【解析版】怀化市洪江市2022学年九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】怀化市洪江市2022学年九年级上期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷
　
一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）
1．方程4（x﹣2）2﹣25=0的解为　　　　　　．
　
2．已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为　　　　　　．
　
3．若=，则=　　　　　　；若==≠0，则=　　　　　　．
　
4．已知线段a：b=c：d，若a=5cm，b=6cm，d=12cm，则c=　　　　　　．
　
5．在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　　　．
　
6．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=　　　　　　；c=　　　　　　．
　
7．已知在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F=　　　　　　时，△ABC∽△DEF．
　
8．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于　　　　　　．
　
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　．
　
10．国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均收入的平均增长率是　　　　　　．
　
11．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=　　　　　　．
　
12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是　　　　　　．
　
　
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　）
　 A． （﹣1，8） B． （﹣2，4） C． （1，7） D． （2，4）
　
14．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（　　）
　 A． x2+3x+4=0 B． x2﹣4x+3=0 C． x2+4x﹣3=0 D． x2+3x﹣4=0
　
15．下列命题正确的是（　　）
　 A． 位似图形一定不是全等形
　 B． 相似比等于1的两个位似图形全等
　 C． 两个位似图形的周长比等于相似比的平方
　 D． 两个位似图形面积的比等相似比
　
16．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（　　）
　 A． 图象必经过点（﹣1，2） B． y随x的增大而增大
　 C． 图象在第二、四象限内 D． 若x＞1，则y＞﹣2
　
17．若关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于（　　）
　 A． ﹣1或5 B． ﹣1或﹣5 C． 1或﹣5 D． 1或5
　
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（　　）

　 A． 4.5 B． 8 C． 10.5 D． 14
　
19．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　）

　 A． AC：BC=AD：BD B． AC：BC=AB：AD C． AB2=CD•BC D． AB2=BD•BC
　
20．矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（　　）
　 A． B． C． D．
　
　
三、解答题（21、22题每小题6分，23-28题每小题6分）
21．解放程（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x．
　
22．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．

　
23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件价格50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到2100元？
　
24．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
　
25．如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

　
26．如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

　
27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．

　
28．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0．
（1）当m为何值时方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，求m的值．
　
　

2022学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）
1．方程4（x﹣2）2﹣25=0的解为　或﹣　．

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 把原式变形为（x+a）2=b的形式，用直接开平方法求出x﹣2，然后进一步求x．
解答： 解：∵4（x﹣2）2﹣25=0，
∴（x﹣2）2=，
∴x﹣2=±，
∴x1=，x2=﹣．
故答案为或﹣．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，遵循的法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
　
2．已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为　﹣3　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 此题可根据反比例函数图象上点的横纵坐标是一个定值即可求解．
解答： 解：∵反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），
∴k=xy=﹣2×3=﹣6，
∴2m=﹣6，
∴m=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单，容易掌握．
　
3．若=，则=　　；若==≠0，则=　　．

考点： 比例的性质．
分析： 根据合比性质，可得答案；
根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
解答： 解：=由合比性质，得
==；
由==≠0，得
y=，z=2x．
===，
故答案为：，．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了合比性质，比例的性质用x表示y，用x表示z是解题关键．
　
4．已知线段a：b=c：d，若a=5cm，b=6cm，d=12cm，则c=　10cm　．

考点： 比例线段．
分析： 由a：b=c：d，可得bc=ad，再将a=5cm，b=6cm，d=12cm代入，即可求出c．
解答： 解：∵a：b=c：d，
∴bc=ad，
∵a=5cm，b=6cm，d=12cm，
∴6c=5×12，
解得c=10．
故答案为10cm．
点评： 本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
　
5．在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　m＜1　．

考点： 反比例函数的性质．
分析： 根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解答： 解：∵在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得m＜1．
故答案为：m＜1．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
　
6．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=　﹣3　；c=　2　．

考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，
∴1+2=﹣b，1×2=c，
∴b=﹣3，c=2，
故答案为：﹣3，2．
点评： 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
　
7．已知在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F=　60°　时，△ABC∽△DEF．

考点： 相似三角形的判定．
分析： 先根据三角形的内角和定理计算出∠C=60°，由于∠B=80°=∠E=80°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，则当∠F=∠C=60°时可判断△ABC∽△DEF．
解答： 解：∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠C=180°﹣40°﹣80°=60°，
而∠B=80°=∠E=80°，
∴当∠F=∠C=60°时，△ABC∽△DEF．
故答案为60°．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
　
8．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于　﹣1　．

考点： 反比例函数的定义．
分析： 根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍．
解答： 解：∵y=（m﹣1）是反比例函数，
∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0，
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．
　
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＜2，且a≠1　．

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
专题： 计算题．
分析： 本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，所以△=b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣2）×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是（a﹣1），
∴a≠1．
故M得取值范围是a＜2且a≠1．
点评： 1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．
　
10．国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均收入的平均增长率是　20%　．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，那么由题意可得出1×（1+x）2=1.44，解方程即可求解．
解答： 解：设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，
根据题意得：1×（1+x）2=1.44
解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2
所以这两年该镇农民人均收入的平均增长率是20%．
故答案是：20%．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
　
11．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=　4：9　．

考点： 相似三角形的性质．
专题： 探究型．
分析： 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解答： 解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF=（）2=．
故答案为：4：9．
点评： 本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比．
　
12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是　m≤1　．

考点： 根的判别式．
分析： 根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解答： 解：由题意知，△=4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
点评： 此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．
　
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　）
　 A． （﹣1，8） B． （﹣2，4） C． （1，7） D． （2，4）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 由于反比例函数y=中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
解答： 解：A、∵﹣1×8=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵﹣2×4=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选D．
点评： 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
　
14．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（　　）
　 A． x2+3x+4=0 B． x2﹣4x+3=0 C． x2+4x﹣3=0 D． x2+3x﹣4=0

