专题02：平行线及判定-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

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专题02：平行线及判定
1．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（            ）

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
【答案】A
【解析】直接利用平行线的判定进行逐一判断即可．
【详解】A、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故A正确；
B、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故B错误；
C、∠D与∠A非同位角，内错角，同旁内角，故不能判断直线平行，故C错误；
D、，利用同旁内角互补，两直线平行，即可判断出，故D错误，
故选A．
【点评】本题考查平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
2．如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平行线的判定方法直接判定即可．
【详解】解：选项B中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项C中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D中，，（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
而选项A中，与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，故A错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
3．如图，若∥，则下列结论中正确的是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【详解】A.∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意；
B.∠AFE＝∠ACD，是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
C.∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC，符合题意；
D.∠1＝∠2是EF和BC被EC所截得到的同位角和内错角，可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．过一点有无数条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；
C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
D、根据平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、平行公理以及对顶角的定义，正确理解定理是关键．
5．如图，点A，B，E在同一条直线上，不能判定ADBC的条件是（　　）

A．∠A＝∠CBE B．∠C+∠D＝180°
C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠ABC＝180°
【答案】C
【解析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【详解】解：A、∠A＝∠CBE可利用同位角相等，两直线平行判定ADBC，故此选项不符合题意；
B、∠C+∠D＝180°可利用同旁内角互补，两直线平行判定ADBC，故此选项不符合题意；
C、∠C＝∠CBE可利用内错角相等，两直线平行判定CDBA，不能判定ADBC，故此选项符合题意；
D、∠A+∠ABC＝180°可利用同旁内角互补，两直线平行判定ADBC，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．同旁内角互补
【答案】C
【解析】根据线段、垂线、同旁内角的相关概念和性质判断．
【详解】解：A、两点之间的距离是指两点间的线段长度，而不是线段本身，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，故此选项符合题意；
D、只有两直线平行，同旁内角才互补，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查平行公理及推论；线段的性质：两点之间线段最短及垂线相关知识．
7．①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；④互为邻补角的两个角相等．以上四个结论中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【答案】D
【解析】根据平行公理及推论，平行线的判定，邻补角的定义逐个判断即可．
【详解】解：∵a，b，c是直线，a∥b，b∥c，
∴a∥c，故①正确；
当a、b、c在同一平面内时，如下图：

若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故②错误；
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，故③正确；
如果∠1和∠2互为邻补角，当∠1＝30°，∠2＝150°也符合，
即互为邻补角的两个角不一定相等，故④错误；
即正确的是①③，
故选：D．
【点评】本题考查了平行公理及推论，平行线的判定，垂直的定义，邻补角定义等知识点，能熟记平行公理及推论、平行线的判定、垂直的定义、邻补角定义是解此题的关键．
8．如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据平行线的判定对每一项分别进行分析即可得出答案．
【详解】解：A、，，故本选项正确，符合题意；
B、，，故本选项错误，不符合题意；
C、由，无法得到，故本选项错误，不符合题意；
D、，，故本选项错误，不符合题意；
故选A．
【点评】本题主要考查直线平行的判定方法，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的判定.
9．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（       ）

①∠C+∠ABC＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠2；④∠C＝∠5；⑤∠4＝∠3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据平行线的判定定理依次判断即可．
【详解】解：①∵∠C+∠ABC＝180°，∴AB//CD，故符合题意；
②∵∠2＝∠3，∴BC=CD，故不符合题意；
③∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故不符合题意；
④∵∠C＝∠5，∴AB//CD，故符合题意；
⑤∵∠4＝∠3，∴AB∥CD，故符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键．
10．如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（       ）时，．


A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
【答案】C
【解析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2），


当∠ACB'=42°时，
∵，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2），


当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当或时，CB'∥AB．
故选：C
【点评】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
11．如图，在下列条件中，不能判定直线与平行的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平行线的判定定理判断即可．
【详解】∵，∴a∥b，∴A选项不符合题意；

∵，∴a∥b，∴B选项不符合题意；
∵，∴a∥b，∴D选项不符合题意；
∵，无法判断a∥b，∴C选项符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线判定定理是解题的关键．
12．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（          ）
①；②；③；④；⑤．

A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【解析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合题意；
③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合题意；
④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合题意；
⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．
13．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出AD//BC的条件是 __．（填上所有符合条件的序号）

【答案】②④##④②
【解析】利用平行线的判定定理依次判断．
【详解】①，；
②，；
③，；
④，．
故答案为：②④．
【点评】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
14．数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．如图，小华的画法；①将含角三角尺的最长边与直线重合，用虚线作出一条最短边所在直线；②再次将含角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线，则．你认为他画图的依据是__．

【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】根据画图的步骤，2个60°的角是内错角，根据平行线的判定即可求得答案
【详解】解：画图的依据是内错角，相等两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行
【点评】本题考查了画平行线，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
15．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）

【答案】②③④
【解析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【详解】解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，
故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AE，
故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，

则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，
故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，
故④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
16．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）

【答案】①④
【解析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；

如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+90°=150°；

∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
17．下列说法中：
（1）不相交的两条直线叫做平行线；
（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）垂直于同一条直线的两直线平行；
（4）直线，，则；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
其中正确的是________．
【答案】（4）
【解析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．
【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；
（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；
（4）直线，，则，故该项正确；
（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．
故选：（4）．
【点评】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键．
18．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．

