专题03：平行线的性质-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

这是一份专题03：平行线的性质-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用），文件包含专题03平行线的性质-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通人教版全国通用解析版docx、专题03平行线的性质-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通人教版全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
专题03：平行线的性质
一、单选题
1．如图，已知直线ABCD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，MH⊥EF于点M，则图中与∠BMH互余的角有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】由MH⊥EF即可知与∠BMH互余的角有∠BMF和∠AMN．再由AB//CD，可知∠CNE=∠DNM=∠AMN，即又得出与∠BMH互余的角有∠CNE和∠DNM，综上即可选择．
【详解】解：∵MH⊥EF，
∴∠FMH=∠EMH=90°，
∴∠BMH+∠BMF=90°，∠BMH+∠AMN=90°．
∵AB//CD，
∴∠CNE=∠DNM=∠AMN．
∴∠BMH+∠CNE=90°，∠BMH+∠DNM=90°
综上，与∠BMH互余的角有∠BMF、∠AMN、∠CNE和∠DNM，共4个．
故选：D．
【点评】此题考查了余角，平行线的性质以及垂线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质和余角的定义．
2．如图，ABED，∠ECA＝80°，∠CAG＝32°，则∠BAG的度数是（       ）            

A．42° B．48° C．38° D．45°
【答案】B
【解析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC的度数，再根据∠CAG＝32°，即可得到∠BAG的度数．
【详解】解：∵ABED，∠ECA＝80°，
∴∠BAC＝∠ECA＝80°
∵∠CAG＝32°，∠CAG+∠BAG＝∠BAC，
∴∠BAG＝48°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（       ）


A．∠α+∠β-∠γ=90° B．∠α+∠γ-∠β=180°
C．∠γ+∠β-∠α=180° D．∠α+∠β+∠γ=180°
【答案】B
【解析】根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
故答案选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补 B．邻补角相等
C．两个锐角的和是锐角 D．垂线段最短
【答案】D
【解析】根据平行线的性质，邻补角的概念，锐角的概念以及垂线段最短逐项判断即可．
【详解】A．两直线平行，同旁内角互补，故该选项为假命题，不符合题意；
B．邻补角互补，不一定相等，故该选项为假命题，不符合题意；
C．两个锐角的和不一定是锐角，例如，为钝角，故该选项为假命题，不符合题意；
D．垂线段最短，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查判断命题的真假．正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．掌握平行线的性质，邻补角的概念，锐角的概念以及垂线段最短是解答本题的关键．
5．下列5个命题:①对顶角相等；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同旁内角的平分线互相垂直；⑤垂线段最短．正确的个数是（        ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据命题、对顶角、补角、平行线、角平分线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：对顶角相等，即①正确；
∵互补的两个角之和为，
∴互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角，即②正确；
平行于同一条直线的两条直线平行，即③正确；
平行线的同旁内角的平分线互相垂直，即④不正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即⑤不正确，
故选：C．
【点评】本题考查了命题、对顶角、补角、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握命题的性质，从而完成求解．
6．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=50°，则∠2的大小是（       ）

A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】C
【解析】如图，根据已知可知∠B=30°，∠BAC=60°，∠1=50°，再根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠BAD，因为∠1+∠BAC +∠BAD=180°，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠B=30°，∠C=90°
∴∠BAC=90°-∠B =60°，
∵∠1=50°，∠1+∠BAC +∠BAD=180°
∴∠BAD =180°-∠1-∠BAC=180°-50°-60°=70°
∵EF//AD，
∴∠2=∠BAD=70°
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
7．下列命题中，是假命题的是（     ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解析】根据垂线公理，平行线的判定，平行线的传递，平行线的性质进行判断即可．
【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题；
B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题；
C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故这个命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（       ）

A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【解析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．

故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
9．如图，已知，点在上，连接，作平分交于点，，则的度数为（       ）．

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由平行线的性质可得，再由角平分线性质可得，利用邻补角可求的度数．
【详解】解：，，
，
平分交于点，
，
．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，解答的关键是熟记并灵活运用平行线的性质．
10．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据内错角相等、同位角相等和同旁内角互补得出两直线平行，对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：、，能判定，不符合题意；
、，不能判定，符合题意；
、，能判定，不符合题意；
、，能判定，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，解题的关键是熟记平行线的判定定理．
11．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【解析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
12．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是(     )
                 
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故选C.

