2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）期中数学试卷 解析版，共25页。
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每小题只有一个正确选项，共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C．7 D．
2．（3分）一条人民日报的微博吸引了上百位明星的转发和力挺，转发量高达24480000，这是态度，也是团结的表现．明星们不仅转发力挺支持新疆棉，而且纷纷和发表不当言论的国外品牌终止代言合约，没有任何的迟疑，态度坚决，让粉丝们见证了偶像的正能量．24480000用科学记数法表示为（　　）
A．2.448×108 B．2.448×107 C．24.48×107 D．24.48×106
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（2m）2＝2m2 D．a5÷a3＝a2
4．（3分）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°
5．（3分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
6．（3分）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）某学校举行图书义卖活动，将所售款项捐给家庭贫困的学生．某班级在这次义卖活动中，售书情况如下表所示：
售价/元
3
4
5
6
数量/本
18
15
12
20
则这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．18，20 B．13.5，20 C．4.5，6 D．4，6
8．（3分）关于“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”，下列说法错误的是（　　）
A．可能发生一次 B．可能一次也不发生
C．可能发生两次 D．一定发生一次
9．（3分）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（，），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．﹣＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2 D．﹣≤m＜﹣
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝　 　．
12．（3分）如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则∠AOB＝　 　度．

13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有一根为﹣2，则c的值为 　 　．
14．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是 　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为 　 　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 　 　．

三．解答题（共9小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题6分，22、23题每小题6分，24、25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2022．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别是A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）．
（1）请画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．

20．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，雅礼集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次被抽取的部分学生人数是 　 　人；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 　 　，并把条形统计图补充完整；
（3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．

22．（9分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚取得了全面胜利，同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接各项工作．某企业准备帮扶甲脱贫村建造西红柿和蓝莓大棚共100亩，已知建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．
（1）若建造大棚的总费用为17万元，那么分别能建多少亩西红柿大棚和蓝莓大棚？
（2）如果建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，那么建造多少亩蓝莓大棚时，可使总费用最少？总费用最少是多少？
23．（9分）如图，已知Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝6，以A为圆心，AB长为半径的⊙A交BC于点D，过点D作直线DE交AC于E，连接DE，且DE＝CE．
（1）求证：DE是⊙A的切线．
（2）若∠C＝30°，求ED的长．
（3）若AC＝8，求BD的长．

24．（10分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，其中a＜0）上有两点M（x1，y1），N（x2，y2）．
（1）若M（1，t），N（﹣1，﹣t），求的值；
（2）已知x1＜x2，抛物线的对称轴为x＝m．若对于x1+x2＜7，都有y1＜y2，求m的取值范围；
（3）已知a＝，b＝c＝0，M、N为抛物线与直线l：y＝kx﹣2k﹣4（k为常数）的两个交点，问在抛物线上是否存在一个定点P，使∠MPN＝90°？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
25．（10分）如图1，▱ABCD为⊙O的内接四边形，已知，以A为顶点作∠PAZ＝45°，交BC于P，交CD于Z．
（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）若BC＝4BP，求DZ：CZ的值；
（3）如图2，过P作PQ⊥AD于Q，过Z作ZX⊥AB于X，交PQ于Y．若，求四边形ZYPC的面积．


