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    新人教B版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何3.3直线与圆的位置关系学案

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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系学案,共10页。


    直线与圆的位置关系

    新课程标准解读

    核心素养

    1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系

    直观想象

    2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想

    数学运算

     

    “大漠孤烟直长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆地平线看成一条直线观察下面三幅太阳落山的图片.

    [问题] (1)图片中地平线与太阳的位置关系怎样?

    (2)结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系直线与圆有几种位置关系?

    (3)如何判断直线与圆的位置关系?

                                        

                                        

                                        

                                        

    知识点 直线与圆有三种位置关系

    位置关系

    交点个数

    图示

    相交

    两个公共点

    相切

    只有一个公共点

    相离

    没有公共点

     

    直线AxByC=0与圆(xa)2+(yb)2r2的位置关系及判断

     

    位置关系

    相交

    相切

    相离

    判定方法

    几何法:设圆心到直线的距d

    dr

    dr

    dr

    代数法:

    消元得到一元二次方程的判别式Δ

    Δ>0

    Δ=0

    Δ<0

     

    1.判断正误.(正确的画“√”错误的画“×”)

    (1)如果直线与圆组成的方程组有解则直线与圆相交或相切.(  )

    (2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交.(  )

    答案:(1)√ (2)√

    2.直线xym=0与圆x2y2m相切m的值为(  )

    A.0或2         B.2

    C     D.无解

    解析:选B 由于直线与圆相切解得m=0(舍去)或m=2.

    3.直线y=2x+3被圆x2y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.

    解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25.故圆心为(34)半径r=5.又直线方程2xy+3=0所以圆心到直线的距离为d所以弦长为2=2×=2=4.

    答案:4

     

    直线与圆位置关系的判断

    [例1] (链接教科书第107页例1)已知直线lx-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36判断直线l与圆C的位置关系.

    [解] 法一(代数法):由方程组

    消去y后整理得5x2-50x+61=0.

    Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0

    该方程组有两组不同的实数解

    即直线l与圆C相交.

    法二(几何法):圆心(71)到直线l的距离为d2.dr=6直线l与圆C相交.

     

    判断直线与圆位置关系的方法

    (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断;

    (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

    [跟踪训练]

    1直线xky+1=0与圆x2y2=1的位置关系是(  )

    A.相交           B.相离

    C.相交或相切     D.相切

    解析:选C 直线xky+1=0恒过定点(-10)而(-10)在圆上,故直线与圆相切或相交.

    2.已知点(ab)在圆Cx2y2r2(r≠0)的外部则直线axbyr2C的位置关系是(  )

    A.相切     B.相离

    C.相交     D.不确定

    解析:选C 由已知a2b2r2且圆心到直线axbyr2的距离为ddr故直线axbyr2与圆C的位置关系是相交.

    直线与圆相切的有关问题

    [例2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切则圆心到直线2xy-3=0的距离为(  )

    A.     B.

    C.     D.

    (2)经过点M(2)且与圆x2y2=10相切的直线的方程为________;

    (3)若圆Cx2y2+2x-4y+3=0关于直线2axby+6=0对称则由点(ab)向圆所作的切线长的最小值是________.

    [解析] (1)因为圆与两坐标轴都相切点(21)在该圆上所以可设该圆的方程为(xa)2+(ya)2a2(a>0)所以(2-a)2+(1-a)2a2a2-6a+5=0解得a=1或a=5所以圆心的坐标为(11)或(55)所以圆心到直线2xy-3=0的距离为故选B.

    (2)法一:因为22+()2=10

    所以点M在圆x2y2=10上由题意可知圆心为C(00)则直线CM的斜率kCM.

    因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线所以所求切线的斜率k=-.

    故经过点M的切线方程为y=-(x-2)整理得2xy-10=0.

    法二:显然点M(2)在圆x2y2=10上又因为过圆x2y2r2上一点(x0y0)的切线方程为x0xy0yr2故所求切线方程为2xy=10即2xy-10=0.

    (3)法一:由x2y2+2x-4y+3=0得(x+1)2+(y-2)2=2依题意得圆C(-12)在直线2axby+6=0上

    所以2a×(-1)+b×2+6=0ab+3

    易知由点(ab)向圆所作的切线长l

    将①代入②l.

    bR所以当b=-1时lmin=4.

    法二:因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理l2d2r2所以切线长最短时该点到圆心的距离最小则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C(-12)半径r点(ab)在直线yx-3上所以点(ab)与圆心的距离的最小值即圆心到直线yx-3的距离d易求得d′==3所以切线长的最小值为=4.

    [答案] (1)B (2)2xy-10=0 (3)4

    1过圆上一点(x0y0)的圆的切线方程的求法

    先求切点与圆心连线的斜率k再由垂直关系得切线的斜率为-由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在则由图形可直接得切线方程yy0xx0.

    2过圆外一点(x0y0)的切线方程的求法

    设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径建立方程可求得k也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时另一个方程应为xx0因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.

    3求切线长(最值)的两种方法

    (1)代数法:直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值;

    (2)几何法:把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.    

     

    [跟踪训练]

    1.以点(2-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为(  )

    A.(x-2)2+(y+1)2=3     B.(x+2)2+(y-1)2=3

    C.(x+2)2+(y-1)2=9     D.(x-2)2+(y+1)2=9

    解析:选D 圆心到直线3x-4y+5=0的距离d=3即圆的半径为3所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.

    2.P是直线2xy+10=0上的动点PAPB与圆x2y2=4分别相切于AB两点则四边形PAOB面积的最小值为________.

    解析:如图所示因为S四边形PAOB=2SPOA.OAAP

    所以S四边形PAOB=2×|OA|·|PA|

    =2=2.

