2022年中考数学复习训练题（含解析）----二次函数

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----二次函数，共59页。试卷主要包含了，点B（m，等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之二次函数（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•香坊区一模）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线y＝kx+m经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线x＝1；
②a﹣b+c＝0；
③﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；
④若a＝﹣1，则k＝﹣1．其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022•河东区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点（x0，0）满足﹣1＜x0＜0，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③3a+c＞0，④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•乌海一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）与x轴交于A（x1，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D．若BC＝，则tan∠DAB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022•北仑区二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（其中x是自变量），当x⩽﹣2时．y随x的增大而增大，且﹣6⩽x⩽5时，y的最小值为﹣7，则a的值为（　　）
A．3 B． C． D．﹣1
5．（2022•铜梁区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0）．下面给出了四个结论：
①abc＞0；
②a﹣2b+4c＞0；
③5a+c＜b；
④a﹣b＝c．
其中结论正确的（　　）

A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
6．（2022•东坡区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（　　）

A．abc＜0 B．a+b＞m（am+b）（m≠1）
C．4a﹣2b+c＜0 D．3a+c＝1
7．（2022•中山市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），l是其对称轴，则下列结论：①abc＞0； ②a﹣b+c＝0；③2a+b＞0； ④a+2c＜0；其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022•高州市一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，
0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a+c＜0，③2a+b＞0，④方程ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022•淳安县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B两点，且该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，则a的最大值是（　　）

A．2 B．1 C． D．
10．（2022•东莞市一模）观察规律，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、…）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn.则的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•川汇区一模）如图，已知P是函数y＝﹣1图象上的动点，PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 　 　．

12．（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是 　 　．
13．（2022春•定远县期中）已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k（k为常数，且k≤3），当﹣1≤x≤3时，该抛物线对应的函数值有最大值﹣7，则k的值为 　 　．
14．（2022•官渡区一模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+1，当1≤x≤2时有最小值5，则a的值为 　 　．
15．（2022•仪征市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y＝ax+c，y＝cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是 　 　．
16．（2022春•澧县期中）如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　 　．

17．（2022•安徽模拟）已知关于x的函数y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣a2；
（1）当a＝1时，将该函数的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使得图象的最低点在x轴上，则m＝　 　；
（2）设两点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，当1≤x1＜x2时，总有y1＜y2，那么a的取值范围是 　 　．
18．（2022•肥西县一模）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数y＝x2+3x+m．
（1）若2是此函数的不动点，则m的值为 　 　．
（2）若此函数有两个相异的不动点a、b，且a＜1＜b，则m的取值范围为 　 　．
19．（2022•石家庄一模）抛物线L：y＝x2+mx+n经过图中的网格区域．
（1）当抛物线L过原点及点（1，0）时，m+n的值是 　 　；
（2）当m+n＝1，且抛物线L恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有 　 　个．

20．（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•宜春模拟）2022年是宜春市抓落实活动年，全市开展“拼理念、促比学赶超，拼作风、促担当实干，拼效能、促争先创优”的“三拼三促”活动．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（3，3）称为“三拼三促”点，经过P（3，3）的函数，称为“三拼三促”函数．
（1）下列函数是“三拼三促”函数的有 　 　；
①y＝2x﹣3； ②y＝x2﹣3x； ③y＝﹣2x2﹣3x+30； ④y＝；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+k是“三拼三促”函数，其图象开口向上且与y轴的正半轴相交，求a的取值范围；
（3）如图，关于x的二次函数y＝（x﹣3）2的图象顶点为A，点B（x1，y1）和点C（x2，y2）是该二次函数图象上的点且使得∠BAC＝90°，试判断直线BC是否为“三拼三促”函数，并说明理由．

22．（2022•北仑区二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤BD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？

23．（2022春•长沙期中）虾在稻中游，稻在虾田长．稻虾种养田采取的是“稻虾轮作”模式某县依托湖乡优势，推广稻虾田综合种养模式，打造了一条完整稻虾产业链，为推进乡村振兴奠定了坚实的基础．到2022年初，稻虾种养田面积已由2020年初的40万亩增长到67.6万亩．
（1）如果这两年该县稻虾种养田面积的年平均增长率相同，求这个增长率；
（2）4月份稻田小龙虾蜂拥上市，某商家以每千克12元的价格购进，计划以每千克30元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知日销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，如图所示．该商家想要获得最大利润，每千克应降价多少元？