2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题只有一个正确选项，共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C．7 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、0是有理数，故此选项不符合题意；
C、7是有理数，故此选项不符合题意；
D、﹣是有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）一条人民日报的微博吸引了上百位明星的转发和力挺，转发量高达24480000，这是态度，也是团结的表现．明星们不仅转发力挺支持新疆棉，而且纷纷和发表不当言论的国外品牌终止代言合约，没有任何的迟疑，态度坚决，让粉丝们见证了偶像的正能量．24480000用科学记数法表示为（　　）
A．2.448×108 B．2.448×107 C．24.48×107 D．24.48×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：24480000＝2.448×107．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（2m）2＝2m2 D．a5÷a3＝a2
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、（2m）2＝4m2，故C不符合题意；
D、a5÷a3＝a2，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°
【分析】根据FG∥BC，得∠DBE＝∠AFG＝42°，由DE⊥AB，得∠BDE＝90°，由∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE即可解答．
【解答】解：∵FG∥BC，∠AFG＝42°，
∴∠DBE＝∠AFG＝42°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE
＝180°﹣42°﹣90°
＝48°．
故选：B．
5．（3分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．
【解答】解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
故选：C．
6．（3分）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由k＝﹣＜0，b＝3＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，进而可得出一次函数的图象不经过第三象限．
【解答】解：∵k＝﹣＜0，b＝3＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限．
故选：C．
7．（3分）某学校举行图书义卖活动，将所售款项捐给家庭贫困的学生．某班级在这次义卖活动中，售书情况如下表所示：
售价/元
3
4
5
6
数量/本
18
15
12
20
则这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．18，20 B．13.5，20 C．4.5，6 D．4，6
【分析】根据中位数、众数的意义进行计算即可．
【解答】解：将义卖的65本图书的售价从小到大排列，处在中间位置的一个数是4元，因此中位数是4元，
这65本义卖图书售价出现次数最多的是6元，共出现20次，因此众数是6元，
故选：D．
8．（3分）关于“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”，下列说法错误的是（　　）
A．可能发生一次 B．可能一次也不发生
C．可能发生两次 D．一定发生一次
【分析】根据“概率”的意义进行判断即可．
【解答】解：根据“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”的意义可知，
在这100次试验中，可能发生一次，也可能发生两次，也可能一次也不发生，
虽然可能性为1%，但100次试验也不一定发生一次，
故选：D．
9．（3分）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：设绳子长x尺，长木长y尺，
依题意，得：，
故选：B．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（，），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．﹣＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2 D．﹣≤m＜﹣
【分析】根据雅系点的概念令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，方程的根为＝﹣，从而求得a＝﹣1，c＝﹣，所以函数y＝ax2﹣4x+c+＝﹣x2﹣4x﹣6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，
由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，
又方程的根为＝﹣，
解得a＝﹣1，c＝﹣，
故函数y＝ax2﹣4x+c+＝﹣x2﹣4x﹣6，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与y轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴x＝﹣2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2﹣4x﹣6的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．

二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝　m（x﹣1）2　．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
12．（3分）如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则∠AOB＝　130　度．

【分析】根据切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，根据四边形的内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣∠APB﹣∠PAO﹣∠PBO＝130°，
故答案为：130．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣c＝0有一根为﹣2，则c的值为 　﹣8　．
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于c的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程，得
（﹣2）2+6×（﹣2）﹣c＝0，
解得c＝﹣8，
故答案为：﹣8．
14．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是 　35　．
【分析】用总数量乘以摸到红球的频率的稳定值即可．
【解答】解：根据题意知，布袋中红球的个数大约是50×0.7＝35，
故答案为：35．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为 　14　．

【分析】根据作图过程可得，MN是AB的垂直平分线，所以得AD＝BD，进而可得△ACD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝BD+DC+AC＝BC+AC＝10+4＝14．
故答案为：14．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 　（6，2）　．

【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，

∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），
∴OA＝AB＝4，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，
∴DO＝6，
∴点D坐标为（6，2），
故答案为：（6，2）．
三．解答题（共9小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题6分，22、23题每小题6分，24、25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝3﹣（2﹣）+4﹣1
＝3﹣2++3
＝4+．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2022．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
当a＝2022时，原式＝＝．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别是A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）．
（1）请画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．

【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O逆时针旋转90°，再根据弧长公式求点A旋转到点A2所经过的路线长即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）点A旋转到点A2所经过的路线长＝＝．
20．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，雅礼集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次被抽取的部分学生人数是 　60　人；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 　108°　，并把条形统计图补充完整；
（3）九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
【分析】（1）由C级的人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以B级所占的比例得扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数，再求出D级的人数，条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样测试的人数为：24÷40%＝60（人），
故答案为：60；

（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×＝108°，
条形图中，D级的人数为：60﹣3﹣18﹣24＝15（人），
把条形统计图补充完整如图：

