2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84，79，86，87，84，93，84，则这组分数的中位数和众数分别是(    )
A. 84，85 B. 84，84 C. 85，84 D. 85，85
2. 数据8，6，5，2，7，9，12，4，12的第40百分位数是(    )
A. 5 B. 6 C. 7.5 D. 8
3. 从一个容量为m(m≥3,m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是(    )
A. 15 B. 14 C. 12 D. 13
4. 某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多(    )
A. 5人 B. 4人 C. 3人 D. 2人
5. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的众数为(    )

A. 20 B. 25 C. 22.5 D. 22.75
6. 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是(    )
A. 3个都是篮球 B. 至少有1个是排球 C. 3个都是排球 D. 至少有1个是篮球
7. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(    )
A. 15 B. 25 C. 12 D. 45
8. 如图，在直三棱柱ABC−AB1C1中，AC=3，BC=4，CC1=3，∠ACB=90°，则BC1与A1C所成的角的余弦值为(    )
A. 3 210
B. 33
C. 24
D. 55


二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则下列结论正确的有(    )
A. AB⊥AC B. 与AB共线的单位向量是(1,1,0)
C. AB与BC夹角的余弦值是 5511 D. 平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
10. 某校高二(13)班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 没有人的成绩在30～40分这组内 B. 第50百分位数位于60～70分这组内
C. 第25百分位数位于40～50分这组内 D. 第75百分位数位于70～80分这组内
11. 掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(    )
A. A⊆B B. A=B
C. A⋂B表示向上的点数是2 D. A⋃B表示向上的点数是1或2或3
12. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)，设事件M=“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N=“第二枚骰子的点数为偶数”，则(    )
A. M与N互斥 B. P(M)=12 C. M与N相互独立 D. P(M∪N)=34
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 打靶3次，事件Ai=“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么A=A1⋃A2⋃A3表示______ ．
14. 已知一组数据−3，2a，4，5−a，1，9的平均数为3(其中a∈R)，则中位数为          ．
15. 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的标准差为______ ．
16. 甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是13，丙射击命中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，求a，b的值．
18. (本小题12.0分)
某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：


一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果；
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
19. (本小题12.0分)
杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如图：

(1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人；
(2)请补全频率分布直方图．
20. (本小题12.0分)
如图直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB中点.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 3．
(Ⅰ)求证：PE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)二面角P−DC−B的大小．

21. (本小题12.0分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(Ⅰ)求证：BC1//平面AD1E；
(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

22. (本小题12.0分)
某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为12,12,13，13，且每道题目答对与否相互独立．
(1)求小明同学恰好答对1道题目的概率；
(2)若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：将84，79，86，87，84，93，84这7个数按一定顺序排列为79，84，84，84，86，87，93，
则这组分数的中位数和众数分别是84，84，
故选：B．
将7个数按一定顺序排列为79，84，84，84，86，87，93，再求解即可．
本题考查了中位数和众数，属基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：数据8，6，5，2，7，9，12，4，12从小到大排序为：2，4，5，6，7，8，9，12，12，共9个，
40%×9=3.6，即该组数据的百分位数为第4个数，即为6．
故选：B．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．

3.【答案】D 
【解析】解：∵随机抽样每个个体被抽到的概率相等，
∴选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为13，
故选：D．
由简单随机抽样的特点可得．
本题考查简单随机抽样，属基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y.因为老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，
且从中年教师中抽取了4人，
所以448=x36=y60，
解得x=3，y=5，
则y−x=2．
故选：D．
设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y，然后根据分层抽样的原理列方程，然后解方程求解即可．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：从左到右各小矩形的面积依次为0.1，0.2，0.4，0.15，0.15，
易知长度在[20,25)内的产品所在小矩形的面积最大，
所以这批产品的众数为20+252=22.5．
故选：C．
由题意，结合所给频率分布直方图以及众数的定义，列出等式求解即可．
本题考查众数的定义，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查随机事件的分类，关键是掌握随机事件的定义．
根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，
分析可得：A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，
故选：D．  
7.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型概率问题，属于基础题．
根据古典概率公式即可求出．
【解答】
解：O，A，B，C，D中任取3点，共有C53=10，

