2020-2021学年河北省衡水市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知角α的终边经过点P(−5, −12)，则sin(3π2+α)的值等于( )
A.−513B.513C.−1213D.1213

2. A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|=|z1−z2|，则△AOB一定是( )
A.锐角三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

3. 已知扇形OAB的周长是60cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是( )
A.1B.2C.3D.4

4. 向量a→=(1,2m)，向量b→=(3,−1)，(a→+b→)⊥b→，m=( )
A.132B.76C.−76D.−132

5. 定义运算：a1a2a3a4=a1a4−a2a3，将函数f(x)=3csx21sinx2的图像向左平移m(m>0)个单位，所得图像关于y轴对称，则m的最小值为（ ）
A.π3B.2π3C.4π3D.7π3

6. 在地平面上有一旗杆OP（O在地面），为了测得它的高度ℎ，在地平面上取一基线AB，测得其长为20m，在A处测得
P点的仰角为30∘，在B处测得P点的仰角为45∘，又测得∠AOB=30∘，则旗杆的高ℎ等于( )

A.10mB.20mC.103mD.203m

7. 在直角梯形ABCD中，AB=4，CD=2，AB // CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB→⋅(AC→+AE→)=( )

A.8B.12C.16D.20

8. 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)(λ∈[0, +∞))，则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心B.外心C.垂心D.重心
二、多选题

已知向量a→，b→是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a→，b→共线的是( )
A.已知梯形ABCD，其中AB→=a→，CD→=b→
B.2a→−3b→=4e→且a→+2b→=−2e→
C.存在相异实数λ，μ，使λa→−μb→=0→
D.xa→+yb→=0→(其中实数x，y满足x+y=0)

已知复数z=8+i1+2i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z在复平面内对应的点位于第四象限
B.z的模等于13
C.z的共轭复数为−2−3i
D.若zm+4i是纯虚数，则m=−6

已知a→=1,2,b→=4,k，若a→+2b//3a→−b→，则下列说法正确的是（ ）
A.k=8B.|b→|=45C.a→//b→D.a→⋅b→=12

已知向量m→=(sinx,−3)，n→=(csx,cs2x)，函数f(x)=m→⋅n→+32，下列命题，说法正确的选项是( )
A.y=f(x)的最小正周期是π
B.y=f(x)的图象关于点(π6,0)对称
C.y=f(x)的图象关于直线x=π12对称
D.y=f(x)的单调增区间为[2kπ−π12,2kπ+5π12](k∈Z)
三、填空题

在△ABC中，若sinA=35， csB=513，则csC=________.

已知向量a→，b→满足(a→+2b→)⋅(a→−b→)=−6，且|a→|=1，|b→|=2，则a→与b→的夹角为________．

已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则AM→⋅AB→的取值范围是________.

已知a→=1,2，b→=1,1，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________.
四、解答题

化简：
(1)）2cs10∘−sin20∘cs20∘；

(2)设tan5π+α=m，求 sin−3π+α+csα−πcsα−11π2+sin9π2+α的值．

已知π2<β<α<3π4，且cs(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，求cs2α的值．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=a+2bcsA．
(1)求角B；

(2)若b=43，求△ABC的面积的最大值．

如图所示，在△ABO中，OC→=14OA→，OD→=12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→=a→，OB→=b→.

(1)试用向量a→，b→表示OM→；

(2)过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记OE→=λa→，OF→=μb→，求证：1λ+3μ为定值．

已知函数fx=Asinωx+φ，其中A>0，ω>0，0<φ<π，函数fx图像上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x=π3处取到最小值−2．
(1)求函数fx的解析式．

(2)若将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将向左平移π6个单位，得到函数gx图象，求函数gx的单调递增区间．

(3)若关于x的方程gx=m+2在x∈0,9π8上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

已知函数fx=4sinxcsx−π6，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)当x∈0,π2时，求函数fx的取值范围；

