，a=4，此时y=－eq \f(1,4)x＋eq \f(1,4)z，其在点A处取得最小值，符合题意.
所以a的值为2或4.
已知x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥x，,3x＋4y≤12，))则eq \f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是 .
【答案解析】答案为：[3,9].
解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，
eq \f(x＋2y＋3,x＋1)=1＋2×eq \f(y＋1,x＋1)，eq \f(y＋1,x＋1)表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率.
由图可知，当x=0，y=3时，eq \f(x＋2y＋3,x＋1)取得最大值，且(eq \f(x＋2y＋3,x＋1))max=9.
因为点P(－1，－1)在直线y=x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，
eq \f(x＋2y＋3,x＋1)取得最小值，且(eq \f(x＋2y＋3,x＋1))min=3.所以eq \f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是[3,9].
设实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－6≥0，,x＋2y－14≤0，,2x＋y－10≤0，))则x2＋y2的最小值为________.
【答案解析】答案为：18
解析：x2＋y2表示可行域内的点P(x，y)到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
过点O作OA垂直直线x＋y－6=0，垂足为A，易知点A在可行域内，
所以原点到直线x＋y－6=0的距离d，就是点P(x，y)到原点距离的最小值，
由点到直线的距离公式可得d=eq \f(6,\r(12＋12))=3eq \r(2)，所以x2＋y2的最小值为d2=18，
若x,y满足不等式组 SKIPIF 1 < 0 且y+ SKIPIF 1 < 0 x的最大值为2,则实数m的值为 .
【答案解析】答案为：1.5；
解析：设z=y+ SKIPIF 1 < 0 x,当y+ SKIPIF 1 < 0 x取最大值2时,有y+ SKIPIF 1 < 0 x=2,如图,可知直线y=mx经过直线y+ SKIPIF 1 < 0 x=2
与2y-x=2的交点A.解得x=1,y=1.5∴A点坐标为(1,1.5),代入直线方程y=mx,得m=1.5.
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8