(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习33《直线、平面平行的判定与性质》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是( )
A.若a∥α，b⊂α，则a∥b
B.若a⊥α，b⊂α，则a⊥b
C.若a，b与α所成的角相等，则a∥b
D.若a∥α，b∥α，则a∥b
【答案解析】答案为：B.
解析：对于A，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故A错；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错.
设α，β是两个平面，直线a⊂α，则“a∥β”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B.
解析：依题意，由a⊂α，a∥β不能推出α∥β，此时平面α与β可能相交；反过来，由α∥β，a⊂α，可得a∥β.综上所述，“a∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，选B.
已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D.若m∥n，m∥α，则n∥α
【答案解析】答案为：C.
解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内.故选C.
若α，β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线( )
A.只有1条 B.只有2条 C.只有4条 D.有无数条
【答案解析】答案为：A
解析：设α∩β＝l，∵A∉α，A∉β，∴A∉l，则A，l确定一个平面γ，
在γ内有且只有一条过A与l平行的直线，记作a，
由于a∥l，a⊄α，a⊄β，l⊂α，l⊂β，由线面平行的判定定理得a∥α，a∥β，
由此证明了存在性；假设过A平行于α，β的直线还有一条，记为b，则a∩b＝A.
过b作平面M与α相交于m，过b作平面N与β相交于直线n，
(适当调整，可以使m，n都不与l重合)，
由线面平行的性质定理可得b∥m，b∥n，由平行公理得m∥n，
∵m⊄β，n⊂β，∴m∥β，又∵m⊂α，α∩β＝l，
由线面平行的性质定理得m∥l，从而b∥l，
又∵a∥l，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾，由此证明了唯一性.
故过点A且与α和β都平行的直线有且只有一条.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A.平面ABB1A1 B.平面BCC1B1
C.平面BCFE D.平面DCC1D1
【答案解析】答案为：C
解析：取AB，DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1.如图，
故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能
【答案解析】答案为：B
解析：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案解析】答案为：C
解析：如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1；⑤平面EFG∥平面A1C1B.其中推断正确的序号是( )
A.①③⑤ B.①④ C.②③⑤ D.②④
【答案解析】答案为：A
解析：对①，由正方体性质可知，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，又FG⊂平面BB1C1C，故FG∥平面AA1D1D，①正确；
对②，因为直线EF与D1C1的延长线相交，故EF不平行于平面BC1D1，②错误；
对③，因为F，G分别为B1C1和BB1的中点，所以FG∥BC1，又因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，③正确；
对④，由②知直线EF与D1C1的延长线相交，故平面EFG不平行于平面BC1D1，④错误；
对⑤，由③知，FG∥平面A1C1B，同理可证EG∥平面A1C1B，又FG∩EG＝G，所以平面EFG∥平面A1C1B，⑤正确.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，从A，B，C，B1四个点中任取两个点，这两点连线平行于平面A1C1D的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(5,6)
【答案解析】答案为：B
解析：从A，B，C，B1四个点中任取两个点，则有AB，AC，AB1，BC，BB1，CB1共6种取法，
如图所示，
易知AB∥A1B1，且A1B1与平面A1C1D相交，故AB与平面A1C1D相交；
AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1C1D，AC⊄平面A1C1D，故AC∥平面A1C1D；
AB1∥DC1，DC1⊂平面A1C1D，AB1⊄平面A1C1D，故AB1∥平面A1C1D；
BC∥B1C1，且B1C1与平面A1C1D相交，故BC与平面A1C1D相交；
BB1∥CC1，且CC1与平面A1C1D相交，故BB1与平面A1C1D相交；
CB1∥DA1，DA1⊂平面A1C1D，CB1⊄平面A1C1D，故CB1∥平面A1C1D，
即两点连线平行于平面A1C1D的有3种，故这两点连线平行于平面A1C1D的概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2),3)a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
【答案解析】答案为：B.
解析：由题可得A1M＝eq \f(1,3)A1B，AN＝eq \f(1,3)AC，所以分别取BC，BB1上的点P，Q，使得CP＝eq \f(2,3)BC，BQ＝eq \f(2,3)BB1，连接MQ，NP，PQ，则MQ綊eq \f(2,3)B1A1，NP綊eq \f(2,3)AB，又B1A1綊AB，故MQ綊NP，所以四边形MQPN是平行四边形，则MN∥QP，QP⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，则MN∥平面BB1C1C，故选B.
下列说法中，错误的是( )
A.若平面α∥平面β，平面α∩平面γ=l，平面β∩平面γ=m，则l∥m
B.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
C.若直线l⊥平面α，平面α⊥平面β，则l∥β
D.若直线l∥平面α，平面α∩平面β=m，直线l⊂平面β，则l∥m
【答案解析】答案为：C；
解析：对于A，由面面平行的性质定理可知为真命题，故A正确；对于B，由面面垂直的性质定理可知为真命题，故B正确；对于C，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，由线面平行的性质定理可知为真命题，故D正确.综上，选C.
