北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解课时作业

利用二分法求方程的近似解

电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”．例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”．参赛者又猜50元，主持人说“低了”．参赛者再猜80元，主持人说“低了”．这样一直猜下去，直到猜中为止．

[问题]　(1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？

(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？

知识点一　二分法

1．满足精度ε的近似解

设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|<ε，就称x0是满足精度ε的近似解．

2．二分法

对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．

1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．

2．用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．　　　　

1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

答案：A

2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________(填序号)．

①f(x)＝3x；②f(x)＝x2＋1；

③f(x)＝ln x；④f(x)＝|x－1|.

答案：②④

知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤

二分法求函数零点近似值口诀

定区间，找中点，中值计算两边看；

同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？精确度上来判断．　　　　

1．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　)

A．|x1－x2|>ε　　　　　　 B．|x1－x2|<ε

C．x1<ε<x2  D．x2<ε<x1

答案：B　

2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

答案：(0，0.5)　f(0.25)

[例1]　(1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　)

(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

[解析]　(1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.

(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴下一个有根的区间是(1，2)．

[答案]　(1)D　(2)(1，2)

二分法的适用条件

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　　　　

[跟踪训练]

在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1，4]　　　　　　　 B．[－2，1]

C.  D.

解析：选D　∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.

[例2]　(链接教科书第146页例4)求方程ln x＝2－x的近似解(精确度为0.1)．

[解]　分别画出函数y＝ln x和y＝2－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程ln x＝2－x的解．由函数y＝ln x与y＝2－x的图象可以发现，方程ln x＝2－x有唯一解，且这个解在区间(1，2)内．

设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点即方程ln x＝2－x的解，记为x0，则有：

f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1，2)；

f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5，2)；

f(1.5)<0，f(1.75)>0⇒x0∈(1.5，1.75)；

f(1.5)<0，f(1.625)>0⇒x0∈(1.5，1.625)；

f(1.5)<0，f(1.562 5)>0⇒x0∈(1.5，1.562 5)．

因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以方程ln x＝2－x的近似解可取为1.562 5.

用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；

(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　　　　

[跟踪训练]

用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据如下表：

解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.

用二分法逐次计算，列表如下：

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，

∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.

二分法的实际应用举例

[典例]　乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．

现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．

[问题探究]

1．当a＝12，b＝3时，该如何称？

提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：

(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．

①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；

②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．

(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．

①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；

②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；

③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．

显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．

2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．

提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．

综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．

[迁移应用]

将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？

解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中，然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中，最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．

1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　)

解析：选A　能够利用二分法求近似值的零点，其两则的函数值必须异号，故选A.

2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)

A．|a－b|<0.1　　　　　　 B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001  D．|a－b|＝0.001

解析：选B　据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．

3．用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(　　)

A．(1，2)  B．(1.75，2)

C．(1.5，2)  D．(1，1.5)

解析：选C　已知函数f(x)＝x3－2x－1，因为f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－<0，所以下一个有解区间是(1.5，2)．

4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如表：

求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)．

解：由表格可知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在区间(1.406 25，1.437 5)之间，

因为|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.04.所以x0可以是[1.406 25，1.437 5]之间的任意一个数，故取x0＝1.406 25.