(2)若对任意的x∈R都有fx≤fA，c=2b=4，点D是边BC的中点，求AD→的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
任意角的三角函数
【解析】
利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(3π2+α)的值．
【解答】
解：∵ 角α的终边经过点P(−5, −12)，
则sin(3π2+α)=−csα=−−525+144=513.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据复数的向量表示，以及复数加减法的几何意义，可得结果
【解答】
解：根据复数加（减）法的几何意义及|z1+z2|=|z1−z2|，
知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，
则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
弧长公式
扇形面积公式
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
扇形周长为60cm，设弧长为l，半径为r，由已知l+2r=60，表示出扇形面积，利用二次函数求解最大面积，求得此时r，圆心角α的值．
【解答】
解：设弧长为l，半径为r，由已知
l+2r=60，
所以l=60−2r，
α=lr=60−2rr，
从而S=12αr2=12⋅60−2rr⋅r2
=−r2+30r=−r−152+225，
当r=15时，S最大值为225，
此时圆心角α=lr=60−2rr=2．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．
【解答】
解：∵ a→=(1,2m)，b→=(3,−1)，
则a→+b→=(4,2m−1)，
又(a→+b→)⊥b→，
∴ 4×3+1−2m=0，
∴ m=132．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
同角三角函数间的基本关系
奇偶函数图象的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：试题分析a1a2a3a4=a1a4−a2a3，
将函数f(x)=3csx21sinx2，
化为fx=3sinx2−csx2=2sinx2−π6 ，
再向左平移 mm>0 个单位，
即fx+m=2sinx+m2−π6 又为偶函数，
由三角函数图象的性质可得，即 x=0 时函数值为最大或最小值，
即sinm2−π6=1或sinm2−π6=−1，
所以m2−π6=kπ+π2，k∈Z，即m=2kπ+4π3,k∈Z，
又m>0，
所以m的最小值是4π3.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
解三角形的实际应用
余弦定理
【解析】
设旗杆的高度为ℎm．依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，由题意可得，OB=OP=ℎ(m)，OA=OPtan30∘=3ℎ，结合余弦定理，可得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcs∠AOB可求ℎ
【解答】
解：依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，
∴ OB=OP=ℎm，OA=OPtan30∘=3ℎ(m).
由余弦定理，可得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcs∠AOB，
即400=3ℎ2+ℎ2−3ℎ2，解得ℎ=20m，
∴ 旗杆的高度为20m．
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】

【解答】
解：建立坐标系如图，
设AD=x，
则A(0, 0)，B(4, 0)，D(0, x)，C(2, x)，E(3, x2)，
AC→=(2,x)，AE→=(3, x2)，AB→=(4, 0)，
∴ AC→+AE→=(5, 3x2)，
∴ AB→⋅(AC→+AE→)=20．
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
可先根据数量积为零得出 BC→与λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．
【解答】
解：由OP→=OA→+λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)
⇒OP→−OA→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)
⇒AP→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，
又∵ BC→⋅AP→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)⋅BC→
=−|BC→|+|BC→|=0，
∴ AP→⊥BC→，
∴ 点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心.
故选C.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
向量的共线定理
【解析】
平面平面向量共线定义对四个选项进行逐一的分析判断，即可得到答案．
【解答】
解：A，在梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故a→，b→不一定共线，故A不符合题意；
B，因为2a→−3b→=4e→且a→+2b→=−2e→，
所以b→=−4a→，故a→，b→共线，故B符合题意；
C，因为存在相异实数λ，μ，使λa→−μb→=0→，所以λa→=μb→，故a→，b→共线，故C符合题意；
D，当x=y=0时，a→，b→不共线，故D不符合题意；
故选BC．
【答案】
A,D
【考点】
复数的运算
复数的模
共轭复数
虚数单位i及其性质
【解析】
先将复数z化简，再对各选项进行判断即可．
【解答】
解：z=8+i1+2i=8+i1−2i1+2i1−2i
=8−16i+i−2i212−22i2
=10−15i5=2−3i，
A，∵ z在复平面内对应的点为2,−3，位于第四象限，故A正确；
B，|z|=22+(−3)2=13，即z的模等于13，故B错误；
C，∵ z=2−3i的共轭复数为z=2+3i，故C错误；
D，∵zm+4i=2−3im+4i
=2m+12+8−3mi，
若zm+4i是纯虚数，
则2m+12=0,8−3m≠0,
解得m=−6，故D正确．
故选AD．
【答案】
A,B,C
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
平行向量（共线向量）
向量的模
【解析】