其中共线为A，O，C和B，O，D两种，
故取到的3点共线的概率为P=210=15，
故选：A．
  
8.【答案】A 
【解析】解：在直三棱柱ABC−AB1C1中，AC=3，BC=4，CC1=3，∠ACB=90°，
建立以C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A1(3,0,3)，B(0,4,0)，C1(0,0,3)，
所以CA1=(3,0,3)，BC1=(0,−4,3)，
则CA1⋅BC1=3×0+0×(−4)+3×3=9，|CA1|=3 2，|BC1|=5，
则cos〈CA1,BC1〉=CA1⋅BC1|CA1|⋅|BC1|=93 2×5=3 210，
所以直线BC1与A1C所成角的余弦值为3 210，
故选：A．
先建立空间直角坐标系，然后求出CA1，BC1的坐标，然后结合向量夹角公式求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题．

9.【答案】AD 
【解析】解：对于A,AB=(2,1,0),AC=(−1,2,1)，AB⋅AC=−2+2=0，所以AB⊥AC，所以A正确；
对于B，因为AB=(2,1,0)，所以与AB共线的单位向量为(2 55, 55,0)或(−2 55,− 55,0)，所以B错误；
对于C，向量AB=(2,1,0),BC=(−3,1,1)，所以cos=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=− 5511，所以C错误；
对于D，设平面ABC的法向量是n=(x,y,z)，因为AB=(2,1,0),AC=(−1,2,1)，所以n⋅AB=0n⋅AC=0，即2x+y=0−x+2y+z=0，令x=1，则n=(1,−2,5)，所以D正确．
故选：AD．
由向量垂直的性质，即可判断A，根据单位向量的定义判断B，由向量数量积的定义求得向量夹角余弦值判断C，利用法向量定义求得法向量判断D．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

10.【答案】ABC 
【解析】解：由图知，成绩在30～40分的累积频数均为8，
所以没有人的成绩在30～40分这组内，故选项A正确；
因为40×50%=20，
取第20，21项数据的平均数，
所以第50百分位数位于60～70分这组内，故选项B正确；
因为40×25%=10，
取第10，11项数据的平均数，
所以第25百分位数位于40～50分这组内，故选项C正确；
因为40×75%=30，
取第30，31项数据的平均数，
所以第75百分位数位于60～70分这组内，故选项D正确；
故选：ABC．
由题意，结合所给信息以及百分位数的定义进行求解即可．
本题考查百分位数的定义及应用，考查了逻辑推理和运算能力．

11.【答案】CD 
【解析】解：由题可知，“向上的点数是1或2”为事件A，
“向上的点数是2或3”为事件B，
∴事件B不包含事件A，故A错误；
事件B也不等于事件A，故B错误；
事件A∩B表示“向上的点数是2”，故C正确；
事件A∪B表示点数是1或2或3，故D正确．
故选：CD．
根据事件的关系与运算的概念进行判断．
本题考查随机事件的定义、事件的交、事件的并等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.【答案】BCD 
【解析】解：由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，故事件M与事件N为相互独立事件，故A错误，C正确；
P(M)=36=12，故B正确；
P(M∪N)=1−12×12=34，故D正确．
故选：BCD．
根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据古典概型的计算公式即可判断B；根据对立事件的概率公式结合交事件的概率公式即可判断D．
本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．

13.【答案】至少击中1发 
【解析】解：事件Ai=“击中i发”，其中i=0，1，2，3，
则A=A1⋃A2⋃A3表示至少击中1发．
故答案为：至少击中1发．
根据已知条件，结合事件Ai的定义，即可直接求解．
本题主要考查样本点与样本空间，属于基础题．

14.【答案】3.5 
【解析】
【分析】
本题主要考查了求解一组数据的平均数及中位数，属于基础题．
先由平均数公式求出a，进而可求中位数．
【解答】
解：由题意得，−3+2a+4+5−a+1+9=3×6=18，
故a=2，
数据按从小到大的顺序排列为−3，1，3，4，4，9，
故中位数3+42=3.5．
故答案为：3.5．
  
15.【答案】16 
【解析】
【分析】
根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．
本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．
【解答】
解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，
∴ DX=8，即DX=64，
数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为D(2X−1)=4DX=4×64，
则对应的标准差为 D(2X−1)=16，
故答案为16．  
16.【答案】34 
【解析】解：∵甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14
∴目标不被击中的概率是12×23×34=14
∴由对立事件的概率公式得到目标被击中的概率为1−14=34
故答案为：34．
本题是一个相互独立事件同时发生的概率，目标被击中的对立事件是目标不被击中，目标不被甲击中的概率乘以目标不被乙击中的概率再乘以不被丙几种的概率，即为目标不被击中的概率，用1减去得到结果．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式的求法与运用，一般方法：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积还要注意对立事件的应用．

