数学人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案

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第2课时　正弦函数、余弦函数的性质(2)[目标] 1.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小；2.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域和最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x的集合．[重点] 正、余弦函数的单调性．[难点] 利用三角函数的性质解决一些简单问题．知识点  正弦函数、余弦函数的性质 [填一填][答一答]1．正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？正弦函数在第一象限是增函数吗？提示：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．正弦函数在第一象限不是单调增函数．2．对于y＝sin(ωx＋φ)或y＝cos(ωx＋φ)，当ω>0时，如何求单调区间？当ω<0时，又如何求单调区间？提示：确定y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)或y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，即通过求y＝sinz或y＝cosz的单调区间求出函数的单调区间，若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数再按上述方法求解．3．下列关于函数y＝－3cosx－1的说法错误的是(　C　)A．最小值为－4B．是偶函数C．当x＝kπ，k∈Z时，函数取最大值D．是周期函数，最小正周期是2π解析：当cosx＝－1，即x∈(2k＋1)π(k∈Z)时，y取最大值，所以C错误．类型一  三角函数的单调性问题 命题视角1：求三角函数的单调区间[例1]　求下列函数的单调递减区间．(1)y＝2sin；(2)y＝cos.[解]　(1)y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，而函数y＝－2sinz的单调递减区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．∴原函数单调递减时，得2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．(2)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．用整体替换法求函数y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ的单调区间时，如果式子中x的系数是负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求单调区间，求单调区间时需将最终结果写成区间的形式. [变式训练1]　求函数y＝logsin的单调递增区间．解：∵sin是对数的真数，∴sin>0.①∵以为底的对数函数是单调递减的，∴要求y＝logsin的单调递增区间，需求sin的单调递减区间．②∵同时满足①②的x＋的取值范围为＋2kπ≤x＋<π＋2kπ，k∈Z，∴＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z.故所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．命题视角2：利用单调性比较大小[例2]　比较下列各组中函数值的大小：(1)cos(－π)与cos(－π)；(2)sin194°与cos160°.[分析]　利用诱导公式将异名三角函数转化为同名三角函数，非同一单调区间上的角转化到同一单调区间上，利用函数的单调性来比较．[解]　(1)cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，∵π<π<π<2π，∴cosπ<cosπ，即cos(－π)<cos(－π)．(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.1比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.2比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上. [变式训练2]　比较大小：(1)cos(－)与cos；(2)sin与cos.解：(1)cos(－)＝cos＝cos(π－)＝－cos，而cos＝－cos，∵0<<<，∴cos>cos.∴－cos<－cos，∴cos(－)<cos.(2)∵cos＝sin(＋)，<<＋<π，又y＝sinx在[，π]上是减函数，∴sin>sin(＋)＝cos，即sin>cos.类型二   三角函数的值域(或最值)问题 命题视角1：利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)　　[例3]　求下列函数的值域：(1)y＝2sin(2x＋)，x∈；(2)y＝|sinx|＋sinx.[分析]　利用正弦函数的有界性和单调性来求解．(1)由x的取值范围，确定2x＋的取值范围，再由正弦函数的单调性求解；(2)先去绝对值符号，再求解．[解]　(1)∵x∈，∴2x＋∈.令u＝2x＋，又y＝sinu在上单调递增，∴0≤sin(2x＋)≤1，∴0≤2sin(2x＋)≤2；y＝sinu在上单调递减，∴－≤sin(2x＋)≤1，∴－≤2sin(2x＋)≤2，∴函数的值域为[－，2]．(2)∵y＝|sinx|＋sinx＝又sinx≥0时，0≤2sinx≤2，∴函数y＝|sinx|＋sinx的值域为[0,2]．形如y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ的三角函数值域或最值问题，要注意x的取值范围.一般情况下先利用x的取值范围，求出ωx＋φ的范围，再求三角函数的值域或最值. [变式训练3]　求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．解：因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1.所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5.命题视角2：化为f(sinx)或g(cosx)型函数求值域(或最值)　　[例4]　求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值：(1)y＝cos2x＋2sinx－2；(2)y＝cos2x－sinx，x∈.[解]　(1)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值，ymin＝－(－1－1)2＝－4；当sinx＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值，ymax＝－(1－1)2＝0.(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋)2＋.∵－≤x≤，∴－≤sinx≤，∴当x＝－，即sinx＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当x＝，即sinx＝时，函数取得最小值，ymin＝－.形如fx＝asin2x＋bsinx＋ca≠0的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数gt＝at2＋bt＋c在闭区间[－1，1]上的最值问题.要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1对值域的影响. [变式训练4]　求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈的最大值和最小值．解：y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2(sinx＋)2＋.∵x∈，∴≤sinx≤1.当sinx＝1时，ymax＝5；当sinx＝时，ymin＝.1．函数y＝2sin(2x－)的一个单调递减区间是(　A　)A．[，]　　　　　　　　 B．[－，]C．[，]   D．[－，]解析：令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递减区间是[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得≤x≤.2．下列关系式中正确的是(　C　)A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，sin11°<sin12°<sin80°.∴sin11°<sin168°<cos10°.3．函数y＝cos的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．解析：y＝cos＝cos，由2kπ－π≤x－≤2kπ，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴原函数的单调增区间为(k∈Z)．4．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是，最小值是－.解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，∴sin∈，∴ymax＝，ymin＝－.5．求函数y＝1－2cos2x＋5sinx的最大值和最小值．解：y＝1－2cos2x＋5sinx＝2sin2x＋5sinx－1＝2(sinx＋)2－.∵sinx∈[－1,1]，而y在[－1,1]上是增函数，∴当sinx＝－1时，函数取得最小值－4；当sinx＝1时，函数取得最大值6.——本课须掌握的三大问题1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次的复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．