二、填空题
13．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，，则点到直线的距离为______

【答案】
【解析】依据平行线的性质即可得出∠BAE+∠ABD=180°，再根据∠BAE=40°，∠DBC=50°，进而得到∠ABC=90°，即可得出点C到直线AB的距离为BC的长，据此即可求得．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴∠BAE+∠ABD=180°，
又∵∠BAE=40°，∠DBC=50°，
∴∠ABC=180°−40°−50°=90°，
∴CB⊥AB，
∴点C到直线AB的距离为BC的长，即16m，
故答案为：16
【点评】本题主要考查了方向角，平行线的性质，点到直线的距离，注意点到直线的距离是一个长度，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
14．若a，b，c是同一平面内三条互相平行的直线，已知a与b的距离是5cm，b与c的距离是2cm，则a与c距离为_________cm．
【答案】3cm或7cm
【解析】分类讨论：当直线在、之间或直线不在、之间，然后利用平行线间的距离的定义分别求解．
【详解】解：当直线在、之间时，
∵、、是三条平行直线，
而与的距离为5cm，与的距离为2cm，
∴与的距离=5-2=3（cm）；
当直线不在、之间时，
∵、、是三条平行直线，
而与的距离为5cm，与的距离为2cm，
∴与的距离=5+2=7（cm），
综上所述，与的距离为3cm或7cm．
故答案为：3cm或7cm．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
15．如图，已知ABCD，与的角平分线相交于点，若，，设，
（1）则的度数是________；
（2）若，则的度数是__________．

【答案】         
【解析】（1）如图所示，过点E作,过点M作，则，先利用角平分线的定义得出，然后再通过三角形内角和定理和平行线的性质得出，然后证明即可求解；
（2）同（1）求解即可；
【详解】解：（1）如图所示，过点E作,过点M作，则，


∵
∴
∵BF平分，DF平分
∴
∵
，

即，
∴，
∵，
∴∠ABM=∠BMH，∠CDM=∠HMD，

；
故答案为：；
（2）同（1）可知，
故答案为：；
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
16．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，若，则____________．

【答案】72°##72度
【解析】利用平角的定义先求出∠EFC，再利用平行线的性质求出∠FED，最后利用折叠的性质和平角的定义求出∠1的度数．
【详解】解：∵∠EFG+∠EFC=180°，∠EFG=54°，
∴∠EFC=126°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴DE∥CF．
∴∠EFC+∠FED=180°．
∴∠FED=54°.
∵四边形EFNM是由四边形EFCD折叠而成，
∴∠DEF=∠MEF=54°．
∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，
∴∠1=72°．
故答案为：72°．

【点评】本题考查了平行线的性质，弄清线段的和差关系、掌握平角的定义及“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
17．一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________．

【答案】45°或90°或120°
【解析】分三种情况根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图1，当AE//BC时，则∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=180°-90°=90°,
∴∠BAD＝90°-45°=45°；

如图2，当DE//AB时，∠BAD＝∠D=90°；

如图3，当DE//AC时，则∠CAD=∠D=90°，
∴∠BAD＝30°+90°=120°；

综上所述，满足条件的∠BAD的值为45°或90°或120°．
故答案为：45°或90°或120°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
18．如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____

【答案】
【解析】先根据平行线的性质得到，结合已知∠EFG＋∠EGD=150°，解得∠EGD=，再根据折叠的性质解得，结合两直线平行，同旁内角互补得到，据此整理得，进而解题．
【详解】解：

