2020-2021学年河北省衡水市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数z=5i2i−1−2i（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A.2B.3C.−3iD.−3

2. 已知两个单位向量a→和b→的夹角为60∘，则向量a→−b→在向量a→上的投影向量为( )

A.12a→B.a→C.−12a→D.−a→

3. 一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为12，13，14，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( )
A.124B.1124C.1724D.1

4. 已知一组数据为7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据的第25百分位数是( )
A.8B.9C.10D.11

5. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csA=bc，则该三角形为( )
A.等腰三角形B.等腰直角三角形
C.等边三角形D.直角三角形

6. 2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( )
A.13B.512C.712D.23

7. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（ ）

A.s1>s2>s3B.s1>s3>s2C.s3>s2>s1D.s3>s1>s2

8. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=AA1=1，BC=2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘
二、多选题

Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )

A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

已知向量a→=(2,1)，b→=(1,−1)，c→=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且a→−b→//c→，下列说法正确的是( )
A.a→与b→的夹角为钝角
B.向量a→在b→方向上的投影为55
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2

如图所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，、下列结论正确的是( )

A.AF⊥PBB.EF⊥PBC.AF⊥BCD.AE⊥平面PBC

如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A、B，C，D，E．盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )

A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为13
B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为130
C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为56
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936
三、填空题

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2=________．


△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=π3，则△ABC的面积为________.

某电子商务公司对10000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3, 0.9]内，其频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中的a=________；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为________．

已知三棱锥A−BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，△ABC是边长为3的正三角形，△BCD是直角三角形，且∠BCD=90∘，CD=2，则此三棱锥外接球的体积为________.
四、解答题

已知复数z=m2−m+m−1i．
(1)若z=0，求m；

(2)当m=2时，求复数z的模及其共轭复数；

(3)若复数z为纯虚数，求m的值；

(4)若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．


某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：

(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？

(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数（中数）是多少？

(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csB=33，sin(A+B)=69，ac=23，求sinA和c的值．

如图，三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：BD // 平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．

某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分(很不满意）；2分(不满意）；3分(一般）；4分(满意）；5分(很满意）.其统计结果如下表(住宿满意度为x，餐饮满意度为y）.

(1)求“住宿满意度”分数的平均数；

(2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；

(3)为提高对酒店的满意度，现从2≤x≤3且1≤y≤2的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.

