2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期月考数学（文）试题含解析

2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简集合，然后利用补集的定义运算即得.

【详解】因为，，

所以．

故选：B．

2．已知i是虚数单位，复数z满足， 则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法可得，进而可得，或由题可得，进而即得.

【详解】法一：因为，

所以，

所以；

法二：因为，

所以，

所以.

故选：D.

3．若一组样本数据，，，的方差为16，则数据，，，的方差为（    ）

A．256 B．64 C．32 D．31

【答案】B

【分析】根据计算方差的性质，可得答案.

【详解】因为数据，，，的方差，所以数据，，，的方差．

故选：B．

4．若实数x，y满足，则目标函数的取值范围为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即得.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，

由，可得，

由，可得，

作直线，平移直线当直线过点时，有最小值，当直线过点时，有最大值5，

所以的取值范围为.

故选：A.

5．已知函数是偶函数，则（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．

【答案】B

【分析】由为偶函数，可得，即有，再根据对数的性质求解即可.

【详解】解：由，得，

所以函数的定义域为，

因为，

故，

因为为偶函数，

故，

有，

整理得，

解得.

当时，是偶函数.

所以.

故选:B．

6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据图像的变换判断即可.

【详解】因为，

所以只需把函数的图像向上平移个单位长度即可.

故选：C

7．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求解函数的定义域，且，故函数为偶函数，排除BC；

再求出，排除D，选出正确答案.

【详解】定义域为R，且，

故为偶函数，所以排除选项B和选项C；

又，排除D.

故选：A．

8．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．则两颗骰子出现的点数不同且互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型，求出基本事件和所求事件的个数即可.

【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，则有 个基本事件，

出现的点数不同且互质的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（5， 6）共11对，所以概率为；

故选：D．

9．已知函数，若函数存在两个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的函数，探讨其性质并作出图象，结合图象求出a的范围作答.

【详解】当时，在上单调递增，，

当时，在上单调递减，，由，得，

因此函数的零点即为直线与函数图象的交点的横坐标，

在同一坐标系内作出直线与函数图象，如图，

观察图象得：直线与函数的图象有两个公共点时，，

所以函数存在两个零点，实数a的取值范围是.

故选：C

10．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）

A． B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.

【详解】因为正数x，y满足，

所以有，

则，

当且仅当，即，时等号成立．

故选：C．

11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若满足，且为奇函数，则下列选项中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得函数的奇偶性，然后令，即可求得，从而得到结果.

【详解】因为为奇函数，则，即，所以为偶函数，

由，得，即，故A正确，C错误

令，则，则，故D错误；

令，则，故不一定等于0.故B错误.

故选:A

12．已知实数x，y满足，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数与指数函数单调性比较大小，即可得的大小.

【详解】解：因为

则，

所以， 故；

设，则，

所以，又因为，因此，即．

综上，.

故选：B．

二、填空题

13．函数的值域为______．

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，然后根据二次根式的性质求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.

【详解】函数的定义域为，

因为

所以，

所以

所以函数值域为．

故答案为：

14．不等式的解集为______．

【答案】

【分析】根据二次不等式的解法可得，然后根据指数函数的单调性即得.

【详解】不等式，可化为，

即，

解得，

所以，

所以不等式的解集为．

故答案为：．

15．某学校的文学社团由高一、高二和高三学生组成，已知高一学生人数多于高二学生人数，高二学生人数多于高三学生人数，且高三学生人数的两倍多于高一学生人数，则该文学社团人数的最小值为__________．

【答案】12

【分析】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x，y，z，则，且x，y，，讨论的取值，即可求解

【详解】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x，y，z，

则，且x，y，，

①当时，，不符合题意；

②当时，，不符合题意：

③当时，，不符合题意；

④当时，，此时，，满足题意．

所以．

所以该文学社团人数的最小值12．

故答案为：12

16．中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算，所得的结果用分数表示为__________．

【答案】

【分析】令，可得在点（0，1）处的切线方程为，由“切线近似代替曲线”的思想可得，即可得答案．

【详解】解：构造函数，则有，，，

所以在点（0，1）处的切线方程为，

根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得．

故答案为：

三、解答题

17．已知函数对任意，都有，且当时，．

(1)求函数的解析表达式；

(2)解方程．

【答案】(1)；

(2)-3，0或3．

【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式即可作答.

（2）由（1）的结论，分段解方程即可作答.

【详解】（1）因函数对任意，都有，则，即，

又当时，，当时，，

所以函数的解析表达式是：.