故答案为：108°；

（3）把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，
则小军被选中的概率为：＝．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAD＝110°，
∵AM平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠DAM＝55°．
22．（9分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚取得了全面胜利，同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接各项工作．某企业准备帮扶甲脱贫村建造西红柿和蓝莓大棚共100亩，已知建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．
（1）若建造大棚的总费用为17万元，那么分别能建多少亩西红柿大棚和蓝莓大棚？
（2）如果建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，那么建造多少亩蓝莓大棚时，可使总费用最少？总费用最少是多少？
【分析】（1）设西红柿大棚建x亩，则蓝莓大棚建（100﹣x）亩，由题意：建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．建造大棚的总费用为17万元，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设西红柿大棚建m亩，则蓝莓大棚建（100﹣m）亩，由题意：建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，列出一元一次不等式，解得m≤75，再设总费用为w万元，则w＝0.15m+0.2（100﹣m）＝﹣0.05m+20，然后由一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设西红柿大棚建x亩，则蓝莓大棚建（100﹣x）亩，
由题意得：0.15x+0.2（100﹣x）＝17，
解得：x＝60，
∴100﹣x＝40，
答：西红柿大棚建60亩，则蓝莓大棚建40亩．
（2）设西红柿大棚建m亩，则蓝莓大棚建（100﹣m）亩，
依题意得：m≤3（100﹣m），
解得：m≤75，
设总费用为w万元，则w＝0.15m+0.2（100﹣m）＝﹣0.05m+20，
∵﹣0.05＜0，
∴w随m的增大而减小
∴当m取最大值75时，w有最小值，最小值为：﹣0.05×75+20＝16.25（万元），
此时100﹣m＝25，
即建造多25亩蓝莓大棚时，可使总费用最少，总费用最少是16.25万元．
23．（9分）如图，已知Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝6，以A为圆心，AB长为半径的⊙A交BC于点D，过点D作直线DE交AC于E，连接DE，且DE＝CE．
（1）求证：DE是⊙A的切线．
（2）若∠C＝30°，求ED的长．
（3）若AC＝8，求BD的长．

【分析】（1）连接AD，先推出∠EDC＝∠C，再推出∠ADB＝∠B，由∠B+∠C＝90°，进而推出∠ADE＝90°，从而得出结论；
（2）可推出△ABD是等边三角形，进而求出ED；
（3）根据△ABF∽△CBA，从而求出BF，进而求出BD，或根据面积法求出AF，再求出BF，进而求得BD．
【解答】（1）证明：如图1，

连接AD，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴半径AD⊥DE，
∴ED是切线；
（2）解：如图2，

∵∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AD＝6，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD÷＝6×＝；
（3）解：如图3，

过A作AF⊥BD，垂足为F，
∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵S△ABC＝＝，
∴10•AF＝6×8，
∴AF＝，
在Rt△ABF中，
BF＝，
∵AF⊥BD，
∴BD＝2BF＝．
24．（10分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，其中a＜0）上有两点M（x1，y1），N（x2，y2）．
（1）若M（1，t），N（﹣1，﹣t），求的值；
（2）已知x1＜x2，抛物线的对称轴为x＝m．若对于x1+x2＜7，都有y1＜y2，求m的取值范围；
（3）已知a＝，b＝c＝0，M、N为抛物线与直线l：y＝kx﹣2k﹣4（k为常数）的两个交点，问在抛物线上是否存在一个定点P，使∠MPN＝90°？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意得出，求出a+c＝0，则可得出答案；
（2）由题意得出x1+x2＜2m，则当x1+x2＜7时，都有x1+x2＜2m，得出2m≥7，解不等式可得出答案；
（3）设P（t，），由题意得出t2+（x1+x2）t+x1x2＝﹣4，联立y＝﹣与y＝kx﹣2k﹣4得+kx﹣2k﹣4＝0，由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝﹣4k﹣8，则（2t+4）k+4﹣t2＝0对任意的k都成立，求出k＝2，则可得出答案．
【解答】解：（1）由题可得，
①+②得：a+c＝0，
∴＝﹣1；
（2）若x1＜x2＜m，则x1+x2＜2m，
若x1＜m＜x2，则m﹣x1＞x2﹣m，
即x1+x2＜2m，
∴x1+x2＜2m，
当x1+x2＜7时，都有x1+x2＜2m，
∴2m≥7，
∴m≥；
（3）存在．
由题可得，抛物线为y＝﹣，
∴M（x1，﹣2），N（x2，﹣2），
设P（t，﹣），
∴kPM＝﹣，kPN＝﹣，
∵kPM•kPN＝﹣1，
∴﹣•[﹣]＝﹣1，
即t2+（x1+x2）t+x1x2＝﹣4，
联立y＝﹣与y＝kx﹣2k﹣4得+kx﹣2k﹣4＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝﹣4k﹣8，
∴（2t+4）k+4﹣t2＝0，
∵上述等式对任意的k都成立，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2）．
25．（10分）如图1，▱ABCD为⊙O的内接四边形，已知，以A为顶点作∠PAZ＝45°，交BC于P，交CD于Z．
（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）若BC＝4BP，求DZ：CZ的值；
（3）如图2，过P作PQ⊥AD于Q，过Z作ZX⊥AB于X，交PQ于Y．若，求四边形ZYPC的面积．

