2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学-教师用卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学

一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知全集，集合 ，则

A.  B. ，
C.  D. ，

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查集合的补集运算，属于基础题．

【解答】

解：易得 ， ．

2. 若复数满足，则

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本运算，属于基础题．

【解答】

解：由条件可知 ，所以 ．

3. 若直线是圆的一条对称轴，则

A.  B.  C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．

【解答】

解：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 ．

4. 已知函数，则对任意的实数，有

A.  B.
C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查了指数的运算
求出 ，通过运算，判断选项即可

【解答】

解：由 ，可得 ，所以得 ．

5. 已知函数，则

A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查判断余弦型函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题．

【解答】

解： ，
选项 A 中： ，此时 单调递增，
选项 B 中： ，此时 先递增后递减，
选项 C 中： ，此时 单调递减，
选项 D 中： ，此时 先递减后递增．

6. 设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题主要考查充分必要条件的判断，属于中档题．

【解答】

解： 充分性证明：
若 为递增数列，则有对 ， ，公差 ，
故数列中从某项开始后均为正数且数列递增，则存在正整数 ，当 时， ，
充分性成立；
必要性证明：
若存在正整数 ，当 时， ，
，若 ，则数列中从某项开始后均为负数，
此时无法满足存在正整数 ，当 时， ，又 ，
若 ，此时 为递增数列，则存在正整数 ，当 时， ，可满足条件，
所以“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充要条件．

7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是表示压强，单位是下列结论中正确的是

A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查对数运算的实际应用，函数图象的应用，属于中档题．

【解答】

解： 选项： ， ，由图易知处于固态
选项： ， ，由图易知处于液态
选项： ， ，由图易知处于固态
选项： ， ，由图易知处于超临界状态

8. 若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查二项式，取 和 代入即可，属于基础题．

【解答】

解：当 时，
当 时，
，可得

9. 已知正三棱锥的条棱长均为，是及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的区域的面积为

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查投影的相关知识，属于基础题．

【解答】

解：过点 作底面射影点 ，则由题意， ，

，当 上存在一点 使得 ，此时 ，则动点 在以 为半径， 为圆心的圆里， 所以面积为

10. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

解：法一：建立如图所示坐标系，

由题易知，设 ， ， ， ， 设 ，

，
法二：注意： ， ， ，且




， ，
， ，

其中， ， ．
 

【解答】

本题考查平面向量的数量积计算
法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解
法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. 函数的定义域是          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查求函数的定义域，属于基础题．

【解答】

解：依题意 解得 ．

12. 已知双曲线的渐近线方程为，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．

【解答】

解：双曲线 的渐近线方程为 ，故 ．

13. 若函数的一个零点为，则                    ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查辅助角公式，函数零点的概念，属于基础题．

【解答】

解：由题意知： ，解得 ．
， ．

14. 设函数，若存在最小值，则的一个取值为          ，的最大值为          

【答案】

答案不唯一

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的取值问题，题目较难．

【解答】

解：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以 ， 为分界点研究函数的性质，
当 时， ， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值
当 时， ， 该段的值域为 ，而 ， 的值域为 ，故此时 的值域为 ，即存在最小值为 ，故第一个空可填写
当 时， ， ，该段的值域为 ，而 ， 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ， 于是可得
当 时， ， ，该段的值域为 而 ， 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此不等式无解。
综上， 的取值范围是 ，故 的最大值为 ．

15. 已知数列的各项均为正数，其前项的和满足给出下列四个结论：
    的第项小于为等比数列
    为递减数列中存在小于的项．
    其有正确结论的序号为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列的性质，属于中档题．

【解答】

解： ，可得 ，又各项均为正，可得 ，令 可得 ，可解得 ，故 正确
当 时，由 得 ，于是可得 ，即 ，若 为等比数列，则 时 ，即从第二项起为常数，可检验 则不成立，固 错误
可得 ，于是 ，所以 ，于是 正确；
若所有项均大于 ，取 ，则 ， ，于是 ， 与已知矛盾， 所以 正确。

