2020-2021学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•邢台期末）复数在复平面内对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2021春•邢台期末）某校在运动会期间组织了两个啦啦队，共20名队员，她们的身高（单位：数据按从小到大排序如下：
162 162 163 165 165 165 165 167 167 167 168 168 170 170 171 173 175 175 178 178
则估计这20名队员身高的第80百分位数为　　
A．171 B．173 C．174 D．175
3．（5分）（2021春•邢台期末）已知单位向量，满足，若，，且，则　　
A．1 B．2 C． D．
4．（5分）（2021春•邢台期末）已知直线及两个不重合的平面，，下列命题正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，且内有无数条直线与垂直，则
5．（5分）（2021春•邢台期末）某正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•邢台期末）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是　　
A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势
B．我国人口的年平均增长率持续下降
C．2020年的全国人口相比2010年增加了
D．我国人口出生率仍然持续上升
7．（5分）（2021春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•邢台期末）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以领先，则最后甲获胜的概率为　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021春•邢台期末）已知复数，，则　　
A．，互为共轭复数 B．
C． D．
10．（5分）（2021春•邢台期末）已知向量，满足，且，则　　
A． B． C． D．，
11．（5分）（2021春•邢台期末）某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名（每次考试无并列名次）．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期3次考试名次的数据分别为
甲同学：平均数为3，众数为2；
乙同学：中位数为3，众数为3；
丙同学：众数为3，方差小于3；
丁同学：平均数为3，方差小于3．
则一定符合推荐要求的同学有　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．（5分）（2021春•邢台期末）在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则　　

A．平面
B．三棱锥的体积为4
C．存在点，使得
D．线段的长度的取值范围为，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•邢台期末）已知，，若，，三点共线，且，写出一个满足条件的点的坐标为 　　．
14．（5分）（2017•江苏模拟）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为　 　．
15．（5分）（2021春•邢台期末）天台山景区位于邢台市临城县崆山溶洞景区西北8公里处．远远望去，天台山就像一尊首东而是西的巨型睡佛，天台山在古时就有天台八景之说．某测量小组为测量天台山主峰最高点的海拔，选取了一块海拔为200米的平地，在平地选取相距133米的两个观测点与，如图，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则主峰最高点的海拔为 　　米．（参考数据：取，

16．（5分）（2021春•邢台期末）在等腰中，，，若所在的平面外有一点满足到，，三点的距离都是，则三棱锥外接球的体积为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021春•邢台期末）已知复数满足．
（1）求；
（2）若复数的虚部为2，且是实数，求．
18．（12分）（2021春•邢台期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．
（1）求；
（2）求．

19．（12分）（2021春•邢台期末）为统筹经济社会发展，全国许多城市纷纷发展夜间经济，并使其成为城市竞争的新赛道、城市活力的新标志．某文旅公司在某市多条步行街推出深夜食堂特色餐饮街区，共设置夜市摊点500个．为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅公司随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为60分．将分数以10为组距分为6组：，、，、，、，、，、，，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图．已知，组的频数比，组多15．
（1）求频率分布直方图中和的值；
（2）为培育特色精品夜市，提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅公司准备对剩下所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅公司希望使得恰有的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．

20．（12分）（2021春•邢台期末）随着经济的发展，人民生活水平得到提高，相应的生活压力也越来越大，对于娱乐生活的需求也逐渐增加．根据某剧场最近半年演出的各类剧的相关数据，得到表：
剧本类别
类
类
类
类
类
演出场次
400
200
150
100
150
好评率
0.9
0.8
0.6
0.5
0.6
好评率是指某类剧演出后获得好评的场次与该类剧演出总场次的比值．
（1）从上表各类剧中随机抽取1场剧，估计这场剧获得了好评的概率；
（2）为了了解，两类剧比较受欢迎的原因，现用分层随机抽样的方法，按比例分配样本，从，两类剧中取出6场剧，对这6场剧的观众进行问卷调查．若再从这6场剧中随机抽取2场，求取到的2场剧中，两类剧都有的概率．
21．（12分）（2021春•邢台期末）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．

