初中4.2 比较线段的长短教案

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1.直观理解两点之间线段最短的性质.

2.能够用圆规画一条线段与已知线段等长.

3.利用直尺和圆规等简单工具比较两条线段的长短.

学生通过自主学习,在生活经验中获得知识,并通过实际操作掌握正确的作图方法.

1.感受数学无处不在.

2.使用工具解决数学问题的意识和能力.

【重点】

1.在观察和实践的基础上认识“两点之间线段最短的性质”.

2.会使用直尺和圆规比较两条线段的长短.

【难点】

1.使用圆规进行作图.

2.使用直尺等工具比较两条线段的长短.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材.

导入一:

　　[过渡语]　同学们,老师今天想考考你们的眼力如何?看看谁具有一双慧眼.

　　问题1

如图所示,从A地到B地共有五条路,小红应选择第　　　　条路最近.

生:选择第③条路最近.

师:你具有一双慧眼,根据生活经验,可以发现“两点之间的所有连线中,线段最短”,我们把这一事实简述为“两点之间,线段最短”,把两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.

　　问题2

图中两条线段a与b的长度谁长谁短?

　　生1:a长.

生2:一样长.

师:看来这个问题挺有迷惑性哦,实际上a与b的长度一样长,在现实生活中有很多事情我们不能光凭直觉,还需要用事实来说明,今天老师将和同学们一起来学习有关比较线段长短的方法.

[设计意图]　问题1通过对寻找最短路径的设计引出线段的性质及两点之间距离的概念,问题2的设计主要是想让学生明确数学的严谨,不能只通过眼睛来看问题,从而引出比较线段长短的必要性.

导入二:

师:什么叫线段、射线和直线?它们之间的联系和区别是什么?

让学生观察如图所示的图片(多媒体出示图片),并回答两点之间什么最短.

[处理方式]　第1问学生口述,第2问由第1问作为基础,这时教师要恰当引导,以问题的形式提示,例如:这样做好不好?不好,为什么还要这样做?这其中蕴含着怎样的数学道理?“抄近路”就是运用两点之间线段最短的原理,学生会很快接受这个道理.学生容易发现结论:两点之间的所有连线中,线段最短,可以简述为:两点之间线段最短.教师适时补充定义:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.

[设计意图]　利用生活中可以感知的新闻情境,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所蕴含的数学道理.学生水到渠成知道两点之间线段最短,并学习两点间的距离的定义.

探究活动1　探究性质“两点之间线段最短”

出示问题:如图所示,从A地到C地有四条路,哪条路最近?

 [处理方式]　点名让学生选择自己要走的路,从A到C地的四条路中,一般地,人们会走中间的直路,而不会走其他曲折的路,如果把这些路看成各种形状的线,显然线段AC最短,进而引导学生得出结论:两点之间的所有连线中,线段最短.可以简述为:两点之间线段最短.

[设计意图]　学生通过观察得出结论,增强对图形的直观体验,感受到发现的乐趣,从而产生学习数学的成就感.

从上面的例子中可以发现线段AC最短,我们把两点间线段的长度叫做两点之间的距离.那么线段AC的长度就是A与C两点之间的距离. 两点间的距离是长度,是一个数量,而不是线段图形本身.

　　跟踪练习

小狗、小猫为什么都选择直的路?

[处理方式]　学生一定会给予肯定的回答,重点引导学生解释原因:两点之间线段最短.

[设计意图]　通过学生喜欢的漫画增强对知识的理解与应用.

思路一

活动内容

教材议一议的内容.

问题1

怎样比较两棵树的高矮?怎样比较两根铅笔的长短?怎样比较窗框相邻两边的长?

问题2

在黑板上画出两条线段,同时让学生在草稿纸上画出两条线段,让学生思考、讨论比较方法.

[处理方式]　先在具体问题中设问,让学生自由发言,使他们在解答问题中形成认知冲突,激发学生的解决问题的热情.然后教师点明课题:把两棵树的高度、两根铅笔的长、窗框相邻两边的长看成两条线段,怎么比较它们?