如图所示，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60∘，AD⊥DE．

(1)求证：DE⊥平面ABCD；

(2)求二面角C−AE−D的余弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：z=5i2i−1−2i=5i(2i+1)(2i−1)(2i+1)−2i
=5−2+i−5−2i=2−i−2i=2−3i，
∴ 虚部是−3．
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积
【解析】
利用已知求出a→−b→⋅a→，再根据投影向量的公式求解即可．
【解答】
解：由已知可得b→⋅a→=|b→||a→|cs60∘=1×1×12=12，
(a→−b→)⋅a→=a→2−a→⋅b→=1−12=12，
则向量a→−b→在向量a→上的投影向量为：
a→−b→⋅a→|a→|⋅a→=12a→．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
根据题意，只有一人解出的试题的事件包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，只有一人解出的试题的事件包含：
A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，
C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，
则P（只有一人解出试题）=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
把数据按从小到大的顺序排列，可计算出这组数据的第25百分位数是第5项与第6项数据的平均数，完成即可．
【解答】
解：把数据从小到大排列是：
7，7，8，8，8，8，9，9，10，10，10，
10，11，11，12，12，13，13，14，20，
∵ 20×25%=5，
∴ 第25百分位数为：8+82=8.
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
余弦定理
【解析】
直接利用余弦定理，得出答案即可.
【解答】
解：由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=bc，
整理得c2=a2+b2，
故该三角形为直角三角形.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
利用对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】
解：由题意得，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：
1−(1−13)(1−14)(1−16)=712．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
根据题意，分析3个频率分布直方图，结合数据的标准差的统计意义，分析可得答案．
【解答】
解：观察可知；第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端．
数据偏离平均数远，最分散，其标准差最大；
第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其标准差最小；
第三组数据是单峰的，每一个小长方形的高差别比较小，数字分布均匀，
数据不如第一组偏离平均数远，标准差比第一组数据的标准差小．
综上可知s1>s3>s2.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
求出三角形的三个边长，然后求解异面直线所成角即可．
【解答】
解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，
则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
连结A1B，
直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．
若AB=AC=AA1=1，BC=2，
则BA1=AA12+AB2=2，
CA1=AA12+AC2=2，
所以三角形BCA1是等边三角形，
则∠A1CB=π3，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60∘．
故选C.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解
【解答】
解：A，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；
B，由折线图可知，月跑步平均里程不是逐月增加的，故B错误；
C，月跑步里程数从小到大排列分别是：
2月，8月，3月，4月，1月，5月，
7月，6月，11月，9月，10月，
故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；
D，1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
故选ACD．
【答案】
C,D
【考点】
向量的投影
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，a→⋅b→=2×1+1×−1=1>0，
故a→，b→的夹角为锐角，A错误；
B，向量a→在b→方向上的投影为：
a→⋅b→|b→|=112+−12=22，B错误；
C，a→−b→=(1,2)，
由a→−b→//c→，得1×(−n)−2×(m−2)=0，
即2m+n=4，C正确；
D，由基本不等式得4=2m+n≥22mn，即mn≤2，
当且仅当2m=n=2时取等号，
因此mn的最大值为2，D正确．
故选CD．
【答案】
A,B,C
【考点】
命题的真假判断与应用
直线与平面垂直的判定
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF // AE，显然不成立，从而得到结论．
【解答】
解：∵ PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面
∴ PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA＝A
∴ BC⊥面PAC，
又∵ AF⊂面PAC，
∴ AF⊥BC，
而AF⊥PC，PC∩BC＝C
∴ AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，
∴ AF⊥BC，故C正确；
而PB⊂面PCB，
∴ AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF＝A
∴ PB⊥面AEF，
而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF
∴ EF⊥PB，AF⊥PB，故AB正确，
∵ AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC
∴ AF // AE，显然不成立，故D不正确．
故选ABC.
【答案】
A,C,D
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
根据互斥与对立事件的概率计算、相互独立事件同时发生的概率计算公式逐个计算判定．
【解答】
解：由题意知，PA=12，PB=13，PC=14，PD=15，PE=16，
所以D，E两个盒子并联后畅通的概率为1−15×16=1−130=2930，故B错误；