24．（2022•新都区模拟）某超市前期以每件40元的价格购进了一批新上市的商品．投放市场后发现：该商品销售单价定为60元/件时，每天可销售20件；近期由于疫情的影响销量有所降低，超市为了尽快销售完这批商品，决定采用降价销售策略．据统计，该商品销售单价每降低1元，每天可以多售出2件．已知超市每天销售该商品的人工费用是180元．
（1）当该商品售价为58元/件时，求超市销售该商品每天的利润是多少元？
（2）设该商品售价为x元/件，求超市销售该商品每天的利润w（元）与售价x之间的关系；
（3）当该商品售价为多少元时，超市销售该商品每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．（2022春•思明区校级月考）2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动，在长8m，高6m的斜面上，滑雪运动员P从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为y1＝kx+b，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为y2＝ax2+x+c，设运动员P距离地面的高度为h（m），腾空过程中离开斜面的距离为d（m），回答下列问题：
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）求出d的最大值和此时点P的坐标．

26．（2022•长宁区二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．

27．（2022•汕尾二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图①，点P为抛物线在第一象限内的一个动点，连接MP，当∠PMB＝90°时，求点P的坐标；
（3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点E，连接EB，探究抛物线在直线BC下方部分是否存在点Q，使得S△QMB＝S△EMB？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AB平分∠CAO．

29．（2022•沈河区校级模拟）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P'．经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P'也随之运动，并且点P'的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
[初步感知]
如图1，设A（1，1），α＝90°．点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1'的坐标为 　 　；
（2）若点P1'的运动轨迹经过点P2'（2，1），求原一次函数的表达式．
[深入感悟]
（3）如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P'作第二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP'的面积．
[灵活运用]
（4）如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0），C（3，0），试探究△BCP'的面积是否有最小值？若有，直接写出该最小值；若没有，请说明理由．


30．（2022•兴化市一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+4与y轴相交于点P，抛物线y2＝x2+bx+c的顶点为Q．
（1）求点P的坐标以及抛物线y的顶点坐标；
（2）当点Q在x轴上时，求b+c的最小值；
（3）若点A（﹣2，1）、B（﹣3，4）两点恰好均在抛物线y2上．
①求点Q的坐标；
②经过点P、Q的直线l上有一点D，过点D作x轴的垂线，分别交函数y1、y2的图象于点E、F，若点E在点F下方，且D是线段EF的中点，求点D的坐标．


2022年中考数学复习新题速递之二次函数（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•香坊区一模）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线y＝kx+m经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线x＝1；
②a﹣b+c＝0；
③﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；
④若a＝﹣1，则k＝﹣1．其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线经过点A（﹣1，0），点B（3，0）可得抛物线对称轴，及a﹣b+c＝0，从而判断①②，由图象及点A，B坐标可判断③，由a＝﹣1，a与b的关系，a+b+c＝0可得c的值，根据待定系数法可求直线BC解析式，从而判断④．
【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，①正确．
∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，②正确．
∵﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，
∴﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0，③正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a＝﹣1，a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝﹣3+c＝0，
∴c＝3，
将（0，3），（3，0）代入y＝kx+m得，
解得，
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
2．（2022•河东区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点（x0，0）满足﹣1＜x0＜0，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③3a+c＞0，④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】利用已知条件画出抛物线的草图，利用数形结合法，根据二次函数的性质，对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点（x0，0）满足﹣1＜x0＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点（m，0），满足2＜m＜3．
由以上信息，画出抛物线y＝ax2+bx+c的的图象如下图，

由图象可知：c＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1．
∴b＝﹣2a．
∴b＜0．
∴abc＞0．
∴①的结论错误；
由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
∴②的结论正确；
由图象知：当x＝1时，y＝a﹣b+c＞0．
∴a﹣（﹣2a）+c＞0．
∴3a+c＞0．
∴③的结论正确；
∵a﹣b+c＞0，c＜0，
∴c（a﹣b+c）＜0．
即：ac﹣bc+c2＜0．
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：②③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形结合法，画出函数的图象，利用数形结合解答是解题的关键．
3．（2022•乌海一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）与x轴交于A（x1，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D．若BC＝，则tan∠DAB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点；解直角三角形；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由BC＝，c＞0可得c的值，由抛物线经过B（1，0）可得b的值，然后由二次函数解析式求出点D坐标，过点D作DE⊥x轴于点E，则tan∠DAB＝．
【解答】解：将x＝0代入y＝﹣x2+bx+c得y＝c，
∴点C坐标为（0，c），OC＝c，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC＝＝＝，
∴c＝2，
将（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣+b+c，
∴b＝﹣c＝﹣2＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线顶点D坐标为（﹣1，），抛物线对称轴为直线x＝﹣1
∵点B坐标为（1，0），
∴点A坐标为（﹣3，0），
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，则DE＝

在Rt△DAE中，tan∠DAB＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，掌握解直角三角形的方法．
4．（2022•北仑区二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（其中x是自变量），当x⩽﹣2时．y随x的增大而增大，且﹣6⩽x⩽5时，y的最小值为﹣7，则a的值为（　　）
A．3 B． C． D．﹣1
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由x⩽﹣2时．y随x的增大而增大可判断抛物线开口方向，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，进而求解．
【解答】解：∵x⩽﹣2时．y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∵y＝ax2﹣4ax+5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2．
∵2﹣（﹣6）＞5﹣2，
∴x＝﹣6时，y＝36a﹣+24a+5＝﹣7为最小值，
解得a＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
5．（2022•铜梁区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0）．下面给出了四个结论：
①abc＞0；
②a﹣2b+4c＞0；
③5a+c＜b；
④a﹣b＝c．
其中结论正确的（　　）

