数学必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数优秀达标测试

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一、单选题
1．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD.
【详解】对于A，，
因为，所以，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
2．“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分但不必要条件
C．必要但不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证.
【详解】先证：
因为，所以，，故，即，故；
再证：
因为，所以，即，故；
综上：“”是“”的充分必要条件.
故选：A.
3．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由于，所以，
当且仅当，即时等号成立，故最大值为，
故选：B
4．已知、，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】由得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为、，，所以，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.
故选：D.
5．不等式的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】将分式不等式化为，求解集即可.
【详解】由题设，可得或，所以不等式解集为或.
故选：C
6．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方法去绝对值符号，再求解不等式作答.
【详解】不等式化为：，即，有，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果.
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
8．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ）
A．大于B．等于C．小于D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出．
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，
，，，，
故选：A．
二、多选题
9．十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确；
对于C中，由，可得C错误；
对于D中，由，可得D错误.
故选：AB.
10．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可.
【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为，
∴，A选项正确；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，则，
不等式，即，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．
故选：ABD
11．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】AB
【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案.
【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元，
则，依题意有，
即，解得，
所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，
故选︰AB．
三、填空题
12．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】分式不等式移项，通分，再转化为一元二次不等式，即可求解.
【详解】，即，，解得：或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
13．甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意列出一元二次不等式，，解出解集，结合，从而得到的取值范围；
【详解】根据题意，，即，解得或．
∵，∴，即的取值范围是．
故答案为：.
14．已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】首先变形，展开后，利用基本不等式求最值.
【详解】，
当且仅当，即，时，等号成立.
故答案为：
四、解答题
15．（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值.
【答案】（1）5；（2）9
【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求解可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为5；
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9.
16．已知函数
(1)若的解集为，求的取值范围；
(2)当时，解不等式．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
因为的解集为，可得，解得，
所以，则，
因为，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为.
（2）解：由且，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式，此时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
17．已知关于的不等式的解集为，其中．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)；(2)或．
【分析】（1）由求解即可；
（2）由是方程的根，且求解即可．
【详解】（1）解：∵，则，得，
即，解得，因此，实数的取值范围是．
（2）∵，则是方程的根，且，
则解得或．
18．运货卡车以的速度匀速行驶，按交通法规限制速度为（单位：），假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元.令行车总费用为（元），当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值.
【答案】当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元
【分析】结合题意列出解析式，再利用基本不等式求解即可.
【详解】行车所用时间，根据汽油的价格是每升6元，汽车每小时耗油，司机的工资是每小时46元，
可得行车总费用为.
，当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为600元.
19．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①求出与之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元；
(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大.
【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，
所以 两边同乘得：，解得：，
经检验：为该分式方程的解，且符合题意．
所以甲种灯笼元，乙种灯笼元；
（2）①由题意，
故与的函数解析式为
②由①知，函数开口向下，函数在对称轴处有最大值．
因为销售部门规定其销售单价不高于每对元所以，
所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大．