【答案】270°
【解析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，

∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
19．如图，已知AC⊥BC于点C，∠B＝70º，∠ACD＝20º．

(1)求证：AB//CD；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC//AD．
【答案】(1)证明见解析
(2)AC⊥AD（答案不唯一）
【解析】（1）由题意易求出，即可利用同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可补充条件为：AC⊥AD．（答案不唯一）
(1)
证明：∵AC⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
补充条件：AC⊥AD，
∵AC⊥AD，AC⊥BC
∴BC//AD．
故答案为：AC⊥AD．
【点评】本题考查垂直的定义，平行线的判定．掌握平行线的判定条件是解题关键．
20．如图，已知∠ACB＝30°，∠B＝60°，CD⊥AC，问AB与CD平行吗?AD与BC平行吗?若平行请说明理由；若不确定那么再加上什么条件就平行了呢?

【答案】AB CD，理由见解析；AD与BC不确定平行，条件见解析．
【解析】此题只要证明内错角相等就能证明两直线平行．由题中的条件可求得∠ACD＝90°＝∠BAC，所以AB CD；AD与BC被第三条直线所截形成的内错角或同旁内角的关系不确定，故不能判断平行．所添加的条件，按照内错角相等或同旁内角互补的关系来找．
【详解】解：AB CD．
理由：∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°；
又∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB CD．
AD与BC不确定平行，添加条件：∠DAC＝30°或∠D＝60°等．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答本题的关键．
21．如图，，平分，平分，．
（1）求证：；
（2）与平行吗？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．
【解析】（1）根据平分的性质可得，，等角代换可得∠1＝∠CDF，根据内错角相等两直线平行求证结论；
（2）由（1）得AB∥BC，根据平行线的性质可得∠C＋∠ABC＝180°，可得∠C＋∠ADC＝180°，接根据平行线的判定定理即可求证结论．
【详解】（1）证明：∵BE平分，平分,
∴，，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠2＝∠CDF，
∵∠1＝∠2 ，
∴∠1＝∠CDF，，
∴AB∥CD；
（2）AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，．
【点评】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法及其性质定理．
22．如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段　　的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC　　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．

【答案】（1）图见解析，①PD，②＜；（2）见解析
【解析】（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）取格点E，作直线AE即可．
【详解】解：（1）①如图，直线PC，直线PD即为所求作．线段PD的长度表示点P到直线OA的距离．
故答案为：PD．

②根据垂线段最短可知，PC＜OC．
故答案为：＜．
（2）如图，直线AE即为所求作．
【点评】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．


（1）求和的度数；
（2）若，问：//吗，请说明理由．
【答案】(1) 105°，30°；(2)平行，理由见解析
【解析】(1)根据折叠求出∠BAD=∠DAF，根据三角形内角和定理求出∠AFB的度数后进而求得∠AFC；由三角形内角和定理求出∠ADB，进而求得∠ADF，再用∠ADB-∠ADF即可求解；
(2)求出∠C=∠EDF=30°，即可证DE∥AC．
【详解】解：(1)由折叠前后对应的角相等可知，∠BAD=∠DAF=30°，
∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=30°+30°=60°，
在△ABF中，由三角形内角和定理可知，∠AFB=180°-∠BAF-∠B=180°-60°-45°=75°，
∴∠AFC=180°-∠AFB=180°-75°=105°，
在△ABD中，由三角形内角和定理可知，∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-45°=105°，
∴∠ADF=180°-∠ADB=75°，
由折叠前后对应的角相等可知，∠ADE=∠ADB=105°，
∴∠EDF=∠ADE-∠ADF=105°-75°=30°，
故答案为：105°，30°；
(2) //，理由如下：
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠B=∠E=45°，
∵∠E：∠C=3：2，∴∠C=30°，
∴∠C=∠EDF=30°，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的判定等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键．
24．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
(1)请说明AB∥CD；
(2)试判断BM与DN是否平行，为什么？

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1)直接根据平行线的性质即可得出结论;
(2)先根据AB于点B,CD于点D得出,再由可知,由此可得出结论.
【详解】解：(1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．
(2)BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE.
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)
【点评】本题考查的是平行线的判定,熟知同位角相等,两直线平行是解答此题的关键.
25．如图，点在的边上，且．
（）作的平分线，交于点（用量角器画）．
（）在（）的条件下，，判断直线与直线的位置关系．

【答案】（）图形见解析（）
【解析】【详解】试题分析：（1）用量角器作出图像即可；（2）DE∥AC，理由：由∠BDC=∠A+∠DCA可得∠A=∠DCA，即∠BDC=2∠DCA，由DE平分∠BDC，可得∠BDC=2∠EDC，所以∠EDC=∠DCA，所以DE∥AC.
试题解析：
（）如图：

（）DE∥AC，
理由：∵∠BDC=∠A+∠DCA，∠A=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DCA，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDC=2∠EDC，
∴∠EDC=∠DCA，
∴DE∥AC.
点睛：掌握角平分线的性质、平行线的性质.
26．如图，在四边形ABCD中，延长AD至E，已知AC平分∠DAB，∠DAB＝70°，∠1＝35°.
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠2的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）70°
【解析】【详解】试题分析：（1）根据角平分线的定义求得∠BAC的度数，然后根据内错角相等，两直线平行，证得结论；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可求解．
试题解析：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC=∠DAB=×70°=35°，
又∵∠1=35°，
∴∠1=∠BAC，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠2=∠DAB=70°．