A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由图象可得4a﹣2b+c＞0，再由a＞0，c＞0可得a﹣2b+4c＞4a﹣2b+c＞0，从而判断②，由抛物线经过（1，0）可得a+b+c＝0，从而可得a与c的关系，进而判断③④．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①正确．
∵x＝0时y＞0，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∵a＜0，c＞0，
∴a﹣2b+4c＞4a﹣2b+c＞0，②正确．
∵抛物线经过（1，0），
∵b＝2a，
∴a+b+c＝3a+c＝0，
∴3a+b+c＝b，
∴5a+c＝b，③错误．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＝c，④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6．（2022•东坡区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（　　）

A．abc＜0 B．a+b＞m（am+b）（m≠1）
C．4a﹣2b+c＜0 D．3a+c＝1
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A选项；根据二次函数在对称轴处取得最大值，可以得到am2+bm+c＜a+b+c，从而判断B；由图象可得当x＝﹣2时，y＜0，从而判断C；抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，从而判断D．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
选项A正确；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴am2+bm＜a+b，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
故选项B正确；
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，
故选项C正确；
由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的等坐标大于2小于3，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
故选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
7．（2022•中山市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），l是其对称轴，则下列结论：①abc＞0； ②a﹣b+c＝0；③2a+b＞0； ④a+2c＜0；其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由x＝﹣1时y＝0可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由a﹣b+c＝0，a+b+c＜0，可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴②正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∴0＜﹣＜1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，③正确．
由图象得x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵a﹣b+c＝0，
∴2a+2c＜0，
∵a＞0，
∴a+2c＜2a+2c＜0，④正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．（2022•高州市一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，
0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a+c＜0，③2a+b＞0，④方程ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】利用点A（﹣1，0），点B（m，0）求出对称轴，然后利用2＜m＜3判断即可①③；
把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得a﹣b+c＝0，再结合①中的结论即可解答②；
利用直线y＝﹣m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的交点个数判断④即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵二次函数图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），且2＜m＜3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线：x＝，
∵2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴＜＜1，
∴＜﹣＜1，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴＞0，
故①正确；
把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得：a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
由①得：﹣＞，
∵a＞0，
∴a+b＜0，
∴a+a+c＜0，
∴2a+c＜0，
故②正确；
由（1）知﹣＜1，a＞0，
∴2a+b＞0，
故③正确；
④方程ax2+bx+c+m＝0可以转化为ax2+bx+c＝﹣m，
由图可知：
直线y＝﹣m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数性质，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022•淳安县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B两点，且该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，则a的最大值是（　　）