（2）当时，方程成立，则，

当时，方程为，解得，或者，则，

当时，方程为，解得，或者，则，

所以方程的根为-3，0或3．

18．已知，．

(1)若，求在区间上的最小值；

(2)若为区间上的单调减函数，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由导函数可得为上单调增函数，在上单调减函数，进而即得；

（2）由题可得对任意，，然后构造函数求函数的最值即得.

【详解】（1）当时， ，

则，

由， 得， 或，

当时，（当且仅当时等号成立），当时，，

所以为上单调增函数，在上单调减函数，

又，，

所以在区间上的最小值为；

（2）由题可得，又为区间上的单调减函数，

所以对任意，，

即对任意，，

设，，则时，，

所以为区间上的单调增函数，

故的最小值为，

因此，

所以为区间上的单调减函数，a的取值范围为．

19．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效王作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是根据调查结果绘制的问卷调查得分的频率分布直方图：

将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．

(1)根据已知条件完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？

(2)已知问卷调查得分不低于90分的学生中有2名男生，若从得分不低于90分的学生中任意抽取2，求至少有一名男生的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)表格见解析，有关

(2)．

【分析】（1）根据频率分布直方图求出问卷调查结果为了解的学生人数，完善列联表，求出卡方，即可判断；

（2）首先求出问卷调查得分不低于分的学生人数，再求出基本事件总数以及满足条件的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：问卷调查结果为了解的学生人数为：，

又因为其中男生有50人，所以其中女生有人．

可得列联表为：

提出假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，

根据列联表中数据，可以求得，

因为当成立时，，这里的，所以我们有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．

（2）解：问卷调查得分不低于分的学生人数为人，

其中男生有人，女生有人

记“任意抽取人，至少有一名男生”为事件，

从5人中任意抽取人共有种抽法，

抽取人中恰有名男生的抽法有种，

抽取人中恰有名男生的抽法有种，

事件A的概率，

综上，至少有一名男生的概率为．

20．已知函数．

(1)当时，解不等式；

(2)若函数有且只有一个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据真数部分大于1，解不等式即可；

（2）根据得到关于x的一元二次方程，进而求出方程两根，并根据两根求出各自的的取值范围，再利用交集的思想求出只有一个零点时的的取值范围．

【详解】（1）解：当时，，

由，

得，

即，等价于，

解得：；

（2）解：∵ 函数有且只有一个零点，

∴ 方程有且只有一个实根，

由得，

，

化简得，

解得，，

当时，，

不符题意，舍去；

若是原方程的解，

则有，

即；

若是原方程的解，

则有，

即，

等价成，

解得：；

∵ ，有且只有一个符合题意，

∴ ．

【点睛】本题的关键点是求的取值范围时要注意交集思想的运用，还有区间端点处能否取到也是易错点．

21．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意恒有，求a．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，分，两种情况，讨论导函数正负，即得解；

（2）转化为，分，，，几种情况讨论函数单调性，求解即可.

【详解】（1）因为，

当时，对任意都有，

函数的单调增区间为

当时，由，得，

时，，时，，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为．

综上，当时，函数的单调增区间为，

当时，函数的单调增区间为，

单调减区间为；

（2）因为对任意恒有，所以

设，

根据题意，对任意，要求，

，

①当时，，

时，，为上单调增函数，

所以时，，

时，，为上单调减函数，

所以时，，

此时，对任意恒有；

②当时，由得，，

时，，为上单调增函数，

因为，所以，不符题意；

③当时，由得，，

时，，为上单调减函数，

因为，所以，不符题意；

④当时，

对任意都有，为R上单调减函数，

所以时，，不符题意；

综上，当时，对任意恒有．

22．在平面直角坐标系中，曲线C满足参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线C和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值．

【答案】(1)，

(2)2

【分析】（1）利用参数方程，经过平方相加可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；

（2）利用圆心距、半径、半弦长关系求解即可．

【详解】（1）由，可得：，

又因为，所以，即，

所以曲线C的直角坐标方程为：，

由，代入，

可得直线的直角坐标方程为：．

（2）设坐标原点O到直线的距离为，则，

因为，即，解得．

当时，直线经过点，而点不在曲线C上，故不符合题意，

所以．

23．已知正数x，y，z满足．

(1)证明：；

(2)求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）根据柯西不等式，结合题干条件即得解；

（2）利用均值不等式求解的最小值，再求解的最小值即可.

【详解】（1）由已知，

根据柯西不等式，有，

即，

所以；

（2）因为

，

所以，当且仅当时等号成立，

综上，的最小值为．