∠EFG＋∠EGD=150°，
∠EGD=
折叠







故答案为：．
【点评】本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，两直线平行，同旁内角互补，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
19．如图，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，点P是BC上的一点．

(1)求∠DFE的度数；
(2)若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行．
【答案】(1)72°
(2)CE∥PF
【解析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求得AB∥CD，由∠2的度数求得∠1的度数即可解答；
（2）根据对顶角相等可得∠BFC＝72°，再由∠BFP＝48°可得∠PFC＝24°，根据内错角相等两直线平行即可证明.
(1)
解：∵∠A＝59°，∠D＝121°，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，   
∴∠DFE＝∠1，
∵∠1＝3∠2，∠2＝24°，
∴∠1=72°，
∴∠DFE＝72°；
(2)
证明：∵∠DFE＝72°，
∴∠BFC＝72°，
∵∠BFP＝48°，
∴∠PFC＝72°－48＝24°，
∵∠2＝24°，
∴∠PFC＝∠2 ，
∴CE∥PF．
【点评】本题考查了根据平行线的判定和性质求角度及证明，掌握平行线的判定和性质是解题关键．
20．已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DGBC．

【答案】证明见解析
【解析】根据平行线的判定定理确定BDEF，根据平行线的性质确定∠2+∠DBE=180°，根据等价代换思想和平行线的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
∴BDEF．
∴∠2＋∠DBE＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠DBE．
∴DGBC．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．请将下面证明过程补充完整．

证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（             ）．
∴ADEG（                  ）．
∴∠1＝∠E（                 ），
∠2＝∠3（                  ）．
又∵∠3＝∠E（已知），
∴∠1＝∠2（               ）．
∴AD平分∠BAC（          ）．
【答案】见解析
【解析】首先根据垂直的定义得到∠ADC＝∠EGC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行得到ADEG，进而得到∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，最后根据角度之间的等量代换得到∠1＝∠2即可证明．
【详解】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）．
∴ADEG（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠E（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．

【点评】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
22．如图，AD⊥BE，BC⊥BE，∠A=∠C，点C，D，E在同一条直线上．请说明AB与CD平行．

【答案】见解析
【解析】结合题意，根据平行线的性质，推导得AD∥BC，从而得∠ADE=∠A，即可完成证明．
【详解】∵AD⊥BE，BC⊥BE
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠C，          
∴∠ADE=∠A，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
23．如图，AB∥CD，是直线上的一点，

(1)如图①求证：BC∥EF
(2)如图②，连接，若BD∥AE，则是否平分?请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BD平分∠ABC，见解析
【解析】（1）证明∠BCD=∠CDF=50°即可解决问题．
（2）证明∠ABD=∠DBC=65°即可解决问题．
(1)
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=130°，
∴∠BCD=50°，
∵∠CDF=50°，
∴∠BCD=∠CDF，
∴BC∥EF．
(2)
结论：BD平分∠ABC．
理由：∵AE∥BD，
∴∠BAE+∠ABD=180°，
∵∠BAE=115°，
∴∠ABD=65°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ABD=∠DBC=65°，
∴BD平分∠ABC．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．“成绵乐高铁”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQMN，且．

(1)填空：_______；
(2)若灯射线先转动15秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，A灯转动几秒时，．
【答案】(1)60
(2)当t=30秒或66秒时，两灯的光束互相平行；
(3)A灯转动60秒或84秒时，
【解析】（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t≤60时，根据3t=2（15+t），可得t=30；当60＜t＜75时，根据2（15+t）+（3t-180）=180，可得t=66；
（3）分两种情况进行讨论：当0＜t≤60时，和60＜t＜90；
(1)
解：∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°×=60°，
故答案为：60；
(2)
解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t≤60时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴3t=2（15+t），
解得t=30；
②当60＜t＜75时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴2（15+t）+（3t-180）=180，
解得   t=66，
综上所述，当t=30秒或66秒时，两灯的光束互相平行；
(3)
解：设A灯转动t秒，
如图3所示，当0＜t≤60时，过点C作CD∥PQ，则CD∥PQ∥MN，
∴∠CAN=180°-3t，∠PBC=2t，
∵∠ACB=120°，
∵CD∥PQ∥MN，
∴∠BCD=∠PBC=2t，∠ACD=∠CAN=180°-3t
∴∠ACB=∠ACD+∠ACD，
∴2t+180-3t=120，
∴t=60；