A．2 B．1 C． D．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】利用已知条件与抛物线的对称性求得抛物线顶点的可能值，利用待定系数法求得对应的a值，依据要求取a的最大值即可．
【解答】解：∵该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，
∴y＝1或2或5或6．
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标只能是（3，1）或（2，2）或（4，6）或（5，5）．
当顶点坐标为（3，1）时，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，将（2，2）代入得：
a（2﹣3）2+1＝2，
解得：a＝1；
当顶点坐标为（2，2）时，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，将（5，5）代入得：
a（5﹣2）2+2＝5，
解得：a＝；
当顶点坐标为（4，6）时，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6，将（2，2）代入得：
a（2﹣4）2+6＝2，
解得：a＝﹣1；
当顶点坐标为（5，5）时，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+5，将（2，2）代入得：
a（2﹣5）2+5＝2，
解得：a＝﹣．
综上，a的最大值是1．故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2022•东莞市一模）观察规律，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、…）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn.则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；规律型：图形的变化类；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】利用解析式求得A1，B1，A2，B2•••An，Bn，进而求得线段A1B1，A2B2，••••••AnBn，将所求结果代入算式，利用题干中的方法解答即可．
【解答】解：由题意得：∵A1在y＝ax2（a＞0）上，B1在直线y＝﹣ax上，
∴A1（1，a），B1（1，﹣a），
∴A1B1＝a﹣（﹣a）＝2a＝1×2a；
同理：A2（2，4a），B2（2，﹣2a），
∴A2B2＝4a﹣（﹣2a）＝6a＝2×3a；
A3（3，9a），B3（3，﹣3a），
∴A3B3＝9a﹣（﹣3a）＝12a＝3×4a；
••••••，
AnBn＝n（n+1）a．
∴
＝
＝（）
＝（1﹣++•••+）
＝×
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，数字变化的规律，利用题干中的规律解答是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•川汇区一模）如图，已知P是函数y＝﹣1图象上的动点，PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 　2　．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】设点P坐标为（m，m2﹣1），分别求出PO，PH的长，进而求解．
【解答】解：设点P坐标为（m，m2﹣1），
则PO＝＝＝＝m2+1，
∵PH＝m2﹣1，
∴PO﹣PH＝m2+1﹣（m2﹣1）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
12．（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是 　m＜　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y3＞y1与y1＞y2，由两点中点与对称轴的位置关系求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
∵y3＞y1，
∴＞1，即＞1，
解得m＞，
∵y1＞y2，
∴＜1，
解得m＜，
∴m＜，
故答案为：m＜．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
13．（2022春•定远县期中）已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k（k为常数，且k≤3），当﹣1≤x≤3时，该抛物线对应的函数值有最大值﹣7，则k的值为 　或﹣6　．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论抛物线顶点纵坐标为函数最大值，x＝﹣1或x＝3时y取最大值．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k＝﹣（x﹣k）2﹣3k，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（k，3k），
当﹣1≤k≤3时，
y＝3k＝7为函数最大值，
解得k＝，
将x＝﹣1代入y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k＝﹣1﹣2k﹣k2﹣3k＝﹣k2﹣5k﹣1，
当k＜﹣1时，x＝﹣1时，y取最大值，即﹣k2﹣5k﹣1＝﹣7，
解得k1＝﹣6，k2＝1（不符合题意，舍去），
将x＝3代入y＝﹣x2+2kx﹣k2﹣3k＝﹣9+6k﹣k2﹣3k＝﹣k2+3k﹣9，
当k＞3时，x＝3时，y取最大值，即﹣k2+3k﹣9＝﹣7，
解得k3＝1（不符合题意，舍去），k4＝2（不符合题意，舍去），
综上所述k＝或﹣6，
故答案为：或﹣6．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
14．（2022•官渡区一模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+1，当1≤x≤2时有最小值5，则a的值为 　﹣1或4　．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论x＝1，x＝2时y取最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+a2+1＝（x﹣a）2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（a，1），
∴当a＜1，x＝1时，y＝1﹣2a+a2+1＝5为最小值，
解得a1＝3（舍）或a＝﹣1．
当a＞2，x＝2时，y＝4﹣4a+a2+1＝5为最小值，
解得a3＝4或a4＝0（舍），
∴a＝﹣1或4．
故答案为：﹣1或4．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
15．（2022•仪征市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y＝ax+c，y＝cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是 　5　．
【考点】二次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；两条直线相交或平行问题；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c交于点（0，c），可得a方程x2+bx+c＝ax+c中Δ＝（b﹣a）2＝0，从而可得b＝a，然后令ax2+ax+c＝cx+a，由由题意得Δ＝（a﹣c）2﹣4a（c﹣a）≤0，设＝k，通过分类讨论求解．
【解答】解：令ax2+bx+c＝ax+c，整理得ax2+（b﹣a）x＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c交于点（0，c），
∴Δ＝（b﹣a）2＝0，
解得b＝a，
∴y＝ax2+ax+c，
令ax2+ax+c＝cx+a，整理得ax2+（a﹣c）x+c﹣a＝0，
由题意得Δ＝（a﹣c）2﹣4a（c﹣a）≤0，
设＝k，则c＝ka，
∴（a﹣ka）2﹣4a（ka﹣a）≤0，
（ka﹣a）（ka﹣5a）≤0，
当时，
解得1≤k≤5，
当时，
不等式组无解，
∴k最大值为5，即的最大值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
16．（2022春•澧县期中）如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　﹣1＜x＜3　．

