2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）-教师用卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，属基础题．

【解答】

解：

 ．

2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则       

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能力，属于基础题．
根据图中数据，逐一判断每个选项即可．

【解答】

解：讲座前中位数为 ，所以 错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个，剩下全部大于等于，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错

3. 设全集，集合，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查集合的基本运算，属于基础题．

【解答】

解：由题意， ，所以 ，所以 ．

4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为       

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题．

【解答】

解：由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积．

5. 函数在区间的图象大致为       

A.  B.
C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的辨别，是基础题．

【解答】

解：令 ，

则，

所以为奇函数，排除；

又当时，，所以，排除．

6. 当时，函数取得最大值，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查导数的最值问题，属于中档题．

【解答】

解：因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．

7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则       

A.
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面所成的角为

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查线面角的求解，属中档题．
作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可．

【解答】

解：如图所示：

不妨设，依题意及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．

对于，，，，A错误；

对于，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；

对于，，，，C错误；

对于，与平面所成角为，，
而，所以D正确．

8. 沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：当时，       

A.
B.
C.
D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查根据题中所给公式求弧长的近似值，属于基础题．
先求出 ， 的长度，再代入公式即可．

【解答】

解：如图，连接 ，

因为是的中点，所以，

又，所以三点共线，即，

又，所以，

则，故，

所以．

9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可．

【解答】

解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，

则，所以，

又，则，所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以．

10. 椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为       

A.  B.  C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的离心率，属于中档题．

【解答】

解： ，设 ，则 ，

则，

故，

又，则，

所以，即，

所以椭圆的离心率．

11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是       

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象性质，函数的零点与最值问题．

【解答】

解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
又，的图象如下所示：

则，解得，即．

12. 已知，则       

A.  B.  C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查利用导数比大小，属于拔高题．

【解答】

解：因为 ，因为当

所以，即，所以；

设，

，所以在单调递增，

则，所以，

所以，所以，

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积运算，属基础题．

【解答】

解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，

又，，所以，

所以．

14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线，直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据题意，表示出双曲线的渐近线即圆的切线，再依据圆心到直线的距离等于半径，求解参数．

【解答】

解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，

不妨取，圆，
即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离，

解得或舍去．

15. 从正方体的个顶点中任选个，则这个点在同一个平面的概率为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题以正方体为载体考查古典概型，属于基础题．

【解答】

解：从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有 个，故所求概率 ．

16. 已知中，点在边上，当取得最小值时，          ．

【答案】

或

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．

【解答】

解：设 ，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，．

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）

17. 记为数列的前项和．已知．

证明：是等差数列；
若成等比数列，求的最小值．

【答案】

解：因为，即，

当时，，

得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

由可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时．

【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前项和最值问题．
 

18. 在四棱锥中，底面．

证明：；

求与平面所成的角的正弦值．

【答案】

证明底面，
，
取中点，连接，可知，
，四边形为平行四边形，
，
，
为直角三角形，为斜边，
，

平面，
．

解：由知，，，两两垂直，
建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
，，，设平面的法向量为，则
不妨设，则，
设与平面的所成角为，则，，
与平面的所成的角的正弦值为．

【解析】 本题考查线线垂直的判断，用向量法求线面角正弦，属于拔高题．
 

19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立．

求甲学校获得冠军的概率；

用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．

【答案】

 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

依题可知，的可能取值为，所以，

，

，

，

．

即的分布列为

期望．

【解析】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机事件的分布列与均值，属中档题．
 

20. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．

求的方程；

设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程．

【答案】

解：
抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为，

此时，所以，

所以抛物线的方程为；

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线、的倾斜角分别为，

所以，

若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线．

【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题．
利用抛物线的定义，求出，即可求的方程；
解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系．
 

21. 已知函数．

若，求的取值范围；

证明：若有两个零点，则．

【答案】

解：定义域为，，
令，所以当时，，单调递减
  当时，单调递增，要使得恒成立，
即满足．
由知要使得有两个零点，则，
假设要证明，即证明，
又由于在单增，即证明
下面构造函数，
，
由于，又函数在单减，
．，
时，在单调递增，
而，
所以，即得证．

【解析】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，零点，证明不等式等问题属于较难题．
 

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数．

写出的普通方程；

以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

【答案】

解：因为，，所以，即的普通方程为．

因为，所以，即的普通方程为，

由，即的普通方程为．

联立，解得：或，即交点坐标为，；

联立，解得：或，即交点坐标为，．

【解析】本题考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，及联立方程求交点坐标问题，属于中档题．
 

23. 已知，，均为正数，且，证明：

；

若，则．

【答案】

证明：由柯西不等式有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以；

因为，，，，由得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以．

【解析】本题考查不等式的证明，柯西不等式与权方和不等式的应用，为中档题．