2022年中考数学复习训练题（含解析）----图形的相似

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----图形的相似，共71页。
2022年中考数学复习新题速递之图形的相似（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•新田县一模）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，AC＝4，则边BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022春•襄城县期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，长期以来很多人认为是个很特别的数，若介于两个连续（相邻）的整数a与b（a＜b）之间，则的值为（　　）

A．1 B．4 C． D．2
3．（2022•东营区一模）如图，已知Rt△ABC，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：①AB＝2；②△ABD∽△ACE；③∠BFC＝45°；④F为BD的中点，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
4．（2022•邳州市一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2022•淳安县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（　　）

A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA
C．BD2＝BC•BE D．CE•AB＝BE•CA
6．（2022•惠州一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG＝AB；
②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF＝S△ABF；
④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
7．（2022•桓台县一模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE，CF．则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（2022•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE＝FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB＝9，AE＝3，则下列结论中：①∠BGF＝∠CFB；②DH＝EH+FH；③＝，其中结论正确的是（　　）

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
9．（2022春•九龙坡区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为1.9米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（　　）

A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米
10．（2022•盐田区一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF＝2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF＝45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN＝3；④DN：MN：BM＝．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•常德期中）已知线段MN＝6，点O是线段MN的黄金分割点，且MO＜NO，那么MO的长为 　 　．
12．（2022春•松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为 　 　．
13．（2022•新都区模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线AC⊥BD，并且两条对角线长分别为10cm和12cm．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 　 　cm2．

14．（2022•钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 　 　．
15．（2022•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 　 　．

16．（2022•河北区一模）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE，BE，BE交对角线AC于点F，连接FD交AE于点G，如果DF＝4，那么AB的长为 　 　．

17．（2022•高新区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点D在线段BC上，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，连接CE，若△CEF与△ABD相似，则BD的长为 　 　．

18．（2022•长宁区二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝　 　．

19．（2022•岳阳模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是⊙O上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且DE⊥CE，连接CD交AB于点F，①若∠ADC＝30°，⊙O的半径r＝2，则＝　 　；②若tan∠ADC＝，则＝　 　．

20．（2022•东至县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得△ADE，且点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F．
（1）求＝　 　；
（2）当AB＝10时，CF＝　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2022•钱塘区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结BE，OD，BE与OD交于点F．
（1）求证：OD∥AC．
（2）当∠ABE＝48°时，求∠CBE的度数．
（3）连结DE，若DE＝，AB＝4，求AE的长．

22．（2022•滨江区一模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD＝CE，连接AD，BE交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若AE：EC＝5：3，求BP：PE的值；
（3）若点P恰好落在以AC为直径的圆上，求AE：EC的值．

23．（2022•长宁区二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为AC的中点，OF交AC于点E，AC＝10，EF＝3．
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长．

24．（2022•遵义模拟）问题背景：已知∠GDH的顶点在边BC所在直线上（不与B，C重合），DG交AB所在直线于点E，DH交AC所在直线于点F，记△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2．
（1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB＝9，∠GDH＝∠A，且DG//AC，BD＝3时，S1•S2＝　 　．
（2）类比探究：在（1）的条件下，沿BC方向平移∠GDH，使得BD＝6，如图2所示位置，则S1•S2＝　 　．
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠C＝∠GDH＝β．
（Ⅰ）如图3，当点D在线段BC上运动时，设BD＝m，CD＝n，
①求证：△BDE∽△CFD
证明：∵∠2＝180°﹣∠GDH﹣∠1，∠3＝　 　，∠GDH＝∠B
∴∠2＝∠3
∴∠B＝∠C
∴△BDE∽△CFD
②直接写出BE•CF＝　 　，S1•S2＝　 　（结果用含m，n，β的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图4，当点D在BC的延长线上运动时，设BD＝m，CD＝n，求S1•S2的表达式（结果用含m，n，β的三角函数表示）．


25．（2022•沈河区校级模拟）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，延长AB到G，使BG＝AB．AH⊥BC，垂足为D，且AH＝GH，点F在线段AG上（不与点A，G重合），点K在射线AC上（不与点A，C重合），满足GF＝AK，连接FK，与BC交于点E，连接EH．

（1）如图1，猜想线段EF与EH的位置关系，并进行证明；
（2）如果∠BAC＝120°，AB＝3BF，求的值，请直接写出结果．

26．（2022•雁塔区校级四模）问题探究
（1）如图①，点B，C分别在AM，AN上，AM＝18米，AN＝30米，AB＝4.5米，BC＝4.2米，AC＝2.7米，求MN的长．
问题解决
（2）如图②，四边形ABCD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分，已知AB＝60米，四边形ABCD的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在AC，BC边上分别确定点E，F，在AB边上确定点P，Q，使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时花卉种植区域的面积．