【考点】二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将不等式转化为函数图象的位置关系求解．
【解答】解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．
由图知，图象在点A，B之间，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数与不等式，将不等式转化为函数的上下关系是求解本题的关键．
17．（2022•安徽模拟）已知关于x的函数y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣a2；
（1）当a＝1时，将该函数的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使得图象的最低点在x轴上，则m＝　2　；
（2）设两点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，当1≤x1＜x2时，总有y1＜y2，那么a的取值范围是 　0≤a≤1　．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）将a＝1代入解析式，求出抛物线顶点坐标，根据平移后图象的顶点纵坐标为0求解．
（2）分类讨论a＝0，a＜0，a＞0三种情况，根据点A（x1，y1），B（x2，y2）与对称轴的关系求解．
【解答】解：（1）a＝1时，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），
将该函数的图象向上平移m（m＞0）个单位长度后顶点坐标为（1，﹣2+m），
当﹣2+m＝0时，图象的最低点在x轴上，
解得m＝2，
故答案为：2．
（2）①当a＝0时，y＝x，满足1≤x1＜x2时，y1＜y2，
②当a＜0时，抛物线开口向下，不满足当1≤x1＜x2时，总有y1＜y2，
③当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，
当≤1时，若1≤x1＜x2时，y随x增大而增大，满足y1＜y2，
解得a≤1，
∴0≤a≤1满足题意，
故答案为：0≤a≤1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
18．（2022•肥西县一模）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数y＝x2+3x+m．
（1）若2是此函数的不动点，则m的值为 　﹣8　．
（2）若此函数有两个相异的不动点a、b，且a＜1＜b，则m的取值范围为 　m＜﹣3　．
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）将（2，2）代入解析式求解．
（2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令x2+3x+m＝x可得Δ＞0，设y＝x2+2x+m，由a＜1＜b可得x＝1时y＜0，进而求解．
【解答】解：（1）若2是此函数的不动点，则抛物线经过（2，2），
将（2，2）代入y＝x2+3x+m得2＝4+6+m，
解得m＝﹣8，
故答案为：﹣8．
（2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上，
令x2+3x+m＝x，整理得x2+2x+m＝0，
∵函数有2个不动点，
∴Δ＝22﹣4m＞0，
解得m＜1，
设y＝x2+2x+m，
∵a＜1＜b，
∴x＝1时，y＝3+m＜0，
解得m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化．
19．（2022•石家庄一模）抛物线L：y＝x2+mx+n经过图中的网格区域．
（1）当抛物线L过原点及点（1，0）时，m+n的值是 　﹣1　；
（2）当m+n＝1，且抛物线L恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有 　2　个．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）将（1，0）代入解析式求解．
（2）由m+n＝1可得抛物线经过定点（1，2），结合图象分类讨论抛物线经过3个格点时求m的值．
【解答】解：（1）将（1，0）代入y＝x2+mx+n得1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）当x＝1时，y＝1+m+n＝2，
∴抛物线经过顶点（1，2），
如图，当抛物线经过（1，2），（0，3），（2，3）时，

抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
解得m＝﹣2，
如图，当抛物线经过（1，2），（2，1），（3，2）时，

抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴满足条件的m有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次项系数为1的抛物线的特点，通过数形结合，分类讨论求解．
20．（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 　x1＝﹣1，x2＝3　．
【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•宜春模拟）2022年是宜春市抓落实活动年，全市开展“拼理念、促比学赶超，拼作风、促担当实干，拼效能、促争先创优”的“三拼三促”活动．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（3，3）称为“三拼三促”点，经过P（3，3）的函数，称为“三拼三促”函数．
（1）下列函数是“三拼三促”函数的有 　①③④　；
①y＝2x﹣3； ②y＝x2﹣3x； ③y＝﹣2x2﹣3x+30； ④y＝；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+k是“三拼三促”函数，其图象开口向上且与y轴的正半轴相交，求a的取值范围；
（3）如图，关于x的二次函数y＝（x﹣3）2的图象顶点为A，点B（x1，y1）和点C（x2，y2）是该二次函数图象上的点且使得∠BAC＝90°，试判断直线BC是否为“三拼三促”函数，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；函数及其图象；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据“三拼三促”函数的定义，分别检验①y＝2x﹣3； ②y＝x2﹣3x； ③y＝﹣2x2﹣3x+30； ④y＝是否经过点P（3，3），即可作出判断；
（2）将点P（3，3）代入y＝ax2+k得：9a+k＝3，得出k＝3﹣9a，图象开口向上且与y轴的正半轴相交，由二次函数图象的性质，得出关于a的不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围；
（3）由二次函数的解析式求出顶点A（3，0），由点B（x1，y1）和点C（x2，y2）是该二次函数图象上的点，得出B（x1，（x1﹣3）2），C（x2，（x2﹣3）2），由两条直线的位置关系得出（x1﹣3）•（x2﹣3）＝﹣1，联立直线与抛物线解析式得出，由一元二次方程根与系数关系得出直线BC的解析式为y＝kx﹣3k+3，由“三拼三促”函数的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝3时，y＝2×3﹣3＝3，
∴y＝2x﹣3经过点P（3，3），
∴①符合题意；
当x＝3时，y＝32﹣3×3＝0，
∴y＝x2﹣3x不经过点P（3，3），
∴②不符合题意；
当x＝3时，y＝﹣2×32﹣3×3+30＝3，
∴y＝﹣2x2﹣3x+30经过点P（3，3），
∴③符合题意；
当x＝3时，y＝＝3，
∴y＝经过点P（3，3），
∴④符合题意；
故答案为：①③④；
（2）将点P（3，3）代入y＝ax2+k得：9a+k＝3，
∴k＝3﹣9a，
∵图象开口向上且与y轴的正半轴相交，
∴，
解得：0＜a＜；
（3）直线BC是“三拼三促”函数，理由如下：
∵关于x的二次函数y＝（x﹣3）2的图象顶点为A，
∴A（3，0），
∵点B（x1，y1）和点C（x2，y2）是该二次函数图象上的点，
∴B（x1，（x1﹣3）2），C（x2，（x2﹣3）2），
设直线AB的解析式为y＝k1x+b1，
把A（3，0），B（x1，（x1﹣3）2）分别代入得：，
∴k1＝（x1﹣3），
设直线AC的解析式为y＝k2x+b2，
把A（3，0），C（x2，（x2﹣3）2）分别代入得：，
∴k2＝（x2﹣3），
∵∠BAC＝90°，
∴k1•k2＝﹣1，
∴（x1﹣3）•（x2﹣3）＝﹣1，
整理为：x1x2﹣3（x1+x2）+9＝﹣9①，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将它与抛物线解析式联立得：
，
∴，
整理为：x2﹣（6+3k）x+9﹣3b＝0，
由根与系数关系得：x1+x2＝6+3k，x1x2＝9﹣3b②，
将②代入①得：9﹣3b﹣3（6+3k）+9＝﹣9，
∴b＝﹣3k+3，
∴直线BC的解析式为：y＝kx﹣3k+3，
当x＝3时，y＝3k﹣3k+3＝3，
∴直线BC经过点P（3，3），
∴直线BC是“三拼三促”函数．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，理解“三拼三促”函数的含义，掌握检验函数图象经过已知点的方法，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
22．（2022•北仑区二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤BD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？