A，B两个盒子畅通的概率为12×23=13，故A正确；
A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1−23×14=1−16=56，故C正确；
根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为2930×56=2936，故D正确.
故选ACD．
三、填空题
【答案】
7:5
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位ℎ；VAEF−A1B1C1=V1；VBCFE−B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V−V1以及面积关系，求出体积之比．
【解答】
解：设三棱柱的高为ℎ，底面的面积为S，体积为V，
则V=V1+V2=Sℎ．
因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以S△ABF=14S，
所以V1=13ℎS+14S+S⋅S4=712Sℎ，
V2=Sℎ−V1=512Sℎ，故V1:V2=7:5.
故答案为：7:5．
【答案】
63
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：csB=a2+c2−b22ac=12,
即4c2+c2−364c2=12，
解得c=23，a=43，
∴ S△ABC=12acsinB=63.
故答案为：63.
【答案】
3
6000
【考点】
频率分布直方图
【解析】
(1)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值；
（2）先求出消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的频率，再求频数．
(2)先求出消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的频率，再求频数．
【解答】
解：(1)(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1，
解得a=3.0．
故答案为：3.0．
(2)消费金额在区间0.5,0.9内的频率为：
1−0.1×1.5−0.1×2.5=0.6，
则该区间内购物者的人数为10000×0.6=6000.
故答案为：6000．
【答案】
32π3
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
棱锥的结构特征
【解析】
作出几何体，找到截面圆圆心及半径，设出球心，构造方程组，即可得出结果．
【解答】
解：如图所示，
因为三棱锥的底面BCD中，
∠BCD=90∘，CD=2，BC=3，
所以BD=32+22=13，
其外接圆的圆心为BD的中点，
设为O1，设三棱锥的外接球的球心为O，
则OO1平面BCD，
取BC的中点G，连接O1G，AG，
因为BD，O1G⊂平面BCD，
所以OO1⊥BD，OO1⊥O1G，
因为三角形ABC为正三角形，
所以AG⊥BC，
过O作OH⊥AG于H，
则四边形OHGO1为矩形，
设OO1=ℎ，球的半径为R，
因为O1G=OH=1 ，AG=332，
有R2=OA2=OH2+AH2=1+332−ℎ2,R2=OD2=OO12+O1D2=ℎ2+1322,
解得ℎ=32，R=2，
所以球的体积为43πR3=32π3．
故答案为：32π3．
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意可得m2−m=0,m−1=0,
所以m=1.
(2)当m=2时，
z=m2−m+m−1i=2+i，
则|z|=22+12=5，z¯=2−i.
(3)因为复数z=m2−m+m−1i为纯虚数，
所以m2−m=0,m−1≠0,
解得m=0.
(4)因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
需满足m2−m<0,m−1<0,
解得0【考点】
复数的基本概念
复数的模
共轭复数
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
(1)利用复数的实部与虚部都是0，求解m即可；
(2)利用复数的实部为2，虚部为0，求解复数z的模及其共轭复数即可；
(3)利用复数的实部为0，虚部不为0，求解m即可；
(4)利用复数在复平面内对应的点位于第三象限，求解m的取值范围即可．
【解答】
解：(1)由题意可得m2−m=0,m−1=0,
所以m=1.
(2)当m=2时，
z=m2−m+m−1i=2+i，
则|z|=22+12=5，z¯=2−i.
(3)因为复数z=m2−m+m−1i为纯虚数，
所以m2−m=0,m−1≠0,
解得m=0.
(4)因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
需满足m2−m<0,m−1<0,
解得0【答案】
解：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是：
x¯=110×(22+38+40+2×41+2×44+50+2×95)=51(吨)．
(2)每天用水量的中位数是：41+442=42.5(吨)．
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，
使平均数在估计总体时可靠性降低，
10天的用水量有8天都在平均值以下，
故用中位数描述每天的用水量更合适．
【考点】
众数、中位数、平均数
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）利用平均数、中位数的定义直接求解．
（2）平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，用中位数描述每天的用水量更合适．
【解答】
解：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是：
x¯=110×(22+38+40+2×41+2×44+50+2×95)=51(吨)．
(2)每天用水量的中位数是：41+442=42.5(吨)．
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，
使平均数在估计总体时可靠性降低，
10天的用水量有8天都在平均值以下，
故用中位数描述每天的用水量更合适．
【答案】
解：在△ABC中，由csB=33，
sin(A+B)=69，ac=23，
可得sinB=63，sinAcsB+csAsinB=69，
所以sinA+2csA=23，①
结合平方关系sin2A+cs2A=1，②
由①②解得27sin2A−62sinA−16=0，
解得sinA=223或者sinA=−429(舍去)；
因为sin(A+B)=sinC=69，sinA=223，
由正弦定理，asinA=csinC，
可得a=23c，
又ac=23，
所以c=1．
【考点】
两角和与差的三角函数
正弦定理
【解析】
利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得sinC；利用正弦定理即可得出c的值．
【解答】
解：在△ABC中，由csB=33，
sin(A+B)=69，ac=23，
可得sinB=63，sinAcsB+csAsinB=69，
所以sinA+2csA=23，①
结合平方关系sin2A+cs2A=1，②
由①②解得27sin2A−62sinA−16=0，
解得sinA=223或者sinA=−429(舍去)；
因为sin(A+B)=sinC=69，sinA=223，
由正弦定理，asinA=csinC，
可得a=23c，
又ac=23，
所以c=1．
【答案】