【分析】（1）利用平行四边形对角相等和圆内接四边形对角互补可得▱ABCD为矩形，再利用等弧对等弦得（2）到AB＝AD，根据一组邻边相等的矩形是正方形可得结论；
（2）延长CD至点Q，使得DQ＝BP，连接AQ，通过证明△ABP≌△ADQ和△APZ≌△AQZ，得出PZ＝QZ，设AB＝4a，DZ＝t，则BP＝a，ZC＝4a﹣t，ZP＝t+a，在Rt△CPZ中，利用勾股定理得到t与a的关系，结论可得；
（3）利用已知条件可得：四边形AXYQ，AXZD，XBPY，XBCZ均为矩形；设AB＝a，AX＝m，AQ＝n，则mn＝，CZ＝XB＝a﹣m，CP＝DQ＝a﹣n．利用（2）中的结论可得：PZ＝DZ+BP＝m+n；在Rt△CPZ中，利用勾股定理列出等式，得到a，m，n的等式，根据矩形的面积公式，利用整体代入的思想即可求得结论．
【解答】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∵∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°．
∴四边形ABCD为矩形，
∵，
∴AB＝AD．
∴四边形ABCD为正方形．
（2）延长CD至点Q，使得DQ＝BP，连接AQ，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP＝∠ADQ＝90°．
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠DAQ．
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAP+∠BAD＝90°．
∴∠DAP+∠QAD＝90°．
∴∠QAP＝90°．
∵∠PAZ＝45°，
∴∠PAZ＝∠QAZ＝45°．
在△APZ和△AQZ中，
，
∴△APZ≌△AQZ（SAS）．
∴PZ＝QZ．
设AB＝4a，DZ＝t，则BP＝a，ZC＝4a﹣t，ZP＝t+a，
在Rt△CPZ中，
∵ZC2+CP2＝ZP2，
∴（4a﹣t）2+（3a）2＝（t+a）2．
解得：t＝．
∴DZ＝a，CZ＝a，
∴DZ：CZ＝3：2．
（3）∵四边形ABCD为正方形，PQ⊥AD，ZX⊥AB，
∴四边形AXYQ，AXZD，XBPY，XBCZ均为矩形．
设AB＝a，AX＝m，AQ＝n，则mn＝．

由（2）可知，
PZ＝DZ+BP＝m+n，CZ＝XB＝a﹣m，CP＝DQ＝a﹣n．
在Rt△CPZ中，
∵ZC2+PC2＝PZ2，
∴（a﹣m）2+（a﹣n）2＝（m+n）2．
化简得：a2﹣（m+n）a＝mn．
∴S四边形ZYPC＝（a﹣m）（a﹣n）
＝a2﹣（m+n）a+mn
＝2mn
＝2×
＝5．