2021-2022学年江西省吉安市永丰县八年级（下）期末数学试卷(解析版)

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2021-2022学年江西省吉安市永丰县八年级（下）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 如果，那么下列各式中，一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 关于的分式方程无解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，若一次函数与的交点坐标为，则的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 若分式无意义，则实数的值是______ ．
8. 已知，，则的值等于______．
9. 点向右平移个单位长度后，正好落在轴上，则______．
10. 若关于的一元一次不等式组的解集是，则的值为______．
11. 如图，将▱沿对角线折叠，使点落在处，若，则的度数是______．

12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限且点的纵坐标为，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）

13. 因式分解：；
    如图，，，、相交于点，求证：．

14. 解不等式组：．
15. 先化简，然后在，，，中选择一个合适的数代入并求值．
16. 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
17. 已知和都为正三角形点、、在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
    如图，当时，作的中线；
    如图，当时，连接，作的中点．
     

18. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是非负整数，求的值．
19. 在中，，，的垂直平分线分别交和于点、．
    求证：；
    连接，若，求的长．

20. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
    例：“两两分组”：．
    解：原式
    
    ．
    例：“三一分组”：．
    解：原式
    
    ．
    归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
    分解因式：
    ；
    ；
    已知的三边，，满足，试判断的形状．
21. 如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线交于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求四边形的面积．

22. 为了创建国家卫生城市，我县某小区购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了元，购买型垃圾桶花费了元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花元．
    求购买一个型垃圾桶需多少元？
    若小区一次性购买型，型垃圾桶共个，要使总费用不超过元，最少要购买多少个型垃圾桶？
23. 如图，中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，设旋转角度为度，交于点，分别交于点、试探究以下问题：
    当______时，为直角三角形；
    当为等腰三角形时，求的值；
    连接，是否存在角，使得四边形为平行四边形？如果存在，直接写出的大小；如果不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：图形，图形，图形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是个．
故选C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原方程化为：，
，
原方程无解，
，
，
．
故选：．
先去分母，转化为整式方程，再求．
本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和等于，，
，
、的平分线在五边形内相交于点，
，
．
故选：．
根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．
本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的下方，
不等式的解集为．
故选：．
根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键
 

6.【答案】 

【解析】解：正确选项是．
理由：，，，
≌，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故选：．
正确选项是想办法证明，即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，即故答案为．
因为分式无意义，所以，即可解得的值．
此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为，否则分式无意义．
解此类问题，只要令分式中分母等于，求得的值即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式，再把已知代入求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点向右平移个单位长度后，得到，
由题意，，
，
故答案为：．
根据轴上的点的横坐标为，构建方程求解即可．
本题考查之比与图形变化平移，解题的关键是理解理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：且不等式组的解集为，
，
，
故答案为：．
且不等式组的解集为，根据同小取小可得，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
将▱沿对角线折叠，使点落在处，
，
，
，
故答案为：．
由四边形是平行四边形，可得，根据将▱沿对角线折叠，使点落在处，即得，可求出，从而．
本题考查平行四边形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：由题意知，当是腰长为的等腰三角形时，有以下三种情况．
如图所示，，点在点的左侧．
过点作轴于点，则．
在中，由勾股定理得，，
，
此时点的坐标为．
如图所示，．
过点作轴于点，则．
在中，由勾股定理得，，
此时点的坐标为．
如图所示，，点在点的右侧．
过点作轴于点，则．
在中，由勾股定理得，，
，
此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
分三种情况：，点在点的左侧；；，点在点的右侧；分别进行讨论得出点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．
 

13.【答案】解：原式；
证明：，
和都是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】原式利用提公因式、平方差公式分解即可；
利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
此题考查了因式分解、全等三角形的判定与性质，熟练掌握因式分解方法、全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．
 

14.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，，中选择一个使得原分式有意义值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

16.【答案】解：设另一个因式为，得
则
，
解得：，
另一个因式为，的值为． 

【解析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】连接、，交于点，利用和都为正三角形得到，则，再利用，则可判断四边形为平行四边形，则于互相平分，所以满足条件；
延长、，它们相交于点，连接交于点，证明，，则四边形为平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分得到点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质．
 

18.【答案】解：方程组
得：，
，
，
，
，
是非负整数，
或． 

【解析】此题考查的是二元一次方程组和不等式的解法，解得，再根据列出关于的不等式，即可求出的取值范围．
先把当做已知数，求出，再根据列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
 

19.【答案】证明：如图，连接．

，，
．
是线段的垂直平分线，
．
．
．
又在中，，
．
，即．
解：如图，连接、．

由知，．
，
．
又，，，
．
在和中，

≌．
．
由知，
是等边三角形．
．
在中，，，
．
．
是直角三角形，
．
． 

【解析】如图，连接根据三角形内角和定理，得根据线段垂直平分线的性质，由是线段的垂直平分线，得．
根据含有度角的直角三角形的性质，得，进而解决此题．
如图，连接、，根据角平分线的性质，由，，，得根据等边三角形的判定，由和，得是等边三角形．，推断出欲求，需求再根据勾股定理，进而解决此题．
本题主要考查垂直平分线的性质、含有度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质、含有度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：
；
；
，
，
，
，
，，是的三边，
，
，
，
即是等腰三角形． 

【解析】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
又是边的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
由得：四边形是平行四边形，
平行四边形的面积． 

【解析】证明≌，得，即可得出结论；
由勾股定理列式求出的长，再由平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购买一个型垃圾桶需元，则购买一个型垃圾桶需元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一个型垃圾桶需元，一个型垃圾桶需元．
设小区一次性购买个型垃圾桶，则购买个型垃圾桶，
由题意得：，
解得：．
答：最少要购买个型垃圾桶． 

【解析】设一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元，根据购买型垃圾桶数量是购买品牌足球数量的倍列出方程解答即可．
设小区一次性购买个型垃圾桶，则购买个型垃圾桶，根据“总费用不超过元”列出一元一次不等式并解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当时，；
当时，，
当或时，为直角三角形，
故答案为：或；
分两种情况：
当时，，
，
过点作于，如图所示，

设，则，，
，
则，
，
；
当时，，
，
，
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或；
不存在，理由如下：
若四边形为平行四边形，则，

，
，
，
，，
，
，，
与不平行，
四边形不是平行四边形，
不存在角，使得四边形为平行四边形．
分或两种情形，分别计算即可；
分或两种情形，分别根据含角的直角三角形的性质解决问题；
若四边形为平行四边形，则，，，此时与不平行，从而出现矛盾．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握含特殊角的三角形的三边关系是解题的关键．，同时注意分类讨论思想的运用．