2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）-教师用卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合，，则 

A.  B.  C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题．

【解答】

解：直接通过交集的运算定义可得．

2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则       

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能力，属于基础题．
根据图中数据，逐一判断每个选项即可．

【解答】

解：讲座前中位数为 ，所以 错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个，剩下全部大于等于，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错

3. 若，则  

A.  B.  C.  D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的模的运算以及共轭复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题．

【解答】

解：由 ，故 ， ．

4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为       

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题．

【解答】

解：由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积．

5. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是  

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的平移变换，难度一般．

【解答】

解：记为向左平移个单位后得到的曲线，
则，
由关于轴对称，可得：，，
故有， ， 所以的最小值为．

6. 从分别写有，，，，，的张卡片中无放回随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为  

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的概率计算，属于基础题．

【解答】

解：无放回随机抽取张方法有，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中数字之积为的倍数的是，，，，，，共种，．
 

7. 函数在区间的图象大致为       

A.  B.
C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的辨别，是基础题．

【解答】

解：令 ，

则，

所以为奇函数，排除；

又当时，，所以，排除．

8. 当时，函数取得最大值，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查导数的最值问题，属于中档题．

【解答】

解：因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．

9. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则       

A.
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面所成的角为

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查线面角的求解，属中档题．
作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可．

【解答】

解：如图所示：

不妨设，依题意及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．

对于，，，，A错误；

对于，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；

对于，，，，C错误；

对于，与平面所成角为，，
而，所以D正确．

10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可．

【解答】

解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，

则，所以，

又，则，所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以．

11. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点若，则的方程为  

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题．

【解答】

由题意， ， ， ，所以 ， ，
又 ，即 ，代入 式解得 ， ，
所以 的方程为 ．

12. 已知，，，则  

A.  B.  C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查指数对数变换比较大小，属于中档题．

【解答】

解：由 ，可得 ．
根据 ， 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 ．
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 己知向量，若，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．

【解答】

解：
，解得

14. 设点在直线上，点和均在上，则的方程为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的方程的知识，属于基础题．

【解答】

设圆心 则 ，
解得 ．
从而得 的方程为 ．

15. 记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值          ．

【答案】

答案不唯一

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的基本概念，属于基础题．

【解答】

解：因为双曲线的渐近线方程为，
要使直线与无公共点，则只需要即可，
由得，所以，
解得 ．
故 的值可以取 ．

16. 已知中，点在边上，当取得最小值时，          ．

【答案】

或

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．

【解答】

解：设 ，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，．

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）

17. 甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营，为了了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的个班次，得到下面列联表：

根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率
能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关
附：，

【答案】

解：公司一共调查了辆车，其中有辆准点，得公司准点的概率，
公司一共调查了辆，其中有辆准点，则公司准点的概率．
由题意得列联表：

所以有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关

【解析】本题考查独立性检验的应用，频率与概率的关系，属于中档题．
 

18. 记为数列的前项和．已知．

证明：是等差数列；
若成等比数列，求的最小值．

【答案】

解：因为，即，

当时，，

得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

由可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时．

【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前项和最值问题．
 

19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：底面是边长为单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
    证明：平面
    求该包装盒的容积不计包装盒材料的厚度．

【答案】

过点作于点，过点作于点，连接．

底面是边长为的正方形，、均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面垂直，
，
又平面平面，平面平面，
平面，平面，
，
则四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
同理，过点，分别作，，交，于点，，
连接，，，，由及题意可知，
，分别为，的中点，为长方体，
故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成．
由底面是边长为的正方形可得：，
由线面垂直可知四棱锥的高为，
所求该包装盒的容积为



．

【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及组合体的体积求法，属于中档题．
 

20. 已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
    若，求
    求的取值范围．

【答案】

解：，，且
故在点处的切线方程为
又与相切，将直线代入得
由得
，曲线在点处的切线方程为
，即
由得，
设在点处的切线方程为，
即，

．
令，则
当或时，，此时函数单调递减
当或时，，此时函数单调递增
又，，，
，故

【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题．
 

21. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．

求的方程；

设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程．

【答案】

解：
抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为，

此时，所以，

所以抛物线的方程为；

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线、的倾斜角分别为，

所以，

若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线．

【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题．
利用抛物线的定义，求出，即可求的方程；
解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系．
 

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数．

写出的普通方程；

以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

【答案】

解：因为，，所以，即的普通方程为．

因为，所以，即的普通方程为，

由，即的普通方程为．

联立，解得：或，即交点坐标为，；

联立，解得：或，即交点坐标为，．

【解析】本题考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，及联立方程求交点坐标问题，属于中档题．
 

23. 已知，，均为正数，且，证明：

；

若，则．

【答案】

证明：由柯西不等式有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以；

因为，，，，由得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以．

【解析】本题考查不等式的证明，柯西不等式与权方和不等式的应用，为中档题．