2020-2021学年河北省衡水市桃城十四中高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年河北省衡水市桃城十四中高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题,每小题5分）

1．（5分）设集合，．则的元素个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则　　

A． B．8 C． D．4

4．（5分）的展开式中的系数为　　

A．25 B． C．15 D．

5．（5分）已知函数，设，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）向量，满足，，若的最小值为，则　　

A．0 B．4 C．8 D．16

7．（5分）已知函数，则　　

A．的图象关于直线对称 

B．的图象关于点对称 

C．在上单调递增 

D．在上单调递减

8．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则过三点，，的截面面积等于　　

A． B． C． D．3

二、多选题（本大题共4小题,每小题5分）

9．（5分）设复数为虚数单位），则下列说法正确的是　　

A．若，，则 

B．若，，则 

C．“”的充要条件是“” 

D．若，，则复数在复平面上对应的角在第一或第二象限

10．（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是　　

参考数据：随机变量，则，，．

A．该校学生体育成绩的方差为10 

B．该校学生体育成绩的期望为70 

C．该校学生体育成绩的及格率不到 

D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

11．（5分）已知函数，若存在，使得（a）（b）（c）成立，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数满足当，时，，当，时，．若方程在，上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是　　

A． B．2020 C．2021 D．

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分）

13．（5分）命题“，成立”的否定为 　　．

14．（5分）函数的最小值为　　．

15．（5分）若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是　　．

16．（5分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 　　；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是 　　．

四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知是数列的前项和，，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求．

18．（12分）如图，在平面四边形中，已知，．

（1）当、、、共圆时，求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且．

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．

20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．

（1）赛前小明在某数独上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒与训练天数（天有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

参考数据（其中

参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

（2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．

21．（12分）已知点到的距离与它到直线的距离之比为．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于，两点，求证：直线、的斜率之和为定值．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围．

2020-2021学年河北省衡水市桃城十四中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题,每小题5分）

1．（5分）设集合，．则的元素个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：集合，

又，，0，1，，

所以，0，1，，

故的元素个数为4个．

故选：．

2．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

故选：．

3．（5分）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则　　

A． B．8 C． D．4

【解答】解：抛物线开口向上，准线方程为，

抛物线上的点到其准线的距离为4，

可得：，

解得．

故选：．

4．（5分）的展开式中的系数为　　

A．25 B． C．15 D．

【解答】解：在的展开式中，

的系数为．

故选：．

5．（5分）已知函数，设，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得，

故或，

因为在时单调递增，

，，，

因为，

所以，即．

故选：．

6．（5分）向量，满足，，若的最小值为，则　　

A．0 B．4 C．8 D．16

【解答】解：向量，满足，，即．

若，

化为：对于恒成立，

△，化为，

．

故选：．

7．（5分）已知函数，则　　

A．的图象关于直线对称 

B．的图象关于点对称 

C．在上单调递增 

D．在上单调递减

【解答】解：要使函数有意义，则，得，得，级函数的定义域为，

，，则，即函数关于对称，故正确，错误，

函数关于对称，故函数在定义域上上不具备单调性，故错误，故错误，

故选：．

8．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则过三点，，的截面面积等于　　

A． B． C． D．3

【解答】解：取的中点，连接，，则，所以平面为所求截面，

，，，所以梯形的高为：，

过三点，，的截面面积：．

故选：．

二、多选题（本大题共4小题,每小题5分）

9．（5分）设复数为虚数单位），则下列说法正确的是　　

A．若，，则 

B．若，，则 

C．“”的充要条件是“” 

D．若，，则复数在复平面上对应的角在第一或第二象限

【解答】解：，，，

则，正确；

若，，，

则，正确；

若，则，，

若，则，

所以，，

所以，，此时不成立，错误，

，，

，，

故复数在复平面上又应的角在第二象限，故错误，

故选：．

10．（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是　　

参考数据：随机变量，则，，．

A．该校学生体育成绩的方差为10 

B．该校学生体育成绩的期望为70 

C．该校学生体育成绩的及格率不到 

D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

【解答】解：由题意可知：，

则期望，标准差，方差为100，故错误，正确，

选项，，

所以，

所以，故正确，

选项：优秀的概率为：，

不及格的概率为：，两者不同，故错误，

故选：．

11．（5分）已知函数，若存在，使得（a）（b）（c）成立，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，画出函数的图像可知，，