【解答】
解：因为a→=1,2，b→=4,k，
所以a→+2b→=(1,2)+(8,2k)=(9,2+2k)，
3a→−b→=(3,6)−(4,k)=(−1,6−k)，
因为(a→+2b→)//(3a→−b→)，
所以96−k=−12+2k，则k=8，故A正确；
|b→|=42+82=45，故B正确；
由于1×8=2×4，故a→//b→，故C正确；
a→⋅b→=1×4+2×8=20，故D错误．
故选ABC．
【答案】
A,B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为m→=(sinx,−3)，n→=(csx,cs2x)，
所以f(x)=m→⋅n→+32
=sinxcsx−3cs2x+32
=12sin2x−3(1+cs2x2)+32
=12sin2x−32−32cs2x+32
=sin(2x−π3).
A，y=f(x)的最小正周期是T=2π2=π，正确；
B，x=π6时，f(x)=sin0=0，y=f(x)的图象关于点(π6,0)对称，正确；
C，x=π12时，f(x)=sin(−π6)=−12，y=f(x)的图象不关于直线x=π12对称，错误；
D，函数y=f(x)的增区间为2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
即kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，该选项错误.
故选AB．
三、填空题
【答案】
1665
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的余弦公式
诱导公式
【解析】
由题意得到0【解答】
解：因为csB=513，
所以B∈0,π2，
所以sinB=1213，
且sinB>sinA，
由正弦定理可得b>a，
所以根据三角形内角与边的关系可知，0所以csA=45，
根据两角和与差的余弦公式可得，
csC=cs(π−A−B)=−cs(A+B)
=−csAcsB+sinAsinB
=−45×513+35×1213=1665.
故答案为：1665.
【答案】
π3
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由条件可得求得a→⋅b→=1，再由两个向量的夹角公式求出csθ=12，再由θ的范围求出θ的值．
【解答】
解：设a→与b→的夹角为θ，
∵ 向量a→，b→满足(a→+2b→)⋅(a→−b→)=−6，且|a→|=1，|b→|=2，
∴ a→2+a→⋅b→−2b→2=1+a→⋅b→−8=−6，
∴ a→⋅b→=1．
∴ csθ=1|a→|⋅|b→|=12，
再由θ的范围为[0, π]，可得θ=π3.
故答案为：π3．
【答案】
−12,32
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的几何表示
【解析】
画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．
【解答】
解：如图所示，
AM→⋅AB→=|AM→||AB→|cs⟨AM→⋅AB→⟩,
它的几何意义是AB的长度与AM→在AB→上的投影的乘积，
①当M点与C点重合时，AM→在AB→方向上的投影最大，
AM→⋅AB→取得最大值为1+1×cs60∘=32，
②当点P与点F重合时，AM→在AB→方向上的投影最小，
AM→⋅AB→取得最小值为1×cs120∘=−12，
综上所述，AM→⋅AB→的取值范围是−12,32．
【答案】
−53,0∪0,+∞
【考点】
向量的共线定理
数量积表示两个向量的夹角
数量积的坐标表达式
【解析】
由题意可得a→⋅(a→+λb→)>0且λ≠0，求解即可.
【解答】
解： 已知a→=1,2，b→=1,1且a→与a→+λb→的夹角为锐角，
∴ a→⋅(a→+λb→)=1,2⋅1+λ,2+λ=1+λ+4+2λ=3λ+5>0且λ≠0,λ=0时a→与a→+λb→的夹角为0，
所以λ>−53且λ≠0，
故实数λ的取值范围为−53,0∪0,+∞.
故答案为：−53,0∪0,+∞.
四、解答题
【答案】
解：12cs10∘−sin20∘cs20∘
=2cs30∘−20∘−sin20∘cs20∘
=2cs30∘cs20∘+2sin30∘sin20∘−sin20∘cs20∘
=3cs20∘+sin20∘−sin20∘cs20∘
=3cs20∘cs20∘=3；
2设tan5π+α=m，
则tanα=m，
∴ sin−3π+α+csα−πcsα−11π2+sin9π2+α
=sinπ+α+csπ−αcsα+π2+sinπ2+α
=−sinα−csα−sinα+csα
=tanα+1tanα−1
=m+1m−1.
【考点】
三角函数的化简求值
两角和与差的余弦公式
运用诱导公式化简求值
求两角和与差的正弦
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
1原式=2cs30∘−20∘−sin20∘cs20∘，再利用两角和与差的三角函数化简求解即可；
2由tan5π+α=m，得到tanα=m，再利用诱导公式化简求值即可.
【解答】
解：12cs10∘−sin20∘cs20∘
=2cs30∘−20∘−sin20∘cs20∘
=2cs30∘cs20∘+2sin30∘sin20∘−sin20∘cs20∘
=3cs20∘+sin20∘−sin20∘cs20∘
=3cs20∘cs20∘=3；
2设tan5π+α=m，
则tanα=m，
∴ sin−3π+α+csα−πcsα−11π2+sin9π2+α
=sinπ+α+csπ−αcsα+π2+sinπ2+α
=−sinα−csα−sinα+csα
=tanα+1tanα−1
=m+1m−1.
【答案】
解：∵ π2<β<α<3π4，
∴ 0<α−β<π2，π<α+β<3π2，
∵ cs(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，
∴ sin(α−β)=1−(1213)2=513，
cs(α+β)=−1−(−35)2=−45，
则cs2α=cs[(α−β)+(α+β)]
=cs(α−β)cs(α+β)−sin(α−β)sin(α+β)
=1213×(−45)−(−35)×513=−3365．
【考点】
两角和与差的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由α与β的范围求出α−β与α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α−β)与cs(α+β)的值，所求式子角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：∵ π2<β<α<3π4，
∴ 0<α−β<π2，π<α+β<3π2，
∵ cs(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，
∴ sin(α−β)=1−(1213)2=513，
cs(α+β)=−1−(−35)2=−45，
则cs2α=cs[(α−β)+(α+β)]
=cs(α−β)cs(α+β)−sin(α−β)sin(α+β)
=1213×(−45)−(−35)×513=−3365．
【答案】
解：(1)由正弦定理可得2sinC=sinA+2sinBcsA，
∴2sin(A+B)=sinA+2sinBcsA，
∴2sinAcsB=sinA，在△ABC中，∵sinA≠0，
∴csB=12，
又∵B∈0,π，
∴B=π3．
(2)∵b=43，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB可得a2+c2−ac=48．
∴ ac≤48，
∴S△ABC=12acsinB≤12×48×32=123，
当且仅当a=c=43时，等号成立．
∴△ABC面积的最大值是123．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
【解析】
左侧图片未给出解析