考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，
∴3+1=﹣p，3×1=q，
∴p=﹣4，q=3，
故选：B．
点评： 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
　
15．下列命题正确的是（　　）
　 A． 位似图形一定不是全等形
　 B． 相似比等于1的两个位似图形全等
　 C． 两个位似图形的周长比等于相似比的平方
　 D． 两个位似图形面积的比等相似比

考点： 位似变换；命题与定理．
分析： 利用位似图形的定义以及相似图形的性质分析求出即可．
解答： 解：A、位似图形有可能是全等形，故此选项错误；
B、相似比等于1的两个位似图形全等，正确；
C、两个位似图形的周长比等于相似比，故此选项错误；
D、两个位似图形面积的比等相似比的平方，故此选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，正确利用位似图形的性质求出是解题关键．
　
16．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（　　）
　 A． 图象必经过点（﹣1，2） B． y随x的增大而增大
　 C． 图象在第二、四象限内 D． 若x＞1，则y＞﹣2

考点： 反比例函数的性质．
分析： 根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
解答： 解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；
B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；
D、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法正确，不合题意；
故选：B．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
　
17．若关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于（　　）
　 A． ﹣1或5 B． ﹣1或﹣5 C． 1或﹣5 D． 1或5

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 由关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0有两个相等的实数根，即可得判别式△=0，即可得方程4﹣4m=0，解此方程即可求得答案．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，
∴△=（m+1）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣6m+5=0，
解得：m=1，m=5，
当m=1或m=5时，2m﹣1≠0，
∴关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于1或5．
故选：D．
点评： 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0．
　
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（　　）

　 A． 4.5 B． 8 C． 10.5 D． 14

考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴=，
即=，
解得EC=8．
故选B．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
　
19．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　）

　 A． AC：BC=AD：BD B． AC：BC=AB：AD C． AB2=CD•BC D． AB2=BD•BC

考点： 相似三角形的判定．
分析： 根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
解答： 解：∵∠B=∠B，
∴当时，
△ABC∽△DBA，
当AB2=BD•BC时，△ABC∽△DBA，
故选D．
点评： 此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
　
20．矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 反比例函数的图象；反比例函数的应用．
分析： 根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式，根据x的范围以及函数类型即可作出判断．
解答： 解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y=（x＞0）．
是反比例函数，且图象只在第一象限．
故选C．
点评： 本题考查了反比例函数的图象，注意x的取值范围x＞0，容易出现的错误是忽视取值范围，选择B．
　
三、解答题（21、22题每小题6分，23-28题每小题6分）
21．解放程（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x．

考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 先把原方程转化为一般式方程，然后利用配方法解方程：把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
解答： 解：由（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x，得
2x2+8x﹣2=0，
x2+4x=1，
x2+4x+4=1+4，即（x+2）2=5，
解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
　
22．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．


考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 首先根据DE∥BC，可判定△ABC∽△ADE，然后根据对应边成比例，代入求出DE的长度．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴=，
即=，
解得：DE=．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，根据DE∥BC，得出△ABC∽△ADE是解题的关键，是一道基础题．
23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件价格50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到2100元？

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
解答：解：设每件商品降价x元，由题意得：
（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．
∴x=20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
24．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义；解一元二次方程-因式分解法．
专题： 压轴题．
分析： 由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．
解答： 解：由题意知，m≠0，△=b2﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m+1）=1
∴m1=0（舍去），m2=10，∴原方程化为：10x2﹣29x+19=0，
解得，x1=1，x2=．
点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
　
25．如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．


考点： 反比例函数综合题．
专题： 计算题；数形结合．
分析： （1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标；
（2）将A、B两点坐标分别代入y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入y=可确定反比例函数的解析式．
解答： 解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴点A、B、D的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），D（1，0）；
（2）∵点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y=x+1．
∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴，
∴点C的坐标为（1，2），
又∵点C在反比例函数y=（m≠0）的图象上，
∴m=2；
∴反比例函数的解析式为y=．
点评： 本题主要考查用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
　
26．如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．


考点： 相似三角形的判定．
专题： 动点型．
分析： 首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．
解答： 解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=xcm，BQ=2xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=4；
②当=，即=时，△QBP∽△ABC，
解得：x=1.6，
∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．

点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
　
27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．


考点： 相似三角形的判定与性质；梯形．
专题： 证明题．
分析： 由平行线的性质及相似三角形的判定定理可得△OCD∽△OEB，△AOD∽△COB，再由相似三角形的性质可证．
解答： 证明：∵CD∥BE，
∴∠DCO=∠E，
又∠DOC=∠BOE，
∴△OCD∽△OEB，
∴．
又∵AD∥BC．
同理．
∴，
即OC2=OA•OE．
点评： 本题主要考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理及性质．
　
28．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0．
（1）当m为何值时方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，求m的值．

考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）根据根的判别式得出若方程有实数根，则△=4（m+1）2﹣4（m2+3）＞0，再求解即可，
（2）利用根与系数的关系和已知得出，4（m+1）2﹣4（m2+3）=22，再解方程即可．
解答： 解：（1）若方程有实数根，则△=4（m+1）2﹣4（m2+3）＞0，
解得：m＞1．
答：当m＞1时，方程有实数根；
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，
则（x1+x2）2﹣2x1x2=22，
4（m+1）2﹣4（m2+3）=22，
解得：m=．
点评： 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根，（3）△＜0⇔方程没有实数根．