2020-2021学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2021春•连云港期末）如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1
则该队员得分的40百分位数是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（5分）（2017•河南一模）复数满足，则复数的实部与虚部之和为　　
A． B． C．1 D．0
3．（5分）（2021春•宜春期末）若是等边三角形所在平面外一点，且，，，分别是，，的中点，则下列结论中不正确的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
4．（5分）（2017秋•黄冈期末）已知，，，，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
5．（5分）（2019春•十堰期末）某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2021•南昌模拟）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为　　
A． B． C．4 D．
7．（5分）（2021春•安平县校级期末）在中，为边上的中点，为边上的点，且；点为与的交点，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•广安期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　

A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分）
9．（5分）（2021春•安平县校级期末）某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则　　

A．众数的估计值为35
B．中位数的估计值为35
C．平均数的估计值为29.2
D．样本中有25名同学阅读时间不低于40分钟
10．（5分）（2021春•连云港期末）已知复数，，下列结论正确的有　　
A．
B．若，则，中至少有一个为0
C．
D．若，则
11．（5分）（2021秋•青山区期末）抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件，“向上的点数是1，2”为事件，“向上的点数是1，2，3”为事件，“向上的点数是1，2，3，4”为事件，则下列关于事件，，，判断正确的有　　
A．与是互斥事件但不是对立事件
B．与是互斥事件也是对立事件
C．与是互斥事件
D．与不是对立事件也不是互斥事件
12．（5分）（2021春•安平县校级期末）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的动点，且，则下列说法正确的有　　
A．与所成角的最大值为
B．四面体的体积不变
C．△的面积有最小值
D．平面截正方体所得截面面积不变
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2021春•苏州期末）已知向量，，且，，若，，三点共线，则实数的值为 　　．
14．（5分）（2021春•安平县校级期末）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为 　　．
15．（5分）（2021春•连云港期末）在中，，，，延长到，使得，则的长为 　　．
16．（5分）（2021•南通模拟）已知半径为5的球面上有，，，四点，满足，，，则球心到平面的距离为　　，三棱锥体积的最大值为　　．
四.解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明和演算步骤）
17．（10分）（2021春•安平县校级期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知向量，，_____，若，，且，求．
18．（12分）（2021春•安平县校级期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率；
（Ⅱ）求事件发生的概率；
（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率．
19．（12分）（2021春•安平县校级期末）如图，在四棱锥中，，，，，点，分别为棱，的中点，且．求证：
（1）平面平面；
（2）平面平面．

20．（12分）（2020秋•金台区期末）已知点，1，，，2，，向量，计算：
（1）求向量的单位向量；
（2）求，；
（3）；
（4）求点到直线的距离．
21．（12分）（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
，
，
，
，
，
，
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．
22．（12分）（2021春•安平县校级期末）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网．
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？


2020-2021学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2021春•连云港期末）如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1
则该队员得分的40百分位数是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由表可知频数共计11，，
可得该队员得分的40百分位数是第5个得分为7．
故选：．
2．（5分）（2017•河南一模）复数满足，则复数的实部与虚部之和为　　
A． B． C．1 D．0
【解答】解：，，

则复数的实部与虚部之和．
故选：．
3．（5分）（2021春•宜春期末）若是等边三角形所在平面外一点，且，，，分别是，，的中点，则下列结论中不正确的是　　
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：是等边三角形所在平面外一点，且，
，，分别是，，的中点，
，
平面，平面，平面，故正确；
，是中点，
，，
，平面，
，平面，故正确；
平面，平面，
平面平面，故正确；
设，连结，不是等边三角形的重心，与平面不垂直，
平面与平面不垂直，故错误．
故选：．

4．（5分）（2017秋•黄冈期末）已知，，，，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，，，，
．
故当时，有最小值等于，
故选：．
5．（5分）（2019春•十堰期末）某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：该选手能进入第四关的概率为．
故选：．
6．（5分）（2021•南昌模拟）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为　　
A． B． C．4 D．
【解答】解：由，可得：，即，
所以，即，
又，，
所以，
即，解得，或（舍去），
所以，
又，
所以的面积为．
故选：．
7．（5分）（2021春•安平县校级期末）在中，为边上的中点，为边上的点，且；点为与的交点，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，因为为边上的中点，为边上的点，且，
所以，
又，
由于向量与向量不共线，
则由平面向量基本定理知：，解得，
所以．
故选：．
8．（5分）（2021春•广安期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，侧棱底面，平面，
则平面平面，

底面为矩形，，
而平面平面，平面．
连接，则为在平面上的射影，
则为与底面所成角，
设，则，，
．
．
即直线与平面所成角的正弦值为．
故选：．
二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部答对得5分，部分答对得3分，答错不得分）
9．（5分）（2021春•安平县校级期末）某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则　　

