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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系学案
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直线与圆的位置关系
新课程标准解读 | 核心素养 |
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系 | 直观想象 |
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想 | 数学运算 |
“大漠孤烟直,长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面三幅太阳落山的图片.
[问题] (1)图片中,地平线与太阳的位置关系怎样?
(2)结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系,直线与圆有几种位置关系?
(3)如何判断直线与圆的位置关系?
知识点 直线与圆有三种位置关系
位置关系 | 交点个数 | 图示 |
相交 | 有两个公共点 | |
相切 | 只有一个公共点 | |
相离 | 没有公共点 |
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
| 位置关系 | 相交 | 相切 | 相离 |
判定方法 | 几何法:设圆心到直线的距离d= | d<r | d=r | d>r |
代数法: 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.( )
(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交.( )
答案:(1)√ (2)√
2.直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( )
A.0或2 B.2
C. D.无解
解析:选B 由于直线与圆相切,故=,解得m=0(舍去)或m=2.
3.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.
解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25.故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离为d==,所以弦长为2=2×=2=4.
答案:4
直线与圆位置关系的判断 |
[例1] (链接教科书第107页例1)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
[解] 法一(代数法):由方程组
消去y后整理,得5x2-50x+61=0.
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,
∴该方程组有两组不同的实数解,
即直线l与圆C相交.
法二(几何法):圆心(7,1)到直线l的距离为d==2.∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断;
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
[跟踪训练]
1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离
C.相交或相切 D.相切
解析:选C 直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交.
2.已知点(a,b)在圆C:x2+y2=r2(r≠0)的外部,则直线ax+by=r2与C的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.相交 D.不确定
解析:选C 由已知a2+b2>r2,且圆心到直线ax+by=r2的距离为d=,则d<r,故直线ax+by=r2与圆C的位置关系是相交.
直线与圆相切的有关问题 |
[例2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
A. B.
C. D.
(2)经过点M(2,),且与圆x2+y2=10相切的直线的方程为________;
(3)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是________.
[解析] (1)因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=,故选B.
(2)法一:因为22+()2=10,
所以点M在圆x2+y2=10上,由题意可知圆心为C(0,0),则直线CM的斜率kCM=.
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线,所以所求切线的斜率k=-.
故经过点M的切线方程为y-=-(x-2),整理得2x+y-10=0.
法二:显然点M(2,)在圆x2+y2=10上,又因为过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,故所求切线方程为2x+y=10,即2x+y-10=0.
(3)法一:由x2+y2+2x-4y+3=0,得(x+1)2+(y-2)2=2,依题意得圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,
所以2a×(-1)+b×2+6=0,即a=b+3,①
易知由点(a,b)向圆所作的切线长l=,②
将①代入②,得l==.
又b∈R,所以当b=-1时,lmin=4.
法二:因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理,即l2=d2-r2,所以切线长最短时该点到圆心的距离最小,则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C(-1,2),半径r=,点(a,b)在直线y=x-3上,所以点(a,b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y=x-3的距离d′,易求得d′==3,所以切线长的最小值为=4.
[答案] (1)B (2)2x+y-10=0 (3)4
1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
2.过圆外一点(x0,y0)的切线方程的求法
设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.
3.求切线长(最值)的两种方法
(1)代数法:直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值;
(2)几何法:把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
[跟踪训练]
1.以点(2,-1)为圆心,且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x+2)2+(y-1)2=9 D.(x-2)2+(y+1)2=9
解析:选D 圆心到直线3x-4y+5=0的距离d==3,即圆的半径为3,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
2.点P是直线2x+y+10=0上的动点,PA,PB与圆x2+y2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为________.
解析:如图所示,因为S四边形PAOB=2S△POA.又OA⊥AP,
所以S四边形PAOB=2×|OA|·|PA|
=2=2.
为使四边形PAOB面积最小,当且仅当|OP|达到最小,即为点O到直线2x+y+10=0的距离:|OP|min==2.
故所求最小值为2=8.
答案:8
直线截圆所得弦长问题 |
[例3] 直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦长为4,求l的方程.
[解] 据题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
法一:联立方程组
消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.
由Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,
解得k>0.又x1+x2=-,
x1x2=,
由斜率公式,得y1-y2=k(x1-x2).
∴|AB|=
=
=
==4.
两边平方,整理得2k2-5k+2=0,解得k=或k=2符合题意.
故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
法二:如图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半.
在Rt△AHO中,|OA|=5,
|AH|=|AB|=×4=2,
则|OH|==.
∴=,
解得k=或k=2.
∴直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时,解法有两种:
(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用勾股定理d2+=r2求解,这是常用解法;
(2)联立直线(y=kx+b)与圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=·|x1-x2|=·或|AB|=·|y1-y2|=·.
[跟踪训练]
1.(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B 将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,因为(1-3)2+22<9,所以点A(1,2)在圆C的内部,则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D.易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C到直线l的距离为d,则d=|AC|==2,所以|BD|min=2=2=2,即弦的长度的最小值为2,故选B.
2.(2020·天津高考)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为________.
解析:依题意得,圆心(0,0)到直线x-y+8=0的距离d==4,因此r2=d2+=25,又r>0,所以r=5.
答案:5
与圆有关的探究性问题
如图,圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)是否存在弦AB被点P0平分?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.
[问题探究]
此题目为探究性问题,属探究题存在类型范畴,解决这类问题一般思路:
问题思路:首先假设所探究的问题存在,在这个假设条件下进行推理论证,如果能得到一个合情合理的推理结果,就肯定假设正确.如果得到一个矛盾结论,就应否定假设,对问题作出反面回答.
[迁移应用]
1.对上述问题进行解答.
解:(1)直线AB的斜率为k=tan 135°=-1,
∴直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
∵圆心O(0,0)到直线AB的距离d==,
∴弦长|AB|=2=2=.
(2)假设存在弦AB被点P0平分,
∴P0为弦AB的中点,又|OA|=|OB|=r,∴OP0⊥AB.
又∵k==-2,∴kAB=.
∴直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
由以上求解可知,存在被P0点平分的弦AB,此弦所在直线方程为x-2y+5=0.
2.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,圆C与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.
解:(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知
解得或
又因为S=πr2<13,
所以a=1,r=2,
所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
(2)不存在这样的直线l.
理由如下:当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.
当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0,
因为l与圆C相交于不同的两点,
所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,
解得k<1-或k>1+.
x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,
=+=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3).
假设∥,则-3(x1+x2)=y1+y2,
所以3×=,
解得k=,∉∪,
所以假设不成立.
不存在这样的直线l.
1.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是( )
A.±1 B.±
C.± D.±
解析:选C 设l:y=k(x+2),
即kx-y+2k=0.
又l与圆相切,∴=1.∴k=±.
2.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C ∵cos2θ+sin2θ=1,
∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,
又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,
如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.
3.若直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围是________.
解析:因为直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,所以>,解得m<-2或m>2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
4.过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,求直线l的方程.
解:由题意,直线与圆相交,斜率必须存在,设为k.设直线l的方程为y+2=k(x+1).
又圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离
d===.
解得k=1或k=.
所以直线l的方程为y+2=x+1或y+2=(x+1),即x-y-1=0或17x-7y+3=0.
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