【考点】二次函数的应用；菱形的性质；中点四边形．菁优网版权所有
【专题】计算题；二次函数的应用；推理能力．
【分析】（1）E、F、G、H分别是菱形ABCD四边的中点，得出BD＝40﹣x，根据菱形面积公式求出关于的画数关系式；
（2）求出的取值范围，整理y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣40）2+400，函数图象开口向下，自变量的取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值．
【解答】解：（1）∵E、F为AB、AD中点，
∴EF＝BD．
同理：GH＝BD，
∵EF+BD+GH+AC＝80，
∴BD＝40﹣x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴y＝（40﹣x）x＝﹣x2+20x．
（2）∵AC≤BD，
∴x≤（40﹣x），
∴x≤32，
∴25≤x≤32，
∴y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣40）2+400．
又∵﹣＜0，
∴当x＝32即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为384cm2．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判出取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值．
23．（2022春•长沙期中）虾在稻中游，稻在虾田长．稻虾种养田采取的是“稻虾轮作”模式某县依托湖乡优势，推广稻虾田综合种养模式，打造了一条完整稻虾产业链，为推进乡村振兴奠定了坚实的基础．到2022年初，稻虾种养田面积已由2020年初的40万亩增长到67.6万亩．
（1）如果这两年该县稻虾种养田面积的年平均增长率相同，求这个增长率；
（2）4月份稻田小龙虾蜂拥上市，某商家以每千克12元的价格购进，计划以每千克30元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知日销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，如图所示．该商家想要获得最大利润，每千克应降价多少元？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意列一元二次方程可得增长率；
（2）首先根据图象可得y与x的关系式，再根据销售量×每千克利润＝总利润列出二次函数关系式求解即可．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
由题意得，40（1+x）2＝67.6，
解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍去），
答：年平均增长率为30%；
（2）设y与x的关系式为y＝kx+b，
把（2，170）和（4，190）代入可得，
解得，
∴y与x的关系式为y＝10x+150．
设每日的利润为w元，则w＝（30﹣12﹣x）（10x+150）＝﹣10x2+30x+2700＝﹣10（x﹣1.5）2+4950．
∴商家想要获得最大利润，每千克应降价1.5元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．
24．（2022•新都区模拟）某超市前期以每件40元的价格购进了一批新上市的商品．投放市场后发现：该商品销售单价定为60元/件时，每天可销售20件；近期由于疫情的影响销量有所降低，超市为了尽快销售完这批商品，决定采用降价销售策略．据统计，该商品销售单价每降低1元，每天可以多售出2件．已知超市每天销售该商品的人工费用是180元．
（1）当该商品售价为58元/件时，求超市销售该商品每天的利润是多少元？
（2）设该商品售价为x元/件，求超市销售该商品每天的利润w（元）与售价x之间的关系；
（3）当该商品售价为多少元时，超市销售该商品每天的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意利润＝每件商品的利润×销售的件数可得答案；
（2）把（1）中的58换成x，再整理可得答案；
（3）根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）（58﹣40）×（20+×2）﹣180＝252（元），
答：超市销售该商品每天的利润是252元；
（2）w＝（x﹣40）（20+×2）﹣180＝﹣2x2+220x﹣5780，
答：超市销售该商品每天的利润w与售价x之间的关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5780；
（3）w＝﹣2x2+220x﹣5780＝﹣2（x﹣55）2+270，
答：当x＝55时，最大利润为270元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到等量关系列出二次函数的关系式是解题关键．
25．（2022春•思明区校级月考）2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动，在长8m，高6m的斜面上，滑雪运动员P从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为y1＝kx+b，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为y2＝ax2+x+c，设运动员P距离地面的高度为h（m），腾空过程中离开斜面的距离为d（m），回答下列问题：
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）求出d的最大值和此时点P的坐标．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】数形结合；二次函数的应用；推理能力．
【分析】（1）把点（8，0）和（0，6）分别代入直线的函数关系式y1＝kx+b和运动员轨迹所在抛物线的函数关系式y2＝ax2+x+c进而得出答案；
（2）过点P作PK∥y轴交AB于K，求出PK的最大值，从而求出d的最大值，以及点P坐标．
【解答】解：（1）把点（8，0）和（0，6）代入直线y1＝kx+b得，
，
解得：，
∴y1＝﹣x+6；
把点（8，0）和（0，6），代入抛物线y2＝ax2+x+c得，
，
解得：，
∴y2＝﹣x2+x+6．
（2）过点P作PK∥y轴交AB于K，