A．众数的估计值为35
B．中位数的估计值为35
C．平均数的估计值为29.2
D．样本中有25名同学阅读时间不低于40分钟
【解答】解：由频率分布直方图知，的频率最大，因此众数估计值为，故选项正确，
，的频率为，
中位数为30，故选项错误，
平均值估计为，故选项正确，
不低于40分钟的人数为，故选项正确．
故选：．
10．（5分）（2021春•连云港期末）已知复数，，下列结论正确的有　　
A．
B．若，则，中至少有一个为0
C．
D．若，则
【解答】解：设，，
对于，，
，
故选项正确；
对于，因为，
则，则或，
所以，中至少有一个为0，
故选项正确；
对于，由复数模的运算性质可知，，
故选项正确；
对于，当，时，，
故选项错误．
故选：．
11．（5分）（2021秋•青山区期末）抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件，“向上的点数是1，2”为事件，“向上的点数是1，2，3”为事件，“向上的点数是1，2，3，4”为事件，则下列关于事件，，，判断正确的有　　
A．与是互斥事件但不是对立事件
B．与是互斥事件也是对立事件
C．与是互斥事件
D．与不是对立事件也不是互斥事件
【解答】解：抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件，“向上的点数是1，2“为事件，
“向上的点数是1，2，3“为事件，“向上的点数是1，2，3，4“为事件，
在中，与不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故正确；
在中，与是互斥事件，也是对立事件，故正确；
在中，与能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在中，与能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•安平县校级期末）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的动点，且，则下列说法正确的有　　
A．与所成角的最大值为
B．四面体的体积不变
C．△的面积有最小值
D．平面截正方体所得截面面积不变
【解答】解：在正方体中，平面，
所以，
因为，所以平面，
所以，
因为为中点，记中点为，
所以位于直线上．
：记中点为，连结，，
易知，
所以与所成角即为，
因为正方体棱长为2，
所以，
解得：，
所以与所成角为定值，为，
故错误；
，，三点为定点，
所以为定值，
因为位于平面中，，，在平面中，
所以点到平面的距离为定值，
所以四面体的体积不变，
故正确；
：在正方体中，平面，
所以，
所以，
在△中，，，
所以点到的距离的最小值为，
所以△的面积有最小值为，
故正确；
：当不与重合时，与连线即为，
故平面即为平面，
此时截面固定，面积为定值，
故正确．
故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2021春•苏州期末）已知向量，，且，，若，，三点共线，则实数的值为 　3　．
【解答】解：向量，，且，，
，，，，
，
，，三点共线，，
，解得．
故答案为：3．
14．（5分）（2021春•安平县校级期末）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为 　　．
【解答】解：从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生，
则共有种不同的选法，
至少有1名女医生被选中，则共有种不同的选法，
所以至少有1名女医生被选中的概率为．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•连云港期末）在中，，，，延长到，使得，则的长为 　7　．
【解答】解：在中，由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：
．
故答案为：7．
16．（5分）（2021•南通模拟）已知半径为5的球面上有，，，四点，满足，，，则球心到平面的距离为　3　，三棱锥体积的最大值为　　．
【解答】解：如图，

在中，由，，，得，
设外接圆的半径为，则，设球心为，三角形外接圆的圆心为，
由球的性质可得，平面，在△中，可得．
即球心到平面的距离为3；
要使三棱锥体积取最大值，则为与球面的交点，
此时到底面的距离为8，则三棱锥体积的最大值为．
故答案为：3；．
四.解答题（本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明和演算步骤）
17．（10分）（2021春•安平县校级期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知向量，，_____，若，，且，求．
【解答】解：因为，，
所以，
选择方案①：
因为，所以，即，
所以，
因为，，
所以，即，
因为，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以．
选择方案②：
因为，所以，所以，
因为，，
所以，即，
因为，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以．
选择方案③：
因为，，且，
所以，即，
因为，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以．
18．（12分）（2021春•安平县校级期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率；
（Ⅱ）求事件发生的概率；
（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率．
【解答】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共有36个基本事件，
事件：“两数之和为8”，事件包含的基本事件有：
，，，，，共5个基本事件，
事件发生的概率为（A）．
事件：“两数之和是3的倍数”，
事件包含的基本事件有12个，分别为：
，，，，，，，，，，，，
事件发生的概率（B）．
事件与事件至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
，，，，，，，，，，，
事件与事件至少有一个发生的概率为．
19．（12分）（2021春•安平县校级期末）如图，在四棱锥中，，，，，点，分别为棱，的中点，且．求证：
（1）平面平面；
（2）平面平面．

【解答】解：（1）证明：因为是的中点，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
又因为是的中点，所以，所以平面，又，所以平面平面．
（2）证明：因为，，，满足，所以，
因为，所以．
在中，，是的中点，所以，
所以，，
由，可得，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
20．（12分）（2020秋•金台区期末）已知点，1，，，2，，向量，计算：
（1）求向量的单位向量；
（2）求，；
（3）；
（4）求点到直线的距离．
【解答】解：（1）由已知得：，2，，则，
则，
（2），
则，则，
，则；
（3），
则，
（4）在上的投影为，
，
点到直线的距离．
21．（12分）（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
，
，
，
，
，
，
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．
【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间，和最高气温低于25的天数为，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于时，需求量为500，
元，
当温度在，时，需求量为300，
元，
当温度低于时，需求量为200，
元，
当温度大于等于20时，，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于的天数有：
，
估计大于零的概率．
22．（12分）（2021春•安平县校级期末）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网．
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

【解答】解：（1）在中，因为，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理，得，（2分）
所以，即，所以，
所以为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为．（4分）
（2）设，
因为的面积是堆假山用地的面积的倍，
所以，即，（6分）
在中，由，得，（8分）
从而，即，
由，
得，所以，即．（10分）
（3）设，由（2）知，
又在中，由，得，（12分）
所以，（14分）
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为．（16分）
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