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）

16. 在中，C.
    求
    ，且的面积为，求的周长．

【答案】

解：，
，
，

．
，
，
，
由余弦定理得
，
所以的周长为．

【解析】本题考查了解三角形与三角恒等变换
利用二倍角正弦公式进行计算，根据三角形内角的取值范围即可求解
利用三角形面积公式与余弦定理解三角形，即可求得三角形周长
 

17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
    求证：平面
    再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
    条件
    条件．
    
    注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】

解：取中点，连接，，
在三棱柱中，，．
因为，，分别为，，的中点，
所以，，，，
即且，
所以四边形为平行四边形，因此．
又平面，平面，
所以平面．
选条件
因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面 ，
而平面，所以．
由得，又因为，所以，
而，所以平面，
又平面，故．
在三棱柱中，，，两两垂直，
故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
因为，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，，得令，得．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
选条件
因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面 ，
而平面，所以．
取中点，连接，．
因为，，分别为，，的中点，
所以，，而，故．
又因为，所以．
在，中，，，公共边，
那么，
因此，即，故B．
在三棱柱中，，，两两垂直，
故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
因为，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，，得令，得．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查线面平行的判定，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
 

18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：
    甲：，，，，，，，，，
    乙：，，，，，
    丙：，，，．
    假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
    估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率
    设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望
    在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大结论不要求证明

【答案】

解：由题意得：
设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件．
比赛成绩达到以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到以上的有：，，四个．
所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
 所有可能取值为，，，．
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为．
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则．
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则．
，
，
，
，

丙获得冠军的概率估计值最大．

【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题．
 

19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
    求椭圆的方程：
    过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，当时，求的值．

【答案】

解：依题意可知：，解得，故椭圆的方程为：

由题可设直线方程为：，，，
联立直线和椭圆方程：，可得
，由可得
，解得，
根据韦达是理可得：，
直线的斜率为，的直线方程尚，
令，可得点的横坐标，同理可得点的横坐标．
则有
．
即．



即，两边平方则有，解解．
故的值为．

【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，属于综合题．
 

20. 已知函数．
    求曲线在点处的切线方程
    设，讨论函数在上的单调性
    证明：对任意的，，有．

【答案】

解：由题，，
故，，
所以曲线在处的切线方程为
由知，，，
则，
设，，
则
故在上递增，
故，
因此对任意恒成立，
故在上单调递增
设，
则，
由，在上单调递增，
故，时，，
因此，在上递增，
故，
因此，对任意的，，有．

【解析】本题将指对函数以乘法的方式联系到一起，构思新颖。第Ⅱ问判断导函数符号可以求二阶导，
也可以直接放缩处理第Ⅲ问借助Ⅱ的结论可以快速得到结果．
 

21. 已知，，，为有穷整数数列给定正整数，若对任意的，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
    判断，，是否为连续可表数列是否为连续可表数列说明理由
    若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为
    若，，为连续可表数列，且，求证：

【答案】

解：由于，，故为连续可表数列而数列无法找到连续的若干个数和为，故不是连续可表数列．
当时，至多可以表示，，，，，
这个数，不符题意当时，取数列，，，满足题意故的最小值为．
先证若，则至多可以表示个数，不符题意．
当时，由于，故数列中存在为负的项，
且仅有一个为负的项，不妨设该项为，因此
数列中一定存在若干项正数的和为由于对称性，我们只需考察，，的情况．
当时，由于，而数列中一定有若干个连续整数和为，
因此或为连续若干个数的和中最大的数．
而由于个数的数列最多能表示个数，且其中有一个为负，因此除了以外，其它连续若干个数的和分别表示，，，，
故有，若为连续若干个数的和中最大的数，
则，矛盾若为连续若干个数中的最大的数，同理可得矛盾．
当时，与同理，不符合题意．
当时，则连续若干个数的和中最大的数为，那么有：
由前文分析可知，
因此
若，则如果，
那么，并且此时，有，则，矛盾．
如果，那么，并且此时，有下面我们考察，，．
注意到且，，，，，则，
并且由于，，由不重复的原则可知
如有，，那么，矛盾如有，，那么，矛盾故该假设不成立．
若，那么，并且有并且，
则此时，，那么此时，矛盾故该假设不成立．
因此综上所述，

【解析】本题考查数列的新定义问题，属于难题．