证明：(1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴ DF=//GC，
∴ 四边形CFDG是平行四边形，
∴ DM=MC．
又∵H是BC的中点，
∴BH=HC，
∴ MH // BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴ BD // 平面FGH；
(2)连接HE，如图所示，
∵ G，H分别为AC，BC的中点，
∴ GH // AB，
∵ AB⊥BC，∴ GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴ EF // HC，EF=HC．
∴ 四边形EFCH是平行四边形，∴ CF // HE．
∵ CF⊥BC，∴ HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴ BC⊥平面EGH，
又∵BC⊂平面BCD，
∴ 平面BCD⊥平面EGH．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
(I)证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH // BD，可得BD // 平面FGH；
证法二：在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE为平行四边形．BE // HF．又GH // AB，可得平面FGH // 平面ABED，即可证明BD // 平面FGH．
(II)连接HE，利用三角形中位线定理可得GH // AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．
【解答】
证明：(1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴ DF=//GC，
∴ 四边形CFDG是平行四边形，
∴ DM=MC．
又∵H是BC的中点，
∴BH=HC，
∴ MH // BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴ BD // 平面FGH；
(2)连接HE，如图所示，
∵ G，H分别为AC，BC的中点，
∴ GH // AB，
∵ AB⊥BC，∴ GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴ EF // HC，EF=HC．
∴ 四边形EFCH是平行四边形，∴ CF // HE．
∵ CF⊥BC，∴ HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴ BC⊥平面EGH，
又∵BC⊂平面BCD，
∴ 平面BCD⊥平面EGH．
【答案】
解：(1)由表格得，
“住宿满意度”的平均数为
5×1+9×2+15×3+15×4+6×550
=3.16.
(2)当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为
1+2+5+3+45=3，
其方差为(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)25
=2.
(3)符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a，b，c，“住宿满意度”为3的3人分别记为d，e，f.
从这6人中抽取2人有如下情况:
(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，
(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，
(c, d)，(c, e)，(c, f)，
(d, e)，(d, f)，
(e, f).
共15种情况.
所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率
P=1215=45.
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由表格得，
“住宿满意度”的平均数为
5×1+9×2+15×3+15×4+6×550
=3.16.
(2)当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为
1+2+5+3+45=3，
其方差为(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)25
=2.
(3)符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a，b，c，“住宿满意度”为3的3人分别记为d，e，f.
从这6人中抽取2人有如下情况:
(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，
(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，
(c, d)，(c, e)，(c, f)，
(d, e)，(d, f)，
(e, f).
共15种情况.
所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率
P=1215=45.
【答案】
(1)证明：过A作AH⊥DC交DC于点H．
∵ 平面ABCD⊥平面 CDE，AH⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面CDE=DC，
∴ AH⊥平面CDE．
又DE⊂平面CDE，
∴ AH⊥DE，
又AD⊥DE，AH∩AD=A，
∴ DE⊥平面ABCD．
(2)解：过点C作CM⊥AD交AD于点M，
作CN⊥AE交AE于点N，连接 MN．
由(1)得DE⊥平面ABCD，又DE⊂平面ADE，
∴ 平面ADE⊥平面ABCD，
∵ CM⊥AD，平面ABCD∩平面ADE=AD，
∴ CM⊥平面ADE，
∴ CM⊥AE，CM⊥MN．
∵ CN⊥AE，且CM∩CN=C，
∴ AE⊥平面CMN，
∴ ∠CNM就是所求二面角的平面角．
在Rt△CMN中，CM=23，MN=2，
∴ CN=14，
∴ 所求二面角的余弦值为MNCN=214=77．
【考点】
直线与平面垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
(1)过A作AH⊥DC交DC于H．证明AH⊥DE，AD⊥DE，然后证明DE⊥平面ABCD；
(2)过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．说明∠CNM就是所求二面角的一个平面角．然后求解即可．
【解答】
(1)证明：过A作AH⊥DC交DC于点H．
∵ 平面ABCD⊥平面 CDE，AH⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面CDE=DC，
∴ AH⊥平面CDE．
又DE⊂平面CDE，
∴ AH⊥DE，
又AD⊥DE，AH∩AD=A，
∴ DE⊥平面ABCD．
(2)解：过点C作CM⊥AD交AD于点M，
作CN⊥AE交AE于点N，连接 MN．
由(1)得DE⊥平面ABCD，又DE⊂平面ADE，
∴ 平面ADE⊥平面ABCD，
∵ CM⊥AD，平面ABCD∩平面ADE=AD，
∴ CM⊥平面ADE，
∴ CM⊥AE，CM⊥MN．
∵ CN⊥AE，且CM∩CN=C，
∴ AE⊥平面CMN，
∴ ∠CNM就是所求二面角的平面角．
在Rt△CMN中，CM=23，MN=2，
∴ CN=14，
∴ 所求二面角的余弦值为MNCN=214=77．天数
1
1
1
2
2
1
2
用水量/吨
22
38
40
41
44
50
95