    为使四边形PAOB面积最小当且仅当|OP|达到最小即为点O到直线2xy+10=0的距离:|OP|min=2.

    故所求最小值为2=8.

    答案:8

    直线截圆所得弦长问题

    [例3] 直线l经过点P(5,5)并且与圆Cx2y2=25相交截得的弦长为4l的方程.

    [解] 据题意知直线l的斜率存在设直线l的方程为y-5=k(x-5)与圆C相交于A(x1y1)B(x2y2)

    法一:联立方程组

    消去y得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.

    Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0

    解得k>0.又x1x2=-

    x1x2

    由斜率公式y1y2k(x1x2).

    |AB|

    =4.

    两边平方整理得2k2-5k+2=0,解得kk=2符合题意.

    故直线l的方程为x-2y+5=0或2xy-5=0.

    法二:如图所示|OH|是圆心到直线l的距离|OA|是圆的半径|AH|是弦长|AB|的一半.

    RtAHO|OA|=5

    |AH||AB|×4=2

    则|OH|=.

    解得kk=2.

    直线l的方程为x-2y+5=0或2xy-5=0.

    求弦长的两种方法

    涉及直线被圆截得的弦长问题时解法有两种:

    (1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形所以利用勾股定理d2r2求解这是常用解法;

    (2)联立直线(ykxb)与圆的方程消元转化为关于x的一元二次方程由根与系数的关系即可求得弦长|AB|·|x1x2|·|AB|·|y1y2|·.  

     

     [跟踪训练]

    1.(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2y2-6x=0过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(  )

    A.1     B.2

    C.3     D.4

    解析:选B 将圆的方程x2y2-6x=0化为标准方程(x-3)2y2=9设圆心为CC(30)半径r=3.设点(12)为点A过点A(12)的直线为l因为(1-3)2+22<9所以点A(12)在圆C的内部则直线l与圆C必相交设交点分别为BD.易知当直线lAC直线l被该圆所截得的弦的长度最小设此时圆心C到直线l的距离为dd=|AC|==2所以|BD|min=2=2=2即弦的长度的最小值为2故选B.

    2.(2020·天津高考)已知直线xy+8=0和圆x2y2r2(r>0)相交于AB两点.若|AB|=6r的值为________.

    解析:依题意得圆心(00)到直线xy+8=0的距离d=4因此r2d2=25r>0所以r=5.

    答案:5

    与圆有关的探究性问题

    如图x2y2=8内有一点P0(-1,2)AB为过点P0且倾斜角为α的弦.

    (1)当α=135°AB的长;

    (2)是否存在弦AB被点P0平分?若存在写出直线AB的方程;若不存在请说明理由.

    [问题探究]

    此题目为探究性问题属探究题存在类型范畴解决这类问题一般思路:

    问题思路:首先假设所探究的问题存在在这个假设条件下进行推理论证,如果能得到一个合情合理的推理结果,就肯定假设正确.如果得到一个矛盾结论就应否定假设对问题作出反面回答.

    [迁移应用]

    1.对上述问题进行解答.

    解:(1)直线AB的斜率为ktan 135°=-1

    直线AB的方程为y-2=-(x+1)xy-1=0.

    圆心O(00)到直线AB的距离d

    弦长|AB|=2=2.

    (2)假设存在弦AB被点P0平分

    P0为弦AB的中点又|OA|=|OB|=rOP0AB.

    又∵k=-2kAB.

    直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.

    由以上求解可知存在被P0点平分的弦AB此弦所在直线方程为x-2y+5=0.

    2.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上C与直线3x-4y+7=0相切且被y轴截得的弦长为2C的面积小于13.

    (1)求圆C的标准方程;

    (2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点ABOAOB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l使得直线ODMC恰好平行?如果存在求出l的方程;如果不存在请说明理由.

    解:(1)设圆C的标准方程为(xa)2y2r2(a>0)由题意知

    解得

    又因为Sπr2<13

    所以a=1r=2

    所以圆C的标准方程为(x-1)2y2=4.

    (2)不存在这样的直线l.

    理由如下:当斜率不存在时直线lx=0不满足题意.

    当斜率存在时设直线lykx+3A(x1y1)B(x2y2)

    消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0

    因为l与圆C相交于不同的两点

    所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0

    解得k<1-k>1+.

    x1x2=-y1y2k(x1x2)+6=

    =(x1x2y1y2)=(1-3).

    假设则-3(x1x2)=y1y2

    所以3×

    解得k

    所以假设不成立.

    不存在这样的直线l.

    1.设直线l过点P(-2,0)且与圆x2y2=1相切l的斜率是(  )

    A.±1            B.±

    C.±     D.±

    解析:选C 设lyk(x+2)

    kxy+2k=0.

    l与圆相切=1.∴k=±.

    2.在平面直角坐标系中d为点P(cos θ,sin θ)到直线xmy-2=0的距离.当θm变化时d的最大值为(  )

    A.1     B.2

    C.3     D.4

    解析:选C cos2θsin2θ=1

    P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆

    xmy-2=0表示过点(20)且斜率不为0的直线

    如图可得点(-10)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.

    3.若直线xym=0与圆x2y2=2相离m的取值范围是________.

    解析:因为直线xym=0与圆x2y2=2相离所以解得m<-2或m>2.

    答案:(-∞-2)∪(2+∞)

    4.过点(-1-2)的直线l被圆x2y2-2x-2y+1=0截得的弦长为求直线l的方程.

    解:由题意直线与圆相交斜率必须存在设为k.设直线l的方程为y+2=k(x+1).

    又圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1圆心为(11)半径为1所以圆心到直线的距离

    d.

    解得k=1或k.

    所以直线l的方程为y+2=x+1或y+2=(x+1)xy-1=0或17x-7y+3=0.

     

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