高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解复习练习题

利用二分法求方程的近似解

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1 B．x2

C．x3 D．x4

C　[能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.]

2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)

A．ε越大，零点的精确度越高

B．ε越大，零点的精确度越低

C．重复计算次数就是ε

D．重复计算次数与ε无关

B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]

3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(　　)

A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)

C．(1.5,2) D．不能确定

A　[易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.]

4．用二分法求方程ln x－＝0的零点时，初始区间大致可选在(　　)

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(e，＋∞)

B　[设f(x)＝ln x－，由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2,3)．]

5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A．(0,1) B．(0,2)

C．(2,3) D．(2,4)

B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，

f(4)＝24＋12－7>0，

f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．]

二、填空题

6．设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时，取有根区间为_______．

(a，x0)　[由于f(a)·f(x0)<0，则(a，x0)为有根区间．]

7．在用二分法求方程f(x)＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．

0.75　[0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.]

8．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用“二分法”逐次计算列表如下：

则函数零点的近似值为________．

1.312 5　[∵精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，

∴函数零点的近似值为1.312 5.]

三、解答题

9．求函数f(x)＝x2－5的一个零点近似解．(精确度为0.1)

[解]　由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4＞0，

故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似解可取－2.25.

10．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精确度为0.1)

[解]　设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．

经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在(1,2)内存在零点，

即方程2x＋3x－7＝0在(1,2)内有解．

取(1,2)的中点1.5；经计算，f(1.5)≈0.33>0，

又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在(1,1.5)内有解．

如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：

由表可以看出，区间(1.375,1.437 5)内的所有值都可以看成是函数精确度为0.1时的近似零点．

所以函数y＝2x＋3x－7的一个近似零点可以是1.4.

11．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)

A．2.52 B．2.56

C．2.66 D．2.75

AB　[由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB.]

12．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

B　[函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为<0.01.]

13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．

1．5,1.75,1.875,1.812 5　[第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．]

14．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于________．

5　[∵初始区间的长度为1，精确度为0.05，∴≤0.05，即2n≥20.又

∵n∈N＋，∴n≥5，

∴取中点的次数不小于5.]

15．某电脑公司生产A型手提电脑，2015年平均每台A型手提电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2016年开始，公司加强管理，降低生产成本，2019年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2015年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益．

(1)求2019年每台A型手提电脑的生产成本；

(2)以2015年的生产成本为基数，用二分法求2016～2019年生产成本平均每年降低的百分数(精确度为0.01)．

[解]　(1)设2019年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P＝3 200，所以2019年每台A型手提电脑的生产成本为3 200元．

(2)设2016～2019年生产成本平均每年降低的百分数为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0<x<1)，

即5(1－x)2＝4(0<x<1)．

令f(x)＝5(1－x)2－4，

则f(0.10)＝0.05>0，

f(0.11)＝－0.039 5<0，

所以f(x)在(0.10,0.11)内有一个零点x0.

取区间(0.10,0.11)的中点0.105，

则f(0.105)≈0.005>0，

所以f(0.11)·f(0.105)<0，

又|0.11－0.105|＝0.005<0.01，

0.105和0.11精确到0.01的近似值都是0.11.

所以f(x)＝0的近似解可以是0.11.

所以2016～2019年生产成本平均每年降低11%.