PK＝﹣x2+x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝4时，PK有最大值，最大值为2，
∵OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵sinα＝sin∠OAB＝＝＝，
∴d＝PK，
∴当PK最大值时，d有最大值，
∴dmax＝×2＝，
yP＝﹣×42+×4+6＝5，
∴P（4，5）．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数图的综合问题，解题的关键是数形结合，要注意当直线与抛物线相切时距离最大．
26．（2022•长宁区二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）直接配方得出y＝﹣（x﹣3）2+4，即可得出答案；
（2）先求出点A，B，C的坐标，进而求出点D坐标，最后用三角形面积公式求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的开口方向向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，4）；
（2）如图，

针对于y＝﹣x2+6x﹣5，
令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝1或x＝5，
∵点A在B左边，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵点D与点C关于二次函数的对称轴对称，
∴D（6，﹣5），
∴S△ABD＝AB•|yD|＝（5﹣1）×5＝10．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，配方法，对称性，三角形的面积求法，求出点D坐标是解本题的关键．
27．（2022•汕尾二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图①，点P为抛物线在第一象限内的一个动点，连接MP，当∠PMB＝90°时，求点P的坐标；
（3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点E，连接EB，探究抛物线在直线BC下方部分是否存在点Q，使得S△QMB＝S△EMB？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝ax2+bx﹣3a，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而求出对称轴；
（2）过点P作PN⊥对称轴于点N，设P（m，﹣m2+2m+3），则N（1，﹣m2+2m+3），PN＝m﹣1，令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，求得A（﹣1，0），B（3，0），得出OB＝OC，得出△MGB、△PNM为等腰直角三角形，得出PN＝MN，求出直线BC的解析式，进而求出M（1，2），得出MN＝﹣m2+2m+1，得出关于m的方程，解方程即可求出点P的坐标；
（3）由抛物线解析式求出E（1，4），结合M点坐标得出EM＝2，在BC下方抛物线对称轴上取点G，使MG＝EM＝2，过点G作QG∥BC交抛物线于点Q，此时，S△QMB＝S△EM，G（1，0），由（2）可知，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求出直线QG的解析式，联立直线QG与抛物线解析式，即可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝ax2+bx﹣3a得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：直线；
（2）如图1，过点P作PN⊥对称轴于点N，设P（m，﹣m2+2m+3），则N（1，﹣m2+2m+3），PN＝m﹣1，

令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝OC，
∠ABC＝45°，
∴△MGB、△PNM为等腰直角三角形，
∴PN＝MN，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴M（1，2），
∴MN＝﹣m2+2m+1，
∴m﹣1＝﹣m2+2m+1，
解得m1＝2，m2＝﹣1（舍去），
∴P（2，3）；
（3）存在，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
∵M（1，2）
∴EM＝2，
在BC下方抛物线对称轴上取点G，使MG＝EM＝2，过点G作QG∥BC交抛物线于点Q，此时，S△QMB＝S△EMB，G（1，0），
如图2所示，

由（2）可知，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵QG∥BC，
∴设直线QG的解析式为y＝﹣x+p，
将G（1，0）代入得：p＝1，
∴直线QG的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线QG与抛物线的交点Q，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的面积是解决问题的关键．
28．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AB平分∠CAO．

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【专题】函数的综合应用；应用意识．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）由抛物线解析式可以得到点C坐标，再根据平行线的性质角平分线的判定得出结论．
【解答】（1）解：将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：，
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）证明：由抛物线解析式y＝x2﹣x﹣4可知，点C（0，﹣4），
∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），
∴AC＝＝5，
∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），
∴BC∥x轴，BC＝5，
∴∠BAD＝∠ABC，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴∠CAB＝∠BAD，
∴AB平分∠CAO．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，角平分线的判定，关键是求出抛物线解析式．
29．（2022•沈河区校级模拟）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P'．经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P'也随之运动，并且点P'的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
[初步感知]
如图1，设A（1，1），α＝90°．点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1'的坐标为 　（1，3）　；
（2）若点P1'的运动轨迹经过点P2'（2，1），求原一次函数的表达式．
[深入感悟]
（3）如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P'作第二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP'的面积．
[灵活运用]
（4）如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0），C（3，0），试探究△BCP'的面积是否有最小值？若有，直接写出该最小值；若没有，请说明理由．