[设计意图]　利用生活中可以感知的情景,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所蕴含的数学道理.让学生感受从实际问题中抽象出所要比较的线段大小的过程.

动手实践:怎样比较下面两条线段的长短呢?

　　图(1)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记为AB=CD.图(2)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B落在线段CD上,则得到线段AB小于线段CD,可以记作AB<CD.图(3)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B落在线段CD外,则得到线段AB大于线段CD,可以记作AB>CD.

重叠比较法:将两条线段的各一个端点对齐,另外两点在重合点的同侧,再看另一个端点的位置.

[设计意图]　学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口能力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的思想.

跟踪练习

如图所示,比较折线AB和线段CD的长短,你有什么方法?需要什么工具?

[处理方式]　让学生独立思考完成,找学生代表回答并演示.

生:我可以用度量法,折线AB可以一段一段地测量然后相加,线段CD可以直接测量,就可以比较长短了.所以我只需要刻度尺就可以了.我还有一种方法,利用圆规把折线一段一段放到线段CD上就可以比较了.所以我只需要圆规就可以了.

[设计意图]　开拓学生思维,学以致用,顺其自然地过渡到用尺规作一条线段等于已知线段.

思路二

活动内容　

怎样比较两条线段的长短?

方法一: 测量法 (工具:可用刻度尺).

教师利用多媒体演示.

方法二:叠合法 (工具:可用圆规).

教师利用多媒体演示.

度量法:即用一把刻度尺量出两条线段的长度,再进行比较,如图所示.

4.1 cm>3.1 cm

叠合法:起点对齐,看终点.

(1)如果点B与点D重合,记作AB=CD,如图(1)所示.

(2)如果点B在线段CD的延长线上,记作AB>CD,如图(2)所示.

(3)如果点B在线段CD上,记作AB<CD,如图(3)所示.

[处理方式]　先单独完成,然后小组汇报讨论结果,师生共同完善,形成方法:方法一,用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,再将长度进行比较.方法二,把线段AB,CD放在同一直线上比较,步骤有三:一,将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合;二,将线段AB沿着线段CD的方向落下;三,若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可记作:AB=CD,若端点B落在线段CD上,则得到线段AB小于线段CD,可记作:AB<CD,若端点B落在线段CD的延长线上,则得到线段AB大于线段CD,可记作:AB>CD.

说明:如果两条线段的长短相差很大,就可以直接观测进行比较.

[设计意图]　师生交流并归纳出线段长短的比较方法,教师用多媒体演示比较过程,先让学生动手操作,独立完成,更能加深学生的体会,这样的设计能让学生体会方法的获得过程.应关注全体学生,充分调动他们的积极性,让他们广泛参与、积极主动地学习.

探究活动2　探索作一条线段等于已知线段(尺规作图)

尺规作图:只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图.

示范作图:同学们对比较线段长短的方法掌握得很好,下面我们一起探究一下如何用圆规作一条线段等于已知线段.

演示画法:如图所示,已知线段AB,

①先作一条射线A'C';

②用圆规量取已知线段AB的长度;

③在射线上截取A'B'=AB,线段A'B'就是所求的线段.

跟踪练习

已知线段a,b,画一条线段c,使它的长度等于a+b.

[设计意图]　这里是学生第一次应用直尺、圆规进行基本作图,必须予以充分重视.首先要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出结果.

探究活动3　探索中点的概念及应用

思路一

　　[过渡语]　同学们如何找到一条绳子的中点呢?

[处理方式]　(拿出准备好的绳子)这个很简单,对折一下就可以得到中点了.学生可以有多种方法,激发学生的创新思维.

[设计意图]　学生通过游戏,抽象出线段的中点.学生从玩过的游戏中学到线段中点的有关知识,既降低了学习知识的难度,又激发了学生学好数学的信心.

出示问题:谁可以描述一下中点的概念呢?(对照图形,如图所示)你是否可以把他们之间的关系表示出来呢?