【解答】
解：(1)由正弦定理可得2sinC=sinA+2sinBcsA，
∴2sin(A+B)=sinA+2sinBcsA，
∴2sinAcsB=sinA，
在△ABC中，∵sinA≠0，
∴csB=12，
又∵B∈0,π，
∴B=π3．
(2)∵b=43，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB可得a2+c2−ac=48．
∴ ac≤48，
∴S△ABC=12acsinB≤12×48×32=123，
当且仅当a=c=43时，等号成立．
∴△ABC面积的最大值是123．
【答案】
(1)解：由A，M，D三点共线，
可设OM→=mOA→+(1−m)OD→=ma→+1−m2b→.
由B，M，C三点共线，
可设OM→=nOC→+(1−n)OB→=n4a→+(1−n)b→.
因为a→，b→不共线，
所以m=14n，1−m2=1−n，
解得m=17，n=47，
故OM→=17a→+37b→.
(2)证明：因为E，M，F三点共线，
设OM→=kOE→+(1−k)OF→=kλa→+(1−k)μb→，
由(1)可知，kλ=17，(1−k)μ=37，
即1λ=7k，3μ=7−7k，
所以1λ+3μ=7，
故1λ+3μ为定值.
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
三点共线
【解析】
(1)分别由三点共线，可分别设OM→和OM→，由平面向量基本定理，可分别求出m和n的值.
(2)由向量表示三点共线可设OM→，由(1)知kλ=17，(1−k)μ=37，即1λ=7k，3μ=7−7k，所以1λ+3μ=7，得以证明.
【解答】
(1)解：由A，M，D三点共线，
可设OM→=mOA→+(1−m)OD→=ma→+1−m2b→.
由B，M，C三点共线，
可设OM→=nOC→+(1−n)OB→=n4a→+(1−n)b→.
因为a→，b→不共线，
所以m=14n，1−m2=1−n，
解得m=17，n=47，
故OM→=17a→+37b→.
(2)证明：因为E，M，F三点共线，
设OM→=kOE→+(1−k)OF→=kλa→+(1−k)μb→，
由(1)可知，kλ=17，(1−k)μ=37，
即1λ=7k，3μ=7−7k，
所以1λ+3μ=7，
故1λ+3μ为定值.
【答案】
解：(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，0<φ<π，
函数f(x)的最小正周期为π2=2πω ，解得ω=4，
函数f(x)在x=π3处取到最小值−2，则A=2，且fπ3=−2，
即4π3+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
令k=0可得φ=π6，
则函数f(x)=2sin4x+π6．
(2)函数f(x)=2sin4x+π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ( 纵坐标不变 ) ,
可得y=2sin2x+π6，
再向左平移π6个单位可得y=2sin2x+π6+π6=2cs2x，
令−π+2kπ≤2x≤0+2kπ，
解得f(x)的单调递增区间为−π2+kπ,kπ(k∈Z)．
(3)∵方程g(x)=m+2在x∈0,9π8上有两个不同的实根，
∴−2解得−4【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
三角函数的最值
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】