【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据旋转的旋转即可得出答案；
（2）运用待定系数法即可求出答案；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于N点，通过联立方程组求出点N的坐标，再分两种情况：①当x≤﹣1时，作PQ⊥x轴于Q，证明△PQA≌△P′MA（AAS），再运用三角形面积公式即可求出答案；②当﹣1＜x＜0时，作PH⊥y轴于点H，同理可得到答案；
（4）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，证明△C′AO≌△CAB（SAS），利用待定系数法求出OC′的函数表达式为：y＝x，设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，由于S△BCP′＝S△B′C′P，当直线l与抛物线相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：【初步感知】
（1）如图1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），
∴P1A∥x轴，P1A＝2，
由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），
由题意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函数图象上，
∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴原一次函数解析式为y＝x+；
【深入感悟】
（3）设双曲线与二、四象限角平分线交于N点，则：
，
解得：，
∴N（﹣1，1）．
①当x≤﹣1时，
过点P作PQ⊥x轴于Q，连接AP，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，
∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，
∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
在△PQA和△P′MA中，
，
∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA＝＝，
即S△OMP′＝．
②当﹣1＜x＜0时，
过点P作PH⊥y轴于点H，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图3，
∵∠POP′＝NOH＝45°，
∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，
，
∴△POH≌△OP′M（AAS），
∴S△P′MO＝S△PHO＝，
综上所述，△OMP′的面积为．
【灵活运用】
（4）△BCP′的面积有最小值，
如图4，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，
∵A（1，﹣），B（2，0），C（3，0），
∴OH＝BH＝1，BC＝1，
∴OA＝AB＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
连接C′O，
∵∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠CAB＝∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O＝CB＝1，∠C′OA＝∠CBA＝120°，
作C′G⊥y轴于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG＝90°﹣∠C′B′C＝30°，
∴C′G＝OC′＝，
∴OG＝，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y＝x，
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，
∵S△BCP′＝S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
则，
即x+b＝x2+2x+7，
∴x2+x+7﹣b＝0，
当Δ＝0时，得b＝，
∴y＝x+，
设l与y轴交于点T，连接C′T，
∵S△B′C′T＝S△BCP′，
∴S△BCP′＝×B′T×C′G＝××＝．




【点评】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，反比例函数图象，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，是中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
30．（2022•兴化市一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+4与y轴相交于点P，抛物线y2＝x2+bx+c的顶点为Q．
（1）求点P的坐标以及抛物线y的顶点坐标；
（2）当点Q在x轴上时，求b+c的最小值；
（3）若点A（﹣2，1）、B（﹣3，4）两点恰好均在抛物线y2上．
①求点Q的坐标；
②经过点P、Q的直线l上有一点D，过点D作x轴的垂线，分别交函数y1、y2的图象于点E、F，若点E在点F下方，且D是线段EF的中点，求点D的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）将x＝0代入函数解析式求点P坐标，将二次函数解析式化为顶点式求顶点坐标．
（2）由抛物线顶点Q在x轴上可得b与c的关系，将b+c化为只含b的代数式求解．
（3）①通过待定系数法求抛物线y2的解析式，然后化为顶点式求解．
②设D坐标为（m，4m+4），用含m代数式表示E，F坐标，进而求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝x2﹣2x+4得y＝4，
∴点P坐标为（0，4），
∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3）．
（2）∵抛物线y2＝x2+bx+c的顶点为Q在x轴上，
∴b2﹣4ac＝b2﹣4c＝0，
∴c＝，
∴b+c＝+b＝（b2+4b+4）﹣1＝（b+2）2﹣1，
∴b+c的最小值为﹣1．
（3）①将A（﹣2，1）、B（﹣3，4）代入y2＝x2+bx+c得，
解得，
∴y2＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴点Q坐标为（﹣1，0）．
②设直线PQ解析式为y＝mx+n，
将P（0，4），Q（﹣1，0）代入y＝mx+n得，
解得，
∴y＝4x+4，
设D坐标为（m，4m+4），则点E坐标为（m，m2﹣2m+4），F坐标为（m，m2+2m+1），
∵点E在点F下方，
∴m2﹣2m+4﹣（m2+2m+1）＜0，
解得m＞，
∵点D为EF中点，
∴m2+2m+1﹣（4m+4）＝4m+4﹣（m2﹣2m+4），
解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍），
∴点D坐标为（2+，12+2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．

考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
4．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
5．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
6．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
7．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
9．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
11．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
15．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
16．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．中点四边形
中点四边形．
21．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）