22．（12分）（2021春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求面积的最大值．

2020-2021学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•邢台期末）复数在复平面内对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，
复数在复平面内对应的点在第四象限，
故选：．
2．（5分）（2021春•邢台期末）某校在运动会期间组织了两个啦啦队，共20名队员，她们的身高（单位：数据按从小到大排序如下：
162 162 163 165 165 165 165 167 167 167 168 168 170 170 171 173 175 175 178 178
则估计这20名队员身高的第80百分位数为　　
A．171 B．173 C．174 D．175
【解答】解：因为，第16个数据为173，第17个数据为175，
所以估计这20名队员身高的第80百分位数为．
故选：．
3．（5分）（2021春•邢台期末）已知单位向量，满足，若，，且，则　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：，，
，，
，
．
故选：．
4．（5分）（2021春•邢台期末）已知直线及两个不重合的平面，，下列命题正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，且内有无数条直线与垂直，则
【解答】解：若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误；
若，，则或与相交，故错误；
若，，由平面与平面平行、直线与平面平行的定义可得，故正确；
若，且内有无数条直线与垂直，则，错误，当为锐二面角时，内也有无数条直线与垂直．
故选：．
5．（5分）（2021春•邢台期末）某正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：平面展开图得到该正方体的直观图如图：
因为，所以即直线与所成角，设，则，所以．
故选：．

6．（5分）（2021春•邢台期末）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是　　
A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势
B．我国人口的年平均增长率持续下降
C．2020年的全国人口相比2010年增加了
D．我国人口出生率仍然持续上升
【解答】解：我过人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故选项正确，选项错误；
1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故选项错误；
从图中不能判定我国人口出生率的情况，故选项错误．
故选：．
7．（5分）（2021春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
又，
所以，即，
可得，
所以．
故选：．
8．（5分）（2021春•邢台期末）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以领先，则最后甲获胜的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，甲获胜包括三种情况：
①第三局甲胜利，其概率；
②第三局乙胜利，第四局甲胜利，其概率；
③第三、四局乙胜利，第五局甲胜利，其概率；
则甲获胜的概率．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021春•邢台期末）已知复数，，则　　
A．，互为共轭复数 B．
C． D．
【解答】解：因为复数，
，
所以、互为共轭复数，选项正确；
又，所以选项正确；
由，所以选项正确；
因为虚数不能比较大小，所以选项错误．
故选：．
10．（5分）（2021春•邢台期末）已知向量，满足，且，则　　
A． B． C． D．，
【解答】解：向量，满足，且，可得，所以，所以正确；
．所以错误；
，所以．所以正确；
，，所以，所以正确；
故选：．
11．（5分）（2021春•邢台期末）某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名（每次考试无并列名次）．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期3次考试名次的数据分别为
甲同学：平均数为3，众数为2；
乙同学：中位数为3，众数为3；
丙同学：众数为3，方差小于3；
丁同学：平均数为3，方差小于3．
则一定符合推荐要求的同学有　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：对于甲同学，平均数是3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2，2，5，满足要求；
对于乙同学，中位数为3，众数为3，可考虑举反例：3，3，6，不满足要求；
对于丙同学，众数为3，方差小于3，可局特例：3，3，6，则平均数为4，方差，不满足条件；
对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为，，，
若，，中至少有一个大于等于6，则方差，
与已知条件矛盾，所以，，均不大于5，满足要求．
故选：．
12．（5分）（2021春•邢台期末）在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则　　

A．平面
B．三棱锥的体积为4
C．存在点，使得
D．线段的长度的取值范围为，
【解答】解：平面平面，平面，平面，故正确；
，故错误；
连接，作交于，连接，
平面，为与平面所成的角，
平面，为与平面所成角．
直线，与平面所成角的大小相等，，
则，
又，，则点在的中垂线上，即点在线段上运动，
当点与点重合时，，故正确；

，为棱上靠近的三等分点，，，则，
，，当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，
最大值为，当点在点处时，线段的线段取得最小值，最小值为，
线段的长度的取值范围为，，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•邢台期末）已知，，若，，三点共线，且，写出一个满足条件的点的坐标为 　　．
【解答】解：设，则，由，，三点共线得，
又，，．
由得，把代入得：，解得或，
则满足条件的一个点坐标为．
故答案为：．
14．（5分）（2017•江苏模拟）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为　　．
【解答】解：圆锥的底面直径与高都是2，
母线长为：，
圆锥的侧面积为：．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•邢台期末）天台山景区位于邢台市临城县崆山溶洞景区西北8公里处．远远望去，天台山就像一尊首东而是西的巨型睡佛，天台山在古时就有天台八景之说．某测量小组为测量天台山主峰最高点的海拔，选取了一块海拔为200米的平地，在平地选取相距133米的两个观测点与，如图，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则主峰最高点的海拔为 　599　米．（参考数据：取，