则，且，

所以，即．

因为，所以，，

．

故选：．

12．（5分）已知函数满足当，时，，当，时，．若方程在，上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是　　

A． B．2020 C．2021 D．

【解答】解：当，时，，

当，时，，

所以当，时，，

当时，，

故函数的周期为2，

作出函数的图象如图所示，

当时，方程的根恰好是1，3，5，，成等差数列，则2021在此数列中；

当时，方程的根恰好是0，2，4，，成等差数列，则2020在此数列中；

当时，要使得方程的根成等差数列，则公差只能为1，

设方程的根依次为，，，，其中，

则（a），即，解得，则在此数列中．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分）

13．（5分）命题“，成立”的否定为 　，　．

【解答】解：由全称命题的否定是特称命题，

可得命题“，成立”的否定为，．

故答案为：，．

14．（5分）函数的最小值为　9　．

【解答】解：因为，设，则，

，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值9．

故答案为：9．

15．（5分）若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：由题意可得，则表示点 与点 连线的斜率，其中，，，

即表示函数的图像在轴右侧任意两点连线的斜率，

由函数的解析式可得：，

故函数在处切线的斜率为，

考查临界条件，可知，则的取值范围是．

故答案为：．

16．（5分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 　　；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是 　　．

【解答】解：由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，

四面体的两两垂直的棱长为1，

如图，该六面体的体积为，

当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，

球心为，且该球与相切，其中为的中点，

过球心作，则就是球的半径，

，，故，，，

因为，所以球的半径，

所以该球的表面积为，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知是数列的前项和，，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求．

【解答】（1）证明：，得，

，

，，．

数列是以公比为2，首项为4的等比数列．

故数列是等比数列得证．

（2）解：由（1）得，则．

．

，

18．（12分）如图，在平面四边形中，已知，．

（1）当、、、共圆时，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）中，由余弦定理得，，

中，由余弦定理得，

因为、、、共圆，

所以，即，

所以，，

解得，

故；

（2）中，由余弦定理得，，

所以，

，

所以，，，

所以

．

19．（12分）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且．

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明在梯形中，因为，

所以，连结，由余弦定理可求得，

因为，所以，

因为平面平面且交于，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，，

所以平面；

（2）解：连结，由（1）可知，平面，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为平面，所以在平面内的射影为，

所以与平面所成的角为，即，

在△中，因为，所以，

则，0，，，0，，，，，2，，

所以，，

设平面的法向量为，

则有，即，

令，则，，故，

设平面的法向量为，

则有，即，

令，则，，故，

所以，

由图可知，二面角锐二面角，

故二面角的余弦值为．

20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．

（1）赛前小明在某数独上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒与训练天数（天有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

参考数据（其中

参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

（2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．

【解答】解：（1）由题意，，

令，设关于的线性回归方程为，则

，

则．

，

又，关于的回归方程为，

故时，．

经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；

（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负．

当时，小明胜，；

当时，小明胜，；

当时，小明胜，．

小明最终赢得比赛的概率为．

21．（12分）已知点到的距离与它到直线的距离之比为．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于，两点，求证：直线、的斜率之和为定值．

【解答】解：（1）设点，由题意可得．

化简整理可得，所以点的轨迹的方程为．

（4分）

（2）证明：由（1）可得，过点的直线斜率存在且不为0，

故可设的方程为，，，，，

由得，

△，即，，

而

，

由于直线过点，所以，

所以（即为定值）．（12分）

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围．

【解答】解：（1），

当时，恒成立，函数在上单调递减，

当时，易得当时，，当时，，

故在，上单调递增，在上单调递减，

（2），

所以，，

因为存在两个极值点，，

所以有两个不等正实数解，

即有两个不等式正根，

所以，解得，

因为，，

所以，，

所以曲线在处的切线方程为，

即，

令，

，

故在上单调递增，且，

故当时，，即，

故的范围．

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