点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM,点M是线段AB的中点.板书AM=MB=AB或AB=2MB=2AM

[设计意图]　通过游戏将抽象的问题简单化,揭示了线段中点的主旨,又将简单的问题公式化,使知识得到升华,培养了学生分析问题的能力.

思路二

师:如图所示,在图中,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,则点M叫做线段AB的中点.

若M是线段AB的中点,则AM,BM,AB间有怎样的数量关系?

生1:AM=BM=AB.

生2:AB=2AM=2BM.

师:若AM=BM=AB,则说明什么问题?

生3:M是线段AB的中点.

师:若AB=3 cm,你能求出其他两条线段的长吗?

生4:因为M是线段AB的中点,所以AM=BM=1.5 cm.

师:若AM=2 cm,你能求出其他两条线段的长吗?

生5:因为M是线段AB的中点,所以BM=2 cm,AB=4 cm.

师:如果M不是线段AB的中点,是否还具有这样的性质呢?

生6:不具有.

师:这是中点特有的性质,所以同学们在利用中点求线段的长度的时候一定要看清楚条件.

　　知识应用,巩固提高

(教材做一做)如图所示,在直线l上顺次取A,B,C三点,使得AB=4 cm,BC=3 cm,如果O是线段AC的中点,那么线段OB的长度是多少?

解:因为AB=4 cm,BC=3 cm,

所以 AC=AB+BC=7 cm.

因为 点O是线段AC的中点,

所以OC=AC=3.5 cm.

所以OB=OC - BC=3.5 - 3=0.5(cm).

答:线段OB的长为0.5 cm.

[设计意图]　进一步巩固中点概念,熟练应用中点进行解题,注意数形结合及分类思想.

[知识拓展]　1.两点之间的连线,可能是笔直的,也可能是弯曲的,在这些线中,笔直的线(即连接两点的线段)是最短的.

2.两点间的距离是指线段的长度,是一个数,而不是线段本身,线段本身是一个图形.

3.比较两棵树的高度、两支铅笔的长短实质都是比较两条线段的长短,比较两条线段的长短的方法一般为度量法和叠合法.

1.线段的基本性质:两点之间线段最短.

2.两点之间的距离:两点之间线段的长度.

3.线段的两种比较方法:叠合法和度量法.

4.线段的中点的概念及表示方法.

1.把弯路改成直路,就能够缩短行程,其道理用几何知识解释为　　　　　　　　.

答案:两点之间线段最短

2.点A,B,C在同一直线上,AB=4 cm,BC=7 cm,则AC的长为　　　　　　　　.

答案:11 cm或3 cm

3.如图所示,AB=8 cm,AC=13 cm.设点E,F分别是线段AB,AC的中点,求线段EF的长.

解:因为F是线段AC的中点,

所以AF=AC= cm.

又因为E是线段AB的中点,

所以AE=AB=4 cm.

所以EF=AF - AE= - 4=(cm).

所以EF的长为 cm.

4.如图(1)所示,已知线段a,b,c,用尺规作图作一条线段l,使l=2a+b - c.

解:如图(2)所示,线段AC即是所求作的线段.

2　比较线段的长短

1.线段的性质:两点之间线段最短

2.两点之间的距离

3.比较线段长短的方法

(1)度量法

(2)叠合法

一、教材作业

【必做题】

教材第112页习题4.2的1,2题.

【选做题】

教材第113页习题4.2的3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,从A到B有3条路线,最短的路线是③,理由是 (　　)

A.因为③是直的     B.两点确定一条直线

C.两点间距离的定义 D.两点之间线段最短

2.下列说法正确的是 (　　)

A.两点之间的连线中,直线最短

B.若P是线段AB的中点,则AP=BP

C.若AP=BP, 则P是线段AB的中点

D.两点之间的线段叫做两点之间的距离

3.已知A,B两点之间的距离是10 cm,C是线段AB上的任意一点,则AC中点与BC中点间的距离是(　　)

A.3 cm     B.4 cm     C.5 cm     D.不能计算

4.如图所示的四条线段中,最短的一条线段是(　　)

A.a B.b C.c D.d

【能力提升】

5.已知两条线段的差是10 cm,这两条线段的长度比是2∶3,求这两条线段的长.