【解答】解：设米，由题意知，，所以，
所以，
所以，
即，解得，
所以主峰最高点的海拔为（米．
故答案为：599．
16．（5分）（2021春•邢台期末）在等腰中，，，若所在的平面外有一点满足到，，三点的距离都是，则三棱锥外接球的体积为 　　．
【解答】解：因为点到，，的距离相等，所以点在底面的射影为底面的外心，
又为直角三角形，外心为斜边的中点，设为，即平面．
三棱锥的外接球的球心在上，记为，设半径为．
在中，，，
在中，，即，解得．
所以外接球的体积为．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021春•邢台期末）已知复数满足．
（1）求；
（2）若复数的虚部为2，且是实数，求．
【解答】解：（1），
．
（2）复数的虚部为2，设，，
则，
是实数，
，解得，
．
18．（12分）（2021春•邢台期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．
（1）求；
（2）求．

【解答】解：解法一、（1）因为，
所以；
（2）由题意知等于向量和的夹角，
计算，所以；
计算，所以；
所以．
解法二、中，，，所以，又，
由余弦定理得，
解得；
以为坐标原点，、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，，，
因为，所以；
所以，；
（1）计算；
（2）由题意知等于向量和的夹角，
且，，
所以．
19．（12分）（2021春•邢台期末）为统筹经济社会发展，全国许多城市纷纷发展夜间经济，并使其成为城市竞争的新赛道、城市活力的新标志．某文旅公司在某市多条步行街推出深夜食堂特色餐饮街区，共设置夜市摊点500个．为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅公司随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为60分．将分数以10为组距分为6组：，、，、，、，、，、，，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图．已知，组的频数比，组多15．
（1）求频率分布直方图中和的值；
（2）为培育特色精品夜市，提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅公司准备对剩下所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅公司希望使得恰有的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．

【解答】解：（1）由题意可得，，
解得，；
（2）设应该制定的评分分数为分，
则在频率分布直方图中，右边的面积为，
最后一组的面积是，
所以位于倒数第一组，
故，解得，
所以应该制定的评分分数为55分．
20．（12分）（2021春•邢台期末）随着经济的发展，人民生活水平得到提高，相应的生活压力也越来越大，对于娱乐生活的需求也逐渐增加．根据某剧场最近半年演出的各类剧的相关数据，得到表：
剧本类别
类
类
类
类
类
演出场次
400
200
150
100
150
好评率
0.9
0.8
0.6
0.5
0.6
好评率是指某类剧演出后获得好评的场次与该类剧演出总场次的比值．
（1）从上表各类剧中随机抽取1场剧，估计这场剧获得了好评的概率；
（2）为了了解，两类剧比较受欢迎的原因，现用分层随机抽样的方法，按比例分配样本，从，两类剧中取出6场剧，对这6场剧的观众进行问卷调查．若再从这6场剧中随机抽取2场，求取到的2场剧中，两类剧都有的概率．
【解答】解：（1）设“随机抽取1场剧，这场剧获得好评”为事件．
获得了好评的场次为．
所以．
（2）根据题意，，两类剧演出场次之比为．
所以类剧抽取4场，记为，，，，类剧抽取2场，记为，，
从中随机抽取2场，所有取法为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15种．
取到的2场中，两类剧都有的取法为，，，，，，，，，，，，，，，，共8种．
所以取到的2场中，两类剧都有的概率．
21．（12分）（2021春•邢台期末）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．

【解答】解：（1）证明：取的中点，记，连接，，，
在中，，分别是，的中点，所以，
同理可得，
又因为，，
所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）解：因为底面是菱形，所以，
因为，，所以，则，
又因为是的中点，所以，
因为，所以平面，
则，
因为，，所以，
则，
则，所以，又因为，
所以平面，
若平面，
则与重合．故．

22．（12分）（2021春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求面积的最大值．
【解答】解：（1）因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，即，
则．
（2）设，，
分别在，，中，由余弦定理可得，，
可得，
由，得，
又因为，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故的面积，
故面积的最大值为．
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