【解答】
解：(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，0<φ<π，
函数f(x)的最小正周期为π2=2πω ，解得ω=4，
函数f(x)在x=π3处取到最小值−2，则A=2，且fπ3=−2，
即4π3+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
令k=0可得φ=π6，
则函数f(x)=2sin4x+π6．
(2)函数f(x)=2sin4x+π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ( 纵坐标不变 ) ,
可得y=2sin2x+π6，
再向左平移π6个单位可得y=2sin2x+π6+π6=2cs2x，
令−π+2kπ≤2x≤0+2kπ，
解得f(x)的单调递增区间为−π2+kπ,kπ(k∈Z)．
(3)∵方程g(x)=m+2在x∈0,9π8上有两个不同的实根，
∴−2解得−4【答案】
解：(1)f(x)=2sin2x+23sinxcsx=3sin2x−cs2x+1=2sin2x−π6+1，
当x∈0,π2时，2x−π6∈−π6,5π6，sin2x−π6∈−12,1，
∴f(x)∈[0,3]．
(2)由对任意的x∈R都有f(x)≤f(A)得：
2A−π6=π2+2kπ，k∈Z⇒A=π3+kπ，k∈Z．
又A∈(0,π)，∴A=π3，
又∵AD→=12AB→+AC→，
∴AD→2=14AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2，
=14(c2+b2+2cbcsA)=14(c2+b2+cb)=7，
∴AD→=7．
【考点】
两角和与差的正弦公式
求二倍角的正弦
求二倍角的余弦
三角函数的最值
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f(x)=2sin2x+23sinxcsx=3sin2x−cs2x+1=2sin2x−π6+1，
当x∈0,π2时，2x−π6∈−π6,5π6，sin2x−π6∈−12,1，
∴f(x)∈[0,3]．
(2)由对任意的x∈R都有f(x)≤f(A)得：
2A−π6=π2+2kπ，k∈Z⇒A=π3+kπ，k∈Z．
又A∈(0,π)，∴A=π3，
又∵AD→=12AB→+AC→，
∴AD→2=14AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2，
=14(c2+b2+2cbcsA)=14(c2+b2+cb)=7，
∴AD→=7．