17.【答案】解：先将该组数据按从小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
其平均数a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+1710=14.7，
因为10×50%=5，
所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b=15+152=15．
故a=14.7，b=15． 
【解析】由题意，先将这组数据按从小到大排列，利用平均数的计算公式求出a，再结合百分位数的定义求出b．
本题考查平均数的计算公式以及百分位数的定义，属于基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、
(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、
(X,Z )、(Y,Z)，共计15个结果．
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，
则事件M包含的结果有：(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)，共计6个结果，
故事件M发生的概率为615=25． 
【解析】(Ⅰ)用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．
(Ⅱ)用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．
本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．

19.【答案】解：(1)因为报名的学生共有540+360+180=1080人，
从这1080人中抽取120名，
可得抽取的比例为1201080=19，
所以高一抽取540×19=60人，高二抽取360×19=40人，高三抽取180×19=20人；
(2)第三组的频率为1−(0.1+0.15+0.3+0.25+0.05)=0.15
所以第三组的小矩形的高度为0.015，
补全频率分布直方图：
 
【解析】(1)由题意，利用分层抽样的方法进行求解即可；
(2)根据频率之和为1，求出第三组的频率和小矩形的高度，进而可补全频率分布直方图．
本题考查频率分布直方图，考查了运算能力和数据分析．

20.【答案】(Ⅰ)因为在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，E为AB中点．
所以PE⊥DE，又PE=2,CE=2 2,PC=2 3，
PC2=PE2+CE2，
所以PE⊥EC．
又PE⊥ED，ED∩EC=E，ED，EC⊂ABCD，
故PE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)因为PE⊥平面ABCD，DE⊥DC于点D，连接PD，

则∠PDE即为所求的角，
∵PE⊥ED，PE=DE=2，
∴∠PDE=π4，
故二面角P−DC−B的大小为π4． 
【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合勾股定理，以及线面垂直的判定定理，即可求解；
(Ⅱ)连接PD，结合第一步的结论，推得∠PDE即为所求的角，再结合三角形的性质，即可求解．
本题主要考查二面角平面角的求解，属于中档题．

21.【答案】解：(Ⅰ)由正方体的性质可知，AB//C1D1中，且AB=C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1//AD1，
又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1//平面AD1E.
(Ⅱ)解法一：以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，则A(0,0,0)，A1(0,0,a)，D1(a,0,a)，E(0,a,12a)，
∴AA1=(0,0,a)，AD1=(a,0,a)，AE=(0,a,12a)，
设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AD1=0m⋅AE=0，即a(x+z)=0a(y+12z)=0，
令z=2，则x=−2，y=−1，∴m=(−2,−1,2)，
设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ=|cos|=|m⋅AA1|m|⋅|AA1||=2aa⋅3=23，
故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23．
解法二：设正方体的棱长为2a，则AD1=2 2a，AE= 5a，ED1=3a，S△AA1D=12⋅2a⋅2a=2a2，
由余弦定理知，cos∠EAD1=AD12+AE2−ED122⋅AD1⋅AE=8a2+5a2−9a22⋅2 2a⋅ 5a= 1010，
∴sin∠EAD1=3 1010，
∴S△EAD1=12AD1⋅AE⋅sin∠EAD1=3a2，
设点A1到平面EAD1的距离为h，
∵VA1−EAD1=VE−AA1D，
∴13h⋅3a2=13⋅2a⋅2a2，∴h=43a，
设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ=hAA1=43a2a=23．
故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23． 
【解析】本题考查空间中线面平行的判定，直线与平面夹角的向量求法，属于基础题．
(1)根据正方体的性质可证得BC1//AD1，再利用线面平行的判定定理即可得证；
(2)以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，先求出平面AD1E的法向量m，再利用sinθ=|cos|=|m⋅AA1|m|⋅|AA1||以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．

22.【答案】解：(1)设事件A=“小明同学恰好答对1道题目”，
则小明同学恰好答对1道题目的概率P(A)=12×12×23×23+12×12×23×23+12×12×13×23+12×12×23×13=13．
(2)设事件B=“小明同学面试成功”，
若小明同学恰好答对2道题目面试成功，则必定答对了第3题和第4题，
则小明同学恰好答对2道题目面试成功的概率为P1=12×12×13×13=136，
小明同学恰好答对3道题目的概率为P2=12×12×13×13+12×12×13×13+12×12×23×13+12×12×13×23=16，
小明同学答对4道题目的概率为P3=12×12×13×13=136，
所以小明同学面试成功的概率P(B)=P1+P2+P3=29． 
【解析】(1)直接计算小明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率相加即可；
(2)分小明答对2道题目、3道题目、4道题目面试成功，依次计算概率，再相加即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．