6.(1)如图所示,图中共有几条线段?分别表示出这些线段;

(2)若CB=4 cm,AB=10 cm,且D是AC的中点,求AD的长.

【拓展探究】

7.已知线段AD=6 cm,BD=2 cm,C是线段AD的中点,AD,BD在一条直线上,求线段BC的长度.

【答案与解析】

1.D(解析:两点之间的所有连线中,线段最短.简述为:两点之间线段最短.故选D.)

2.B(解析:选项A中,两点之间的连线中,直线最短,错误;选项C中,若AP=BP, 则P是线段AB的中点,错误;选项D中,两点之间的线段叫做两点之间的距离,错误.故选B.)

3.C(解析:∵AC+BC=AB,∴AC的中点与BC的中点间的距离=AB=5 cm.故选C.)

4.B(解析:采用度量法或叠合法,能得出正确结果为B.)

5.解:设这两条线段的长度分别为2x cm和3x cm,则3x - 2x=10,解得x=10,所以2x=20,3x=30.

答:这两条线段的长度分别为20 cm和30 cm.

6.解:(1)有6条线段,分别是:AD,AC,AB,DC,DB,CB.　(2)∵CB=4 cm,AB=10 cm,∴AC=AB - CB=10 - 4=6(cm),∵D是AC的中点,∴AD=AC=×6=3(cm).

7.解:如图(1)所示,因为AD=6 cm,C是线段AD的中点,所以CD=AD=3 cm,又BD=2 cm,所以BC=

CD - BD=3 - 2=1(cm);如图(2)所示,因为AD=6 cm,C是线段AD的中点,所以CD=AD=3 cm,又BD=2 cm,所以BC=CD+BD=3+2=5(cm).所以BC=1 cm或5 cm.

学生成功地正确理解两点之间的距离和线段的中点的概念;能用直尺和圆规作一条线段等于已知线段;能用直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.在理解两点之间的距离的过程中,用比较具体的事物、事实为依据,知识的形成水到渠成,知识运用得准确灵活,让学生直观的认识,学生接受起来就比较容易、轻松.

学生的创新思维没有得到提高,部分学生的学习积极性不高,对利用线段的中点求解线段的长度掌握得不好.

与学生之间的互动与交流要加强,要鼓励学生,发现他们的闪光点,给他们信心,让他们能够自主地融入课堂,快乐地学习. 要注意渗透数形结合的思想,这对学生的学习非常有益.

随堂练习(教材第112页)

1.解:比较的方法有多种,例如,测量、用圆规截取、借助细线等.

习题4.2(教材第112页)

1.解:(1)线段AB比线段CD短;(2)线段AB比线段CD短;(3)从短到长依次为线段CD、线段AD、线段BC、线段AB.

2.解:如图所示.(1)作射线AM.(2)以点A为圆心,以a

长为半径作弧交AM于点B.(3)以点B为圆心,以b长为半径画弧,交射线BM于点C.则线段AC即为所求.

3.解:如图所示,AC=4 cm,BD=6 cm,CD=8 cm.

4.解:原四边形的周长大,因为两点之间线段最短.如果是一个五边形或一个六边形,结论仍然成立.

将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识,为将来的学习打下基础,它为学生的思维开拓了一个新的天地,不应只是教给学生比较线段的方法,而要从数形结合的高度去认识.在教知识的同时,教给学生一种很重要的数学思想.

　如图所示,已知线段AD=10 cm,线段AC=BD=6 cm,E,F分别是线段AB,C D的中点,求EF的长.

解:因为AD=AC+CD=AC+(BD - BC)=AC+BD - BC,

又因为AD=10 cm,AC=BD=6 cm,

所以10=6+6 - BC,所以BC=2 cm,

所以AB=CD=4 cm,

因为E,F分别是线段AB,CD的中点,

所以EB=AB=2 cm,CF=CD=2 cm,

所以EF=EB+BC+CF=2+2+2=6(cm).