北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性课后练习题

利用函数性质判定方程解的存在性

路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图．

[问题]　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？

知识点一　函数的零点

1．函数的零点

使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．

2．并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点．

3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．　　　　

1．函数f(x)＝log2x的零点是(　　)

A．1　　　　　　 B．2

C．3  D．4

答案：A

2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．

答案：3

知识点二　函数零点存在定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有个解．

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？

提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．

2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0?

提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.

1．(2021·宁德高一月考)函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)  B．(－1，0)

C．(0，1)  D．(1，2)

解析：选A　f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)>0，f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A.

2．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a＝________．

解析：当a＝0时，令y＝－x－1＝0，解得x＝－1，符合题意；当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数，因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，符合题意．故实数a＝0或－.

答案：0或－

[例1]　(1)求函数f(x)＝的零点；

(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．

[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；

当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.

所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.

(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，

故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，

解得x＝0或x＝－.

所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－.

函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)

A．－，－1　　　　　　 B.，1

C.，－1  D．－，1

解析：选B　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.

2．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．

解析：求g(x)的零点即求f(x)＝x的根，

∴或

解得x＝1＋或x＝1.

∴g(x)的零点为1＋，1.

答案：1＋，1

角度一　判断函数零点个数

[例2]　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

[解]　法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．

故函数f(x)有且只有一个零点．

法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

判断函数零点个数的4种常用方法

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；

(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；

(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数；

(4)转化成两个函数图象的交点问题．　　　　

角度二　根据零点个数求参数范围

[例3]　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－∞，0)

C．(－1，0)  D．[－1，0)

[解析]　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.

因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，

∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.

[答案]　D

已知函数有零点(方根有根)求参数范围的常用方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．　　　　

[跟踪训练]

若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，

令f(x)＝0得a＝2x，

因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，

所以实数a的取值范围是(0，1]．

答案：(0，1]

[例4]　(链接教科书第129页例1、例2)求证：方程3x＝在区间(0，1)内必有一个实数根．

[证明]　设函数f(x)＝3x－＝3x－＋1，则函数f(x)在(0，1)上单调递增．

而f(0)＝30－2＝－1<0，f(1)＝31－＝>0，f(0)·f(1)<0，因为函数f(x)在区间(0，1)内的图象是一条连续曲线，

所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间(0，1)内有零点，且只有一个．

所以方程3x＝在区间(0，1)内必有一个实数根．

判断方程在区间内解的存在性问题的常用方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；

(2)利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；

(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

[提醒]　函数零点存在定理是不可逆的，f(a)·f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0.　　　　

[跟踪训练]

1．方程2x－－a＝0的一个解在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，3)  B．(1，2)

C．(0，3)  D．(0，2)

解析：选C　设函数f(x)＝2x－－a，易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内是增函数，又方程2x－－a＝0的一个解在区间(1，2)内，所以解得0<a<3.故选C.

2．方程ln x＋x－3＝0在区间(2，3)内有没有解？为什么？

解：设函数f(x)＝ln x＋x－3，

因为f(2)＝ln 2＋2－3＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋3－3＝ln 3>0，且f(x)的图象是一条连续的曲线，

所以由零点存在定理可知方程f(x)＝0在区间(2，3)内有解，即方程ln x＋x－3＝0在区间(2，3)内有解．

1．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　)

解析：选CD　有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选C、D.

2．根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　)

A．(1，2)  B．(2，3)

C．(3，4)  D．(4，5)

解析：选C　设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099>0，f(4)＝ln 4－2＝1.386－2<0，f(1)>0，f(2)>0，f(5)<0，则f(3)·f(4)<0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)，故选C.

3．已知函数f(x)＝g(x)＝3－x，则方程f(x)＝g(x)的解的个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选C　因为函数f(x)＝当x<2时，f(x)＝2x－1是增函数，且f(x)<3，g(x)＝3－x是R上的减函数，经过点(0，3)和(6，0)．

又因为当x≥2时，f(x)＝f(x－2)，所以f(x)在[2，4)，[4，6)，[6，8)，…上的图象与[0，2)上的图象相同，f(x)与g(x)的图象如图所示，共有4个交点，所以方程f(x)＝g(x)共有4个解．故选C.

4．若方程|lg x|－＋a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C．(1，＋∞)  D．(－∞，1)

解析：选B　因为|lg x|－＋a＝0有两个不相等的实数根⇔函数y＝|lg x|与函数y＝－a的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图．

要使两个函数的图象有两个交点，

必须有－a>0，解得a<.

5．若方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，则实数m的取值范围为________．

解析：∵方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)之内，

∴即解得－<m<0.

答案：