2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-教师用卷
展开2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 集合，，则
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查了集合的交集运算，属于基础题．
【解答】
解： ， ，
．
- 设，其中，为实数，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查了复数代数形式的运算，涉及复数相等的条件，属基础题．
【解答】
解： ，其中 ， 为实数，
，
即 得 ，故 A 正确．
- 已知向量，，则
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算，属于基础题．
【解答】
解： ， ， ．
．
- 分别统计了甲、乙两位同学周的各周课外体育运动时长单位：，得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于
C. 甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于
D. 乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了茎叶图，平均数，中位数，用频率估计概率，属于基础题．
【解答】
解：首先将茎叶图的数据还原：
甲同学 周各周课外体育运动时长： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
乙同学 周各周课外体育运动时长： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为： ，
乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为： ，
甲同学周课外体育运动时长大于 的有 周，故甲同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值为 ，
乙同学周课外体育运动时长大于 的有 周，故乙同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值为 ，
故 C 是错误的．
- 若，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了线性规划问题，属于基础题．
【解答】
解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将 ，变形为 ，这是斜率为 、随 变化的一族平行直线 ，
是直线 在 轴上的截距，当 取最小值时， 的值最大．
作出直线 ，
将直线 从直线 位置平移至直线 的位置时，截距 最小，对应 最大，
即直线 经过如图所示的点 时， 取最大值，
由 得 ，即点 坐标为 ，
因此， ．
- 设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题．
【解答】
解： 易知抛物线 的焦点为 ，于是有 ，故 ，注意到抛物线通径 ，
通径为抛物线最短的焦点弦，分析知 必为半焦点弦，于是有 轴，
于是有 ．
- 执行右边的程序框图，输出的
A.
B.
C.
D.
|
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查程序框图，属于基础题．
【解答】
解： 第一次循环： ， ， ，
第二次循环： ， ， ，
第三次循环， ， ， ，
故输出
- 右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题主要考查函数图象的识别，属于中档题．
【解答】
解：对于 ，当 时， ，与图象不符，故 B 不正确．
对于 ，当 时， ，与图象不符，故 C 不正确．
对于 ，当 时， ，与图象不符，故 D 不正确．
故综合分析 选项符合题意．
- 在正方体中，，分别为，的中点，则
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题．
【解答】
解： 对于 选项：在正方体 中，因为 分别为 ， 的中点，易知
，从而 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以 选项正确
对于 选项：因为平面 平面 ，由上述过程易知平面 平面
不成立
对于 选项的直线 与直线 必相交，故平面 面 有公共
点，从而 的错误
对于 选项：连接 ， ， ，易知平面 平面 ，
又因为平面 与平面 有公共点 ，故平面 与平面
不平行，所以 选项错误．
- 已知等比数列的前项和为，，则
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查等比数列前 项和中的基本量计算，属于基础题．
根据题干列出等式求得 与 ，进而求出 ．
【解答】
解： 设等比数列 首项 ，公比 ．
由题意， ，即 ，即
解得， ， ，所以 ．
- 函数在区间的最小值，最大值分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题．
【解答】
解： ，则 ，
当 ；当 ， ；当
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ， ，
在区间 上， ， ．
- 已知球的半径为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查圆锥体积，最值计算．
【解答】
解： 考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是
边长为 的正方形，底面所在圆面的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，所以体积
，设 ，
， ，当 ， ，单调递增，
当 ， ，单调递减，所以当 时， 取最大，此时 ，
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 记为等差数列的前项和若，则公差 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列前 项和中的基本量计算，属基础题．
【解答】
解： ， ， ．
- 从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
【解答】
解：设“甲、乙都入选”为事件 ，则 ．
- 过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】
或或或
【解析】
【分析】
本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．
圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可．
【解答】
解：设点 ， ， ， ．
若圆过 、 、 三圆圆心在直线 ， 设圆心坐标为 ，
则 ， ，所以圆的方程为
若圆过 、 、 三点， 同 设圆心坐标为 ，
则 ， ，所以圆的方程为
若圆过 、 、 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程
为 ，联立得 ，所以圆的方程为
若圆过 、 、 三点，则线段 的中垂线方程为 ，
线段 中垂线方程为 ，联立得
所以圆的方程 ．
- 若是奇函数，则 ， ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用函数的奇偶性求参，属于较难题．
【解答】
解： ，
，
，
，
故 ，
，
故 ．
三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）
- 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求
证明：．
【答案】
解：，知，
，又，
，
可得，又，，
可解得；
证明：由可化简为：
，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，即证得
【解析】本题主要考查了正余弦定理的综合应用，以及两角和与差的正弦公式，考查了运算求解能力，属于中档题．
- 如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面平面
设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】
证明：因为，，，
所以，所以，
又因为是的中点，所以，
又因为，所以，
又因为，且、平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面
解：因为，，
所以结合可知，又为的中点，
则，
连接，
因为，所以，
所以，
所以在中，当时，最小，
因为，，，为的中点，所以，
又，所以，若，在中，
得，则，
因此，．
【解析】本题考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、棱锥的体积等知识，属中档题．
- 某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积心位：和材积量，得到如下数据：
样本数号 | 总和 | ||||||||||
根部横截面积 | |||||||||||
材积量 |
并计算得，，．
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数精确到
现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
【答案】
解：设这种树木平均一课的根部横截面积为，平均一个的材积量为，
则，．
；
设从根部面积总和为，总材积量为，则，故
【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题．
- 已知函数
当时，求的最大值
若恰有一个零点，求的取值范围．
【答案】
解：当时，，定义域为．
，
当单调递增，当单调递减，
故．
，定义域为．
，
令
若，，由知，此时无零点．
若，，
当时，，，故单调递增，且，符合题意．
当时，有两个不等的实根，，
若，在上单调递增，在单调递减，此时，此时无零点．
若，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，当时，，符合题意，
若，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，当时，，符合题意．
综上，的取值范围为．
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的最值及利用导数研究函数的零点，属于难题．
- 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点
求的方程
设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．
【答案】
解：设的方程为，将，两点代入得
，解得，，故E的方程为．
由，可得直线
若过的直线的斜率不存在，直线为代入，可得，
，将代入，可得，由，
得易求得此时直线过点；
若过的直线的斜率存在，设，，。
联立，得，
故有，且
联立，可得，，
可求得此时
将代入整理得
将式代入，得，
显然成立．
综上，可得直线过定点．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；
分类讨论过点的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出，坐标，表示出直线方程，判断直线过定点即可．
- 在直角坐标系中，曲线的方程为为参数以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
写出的直角坐标方程：
若与有公共点，求的取值范围．
【答案】
解：由可得，，
即，，
故的方程为：．
由，得，
联立，，
即，，
即，，
故的范围是．
【解析】本题考查极坐标，极坐标的直线方程，求解参数，属于中档题．
根据题意，求出直线方程；
求出的方程，联立求解参数范围．
- 已知为正数，且，证明：
【答案】
解：证明：因为，，为正数，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，即，得证．
要证成立，
只需证，
又因为，，，当且仅当时，同时取等，
所以
，得证
【解析】 本题考查了不等式的证明，掌握均值不等式是关键，属于中档题．
由均值不等式即可证；
先对不等式进行转化，再由均值不等式进行放缩可证
2023年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-教师用卷： 这是一份2023年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-教师用卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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