如图4所示，当60＜t＜90时，
∴∠CAM=360°-3t，∠QBC=180°-2t，
同理可得∠ACB=∠QBC+∠CAM，
∴360-3t+180-2t=120，
解得t=84，
∴A灯转动60秒或84秒时，

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够运用分类讨论的思想求解．
25．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF=180°．

(1)若∠F=30°，求∠ACB的度数；
(2)若∠F=∠G，求证：DGBF．
【答案】(1)60°
(2)见解析
【解析】（1）根据∠EHD+∠HBF=180°证得BFEC，求出∠ACE=∠F=30°，根据角平分线定义求出∠ACB．
（2）由CE平分∠ACB证得∠BCE=∠ACE，得到∠BCE =∠G，证得DGEC，再由BFEC，推出DGBF．
(1)
解：∵∠EHD+∠HBF=180°，∠EHD=∠BHC，
∴∠BHC+∠HBF=180°，
∴BFEC，
∴∠ACE=∠F=30°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACE=60°．
(2)
证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE，
∵∠ACE=∠F，∠F=∠G，
∴∠BCE =∠G，
∴DGEC，
又∵BFEC，       
∴DGBF．
【点评】此题考查了平行线的判定及性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并熟练应用是解题的关键．
26．如图，点E，F分别在直线AB，CD上，点P，Q在直线AB，CD之间，．

(1)如图，∠P＝∠Q，
①∠AEP与∠QFD的关系，并说明理由；
②∠BEP和∠DFQ的角平分相交于点M，求∠EMF的度数．
(2)若∠P－∠Q＝30°，∠Q＝则∠BEP和∠DFQ的角平分相交于点M，则∠EMF的度数为．（用含或具体数字表示）
【答案】(1)①∠AEP＝∠QFD，理由见解析；②90°
(2)75°
【解析】（1）①根据两直线平行内错角相等，计算角的和差即可解答；②利用等角的补交相等，角平分线的定义，进行角的计算即可解答；
（2）由∠P－∠Q＝30°利用（1）①得出∠AEP-∠QFD=30°，再由（1）②求∠EMF即可；
(1)
解：如图，过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，过M作MN∥AB，

①∵AB∥PG，
∴∠AEP=∠EPG，
∵AB∥CD，QH∥AB，
∴QH∥CD，
∴∠QFD=∠HQF，
∵PG∥AB，QH∥AB，
∴PG∥QH，
∴∠GPQ=∠HQP，
∵∠EPQ=∠FQP，
∴∠EPG+∠GPQ=∠HQF+∠HQP，
∴∠EPG=∠HQF，
∴∠AEP=∠QFD；
②∵∠AEP=∠QFD，∠AEP+∠BEP=180°，
∴∠BEP+∠QFD=180°；
AB∥CD，AB∥MN，   
∴MN∥CD，
∴∠EMN=∠BEM=∠BEP，∠NMF=∠MFD=∠QFD，
∴∠EMF=（∠BEP+∠QFD）=90°；
(2)
解：由（1）①可得：∠P-∠Q=（∠EPG+∠GPQ）-（∠HQF+∠HQP）=∠AEP-∠QFD=30°，
∴∠AEP=∠QFD+30°，
∴∠BEP=180°-（∠QFD+30°）=150°-∠QFD，
由（1）②可得：∠EMF=（∠BEP+∠QFD）=（150°-∠QFD +∠QFD）=75°,
故答案是：75°．   
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的概念，角的计算；正确作出辅助线是解题关键．