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
【答案解析】答案为：C；
解析：如图，∵PD与平面CEF交于点H，
∴平面CEF∩平面PCD=CH，∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，
过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，∵EF∩AF=F，CH∩HM=H，
∴平面AEF∥平面CHM，
∵平面AEF∩平面ABCD=AE，平面CHM∩平面ABCD=CM，∴AE∥CM，
又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM=2.
又AD=4，∴M是AD的中点，
则H为PD的中点，∴CH=eq \r(CM2＋MH2)=eq \r(22＋22)=2eq \r(2)，故选C.
二、填空题
已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的是________(只填序号).
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.
【答案解析】答案为：①②④.
解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确.
如图所示，三棱柱ABC ­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.
【答案解析】答案为：1
解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.
已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的有 .
(写出所有正确命题的序号)
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m∥n，m∥α，则n∥α；
③若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n；
④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.
【答案解析】答案为：③；
解析：对于①，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β的位置关系是垂直或平行，故①错误；
对于②，若m∥n，m∥α，则n可能在α内或平行于α，故②错误；
对于③，若α∩β=n，m∥α，m∥β，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断m∥n，故③正确；
对于④，若m⊥α，m⊥n，则n可能在α内或平行于α，故④错误.
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且eq \f(DE,EB)＝eq \f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则eq \f(CG,CC1)＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,3)
解析：∵平面AEF∥平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D＝EF，平面BD1G∩平面BB1D1D＝BD1，∴EF∥BD1，∴eq \f(DF,FD1)＝eq \f(DE,EB)＝eq \f(1,2).易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1，又BG⊂平面BCC1B1，∴BG∥平面ADD1A1，又平面AEF∥平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG∥平面AEF，∵平面AEF∩平面ADD1A1＝AF，∴BG∥AF，∴BG，AF可确定平面ABGF，又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABGF∩平面ABB1A1＝AB，平面ABGF∩平面CDD1C1＝FG，∴AB∥FG，∴CD∥FG.∴eq \f(CG,CC1)＝eq \f(DF,DD1)＝eq \f(1,3).
三、解答题
如图，△ABC中，AC＝BC＝eq \f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点.
(1)求证：GF∥底面ABC；
(2)求几何体ADEBC的体积.
【答案解析】解：(1)证明：如图，取BC的中点M，AB的中点N，连接GM，FN，MN.
∵G，F分别是EC，BD的中点，
∴GM∥BE，且GM＝eq \f(1,2)BE，
NF∥DA，且NF＝eq \f(1,2)DA.
又四边形ABED为正方形，∴BE∥AD，BE＝AD，
∴GM∥NF且GM＝NF.
∴四边形MNFG为平行四边形.
∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)连接CN，∵AC＝BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，
∴CN⊥平面ABED.
易知△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)，
∵C­ABED是四棱锥，
∴VC­ABED＝eq \f(1,3)S四边形ABED·CN＝eq \f(1,3)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).
如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【答案解析】证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点.
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P­ABM的体积.
【答案解析】解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA.
∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.
由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝eq \r(3)，
∴三棱锥P­ABM的体积V＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×2＝eq \f(\r(3),3).
如图，在多面体ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，FA⊥平面ABCD，FA∥DE，且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2.
(1)若M为线段EF的中点，求证：CM∥平面ABF；
(2)求多面体ABCDEF的体积.
【答案解析】解：(1)证明：取AD的中点N，连接CN，MN，
∵AD∥BC且AD＝2BC，
∴AN∥BC且AN＝BC，
∴四边形ABCN为平行四边形，
∴CN∥AB.
∵M是EF的中点，∴MN∥AF.
又CN∩MN＝N，AB∩AF＝A，
∴平面CMN∥平面ABF.
又CM⊂平面CMN，∴CM∥平面ABF.
(2)∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AB.
又AB⊥AD，且FA∩AD＝A，
∴AB⊥平面ADEF，即CN⊥平面ADEF.
连接AC，则多面体ABCDEF的体积
VABCDEF＝VF­ABC＋VC­ADEF＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(1＋2)×2×2＝eq \f(8,3).
如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，
点E，F分别为AB和PC的中点，连接EF，BF.
(1)求证：直线EF∥平面PAD.
(2)求三棱锥F­PEB的体积.
【答案解析】解：(1)如图，作FM∥CD交PD于点M，连接AM.
因为点F为PC中点，所以FM=eq \f(1,2)CD.
因为点E为AB的中点，所以AE=eq \f(1,2)AB=FM.
又AE∥FM，所以四边形AEFM为平行四边形，
又EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD.
所以EF∥AM.
所以直线EF∥平面PAD.
(2)连接EC.已知∠DAB=60°，AE=eq \f(1,2)，AD=1，由余弦定理，得DE⊥AB，
又AB∥DC，则DE⊥DC，
设F到平面BEC的距离为h.
因为点F为PC的中点，所以h=eq \f(1,2)PD.
从而有VF­PBE=VP­BEF=VP­BEC－VF­BEC
=eq \f(1,3)S△BEC·(PD－h)=eq \f(1,3)S△BEC·eq \f(1,2)PD
=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)×1=eq \f(\r(3),48).