数学必修 第一册4.1 指数习题

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1．化简： eq \r(（π－4）2)＋π等于( A )
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
【解析】 因为4>π，所以 eq \r(（π－4）2)＝4－π，所以 eq \r(（π－4）2)＋π＝4.
2．已知am＝4，an＝3，则 eq \r(am－2n)的值为( D )
A．2 B．6
C． eq \f(3,2) D． eq \f(2,3)
【解析】 eq \r(am－2n)＝ eq \r(\f(am,（an）2))＝ eq \r(\f(4,9)) ＝ eq \f(2,3) .
3．下列各式中成立的是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n))) eq \s\up12(7) ＝n7meq \f(1,7)
B． eq \r(12,（－3）4)＝ eq \r(3,－3)
C． eq \r(4,x3＋y3)＝(x＋y)eq \f(3,4)
D． eq \r(\r(3,9)) ＝ eq \r(3,3)
【解析】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n))) eq \s\up12(7) ＝m7n－7，故A选项错； eq \r(12,（－3）4)＝ eq \r(3,3) ，故B选项错； eq \r(4,x3＋y3)＝(x3＋y3) eq \s\up6(\f(1,4)) ，故C选项错；所以只有D选项正确．
4．设a>0，将 eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是( C )
A．aeq \f(1,2) B．aeq \f(5,6) C．aeq \f(7,6) D．aeq \f(3,2)
【解析】 eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝ eq \f(a2,\r(a·a\f(2,3)))＝ eq \f(a2,\r(a\f(5,3)))＝ eq \f(a2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7( ),\s\d5()a\f(5,3))))\s\up12(\f(1,2))) ＝ eq \f(a2,a\f(5,6))＝a2－eq \f(5,6)＝aeq \f(7,6)．
5．化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为( B )
A． eq \f(a2＋1,a2－1) B． eq \f(a2－1,a2＋1)
C．1 D．－1
【解析】 (a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)＝(a－a－1)2÷[(a＋a－1)·(a－a－1)]＝ eq \f(a－a－1,a＋a－1)＝ eq \f(a（a－a－1）,a（a＋a－1）) ＝ eq \f(a2－1,a2＋1) .
6． eq \r(（a－b）2)＋ eq \r(5,（a－b）5)的值是( D )
A．0 B．2(a－b)
C．2(b－a) D．0或2(a－b)
【解析】 原式＝|a－b|＋(a－b)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（a－b），a≥b，,0，a0，求 eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b)) 的值．
解：因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4.)) 因为a>b>0，所以 eq \r(a) > eq \r(b) >0，
所以 eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b)) >0，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b)))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab)) ＝ eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4)) ＝ eq \f(2,10) ＝ eq \f(1,5) ，
所以 eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b)) ＝ eq \r(\f(1,5)) ＝ eq \f(\r(5),5) .
16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w，若ax＝by＝cz＝70w≠1， eq \f(1,w) ＝ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＋ eq \f(1,z) ，求a，b，c的值．
解：由ax＝70w⇒aeq \f(1,w)＝70eq \f(1,x)，同理beq \f(1,w)＝70eq \f(1,y)，ceq \f(1,w)＝70eq \f(1,z)，
所以aeq \f(1,w)·beq \f(1,w)·ceq \f(1,w)＝70eq \f(1,x)·70eq \f(1,y)·70eq \f(1,z)⇒(abc)eq \f(1,w)＝70eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)．
又 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＋ eq \f(1,z) ＝ eq \f(1,w) ，所以abc＝70.
又正整数a，b，c满足1＜a≤b≤c，所以a＝2，b＝5，c＝7.