27．（2022•新泰市一模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF，若CF＝，求BE的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，求DE的长．

28．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在矩形ABCD中，已知AD＝6，CD＝6，点H是矩形ABCD的边AB延长线上一点，连接CH，过顶点A作AG⊥CH，垂足为G，AG交边CB于点E．
（1）求证：△CGE∽△ABE；
（2）连接BG，求∠AGB的度数；
（3）作点B关于直线CH的对称点F，连接BF，FG．猜想线段AG，CG，BF之间的数量关系，并说明理由．

29．（2022•朝阳区校级一模）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容．
例3已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
求证：△ADE∽△EFC．
[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程．
[拓展探究]
（1）如图②，在△ABC中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作DE∥AC，DF∥BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC＝6，BC＝9．则四边形DECF的周长是 　 　；
（2）如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC＝3：2，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△AMB的面积为 　 　．

30．（2022•温江区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AD，若∠BAC＝α，将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到线段AE，连接CE和DE，AC与DE交于点F．
（1）求证：△ABD∽△DCF；
（2）若α＝120°，点D在BC边上运动的过程中，求的最小值；
（3）试探究AC、CD、CE之间满足的数量关系（用含α的式子表示），并证明．



2022年中考数学复习新题速递之图形的相似（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•新田县一模）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，AC＝4，则边BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】由∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，可证出△ADC∽△ACB，再利用相似三角形的性质可求出边BD的长．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴BD＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
2．（2022春•襄城县期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，长期以来很多人认为是个很特别的数，若介于两个连续（相邻）的整数a与b（a＜b）之间，则的值为（　　）

A．1 B．4 C． D．2
【考点】黄金分割．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先依据介于两个连续（相邻）的整数a与b（a＜b）之间，可得a，b的值，再代入进行计算即可解答．
【解答】解：∵介于两个连续（相邻）的整数a与b（a＜b）之间，而≈0.618，
∴a＝0，b＝1，
∴＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金比的近似值，即≈0.618．
3．（2022•东营区一模）如图，已知Rt△ABC，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：①AB＝2；②△ABD∽△ACE；③∠BFC＝45°；④F为BD的中点，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据勾股定理求出AB，从而判断①；结合旋转的性质可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，进而可得，且∠DAB＝∠EAC，从而可得△ABD∽△ACE，从而判断②；根据△ABD∽△ACE可得∠DBA＝∠ECA，再根据三角形内角和可得∠BFC＝∠BAC＝45°，从而判断③；根据∠BFC＝∠BAC＝45°可判断A、B、C、F四点共圆，再由圆内接四边形的性质可得∠BFC的度数，从而可根据等腰三角形的性质得到BF＝DF，从而判断④．
【解答】解：在Rt△ABC，AC＝BC＝2，AB＝＝2，
∴①正确；
由旋转的性质可得：AB＝AD＝2，AC＝AE＝2，∠BAC＝∠DAE，
∴，且∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，
∴②正确；
∵△ABD∽△ACE，
∴∠DBA＝∠ECA，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴③正确；
∵∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴A、B、C、F四点共圆，
∴∠BFA＝90°，
∵AB＝AD，
∴BF＝DF，即F为BD的中点，
∴④正确．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形综合，涉及到勾股定理、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质等，解题关键是能判断出四点共圆．
4．（2022•邳州市一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】因为AD∥BC，设AD与BC之间的距离为h，由三角形面积公式结合已知得出＝，进而证明△ADO∽△CBO，由，即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴设AD与BC之间的距离为h，
∴＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO∽△CBO，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积公式，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
5．（2022•淳安县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（　　）

A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA
C．BD2＝BC•BE D．CE•AB＝BE•CA
【考点】相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．
【分析】由“SSS”可证△ABE≌△ADE，可得∠ABE＝∠ADE＝90°，可证△ABC∽△EDC，可得结论．
【解答】解：由题意可得AB＝AD，AP平分∠BAC，
∴AE垂直平分BD，
∴BE＝DE，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SSS），
∴∠ABE＝∠ADE＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴CE•AB＝BE•CA，
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
6．（2022•惠州一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG＝AB；
②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF＝S△ABF；
④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG＝AB，①正确；
②先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB＝BD＝AD，得出四边形ABDE是菱形，②正确；
④证OG是△ACD的中位线，得OG∥CD∥AB，OG＝CD，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，则S△ACD＝4S△BOG，④正确；
③连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，则S四边形ODGF＝S△ABF，③正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
∵OA＝OC，AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：

∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故③正确；
正确的是①②③④，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大．
7．（2022•桓台县一模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE，CF．则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】利用正方形的性质判定△ABE∽△ACF，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】解：如图，连接AF，AC，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠BAC＝∠EAF＝45°，∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴cos∠BAC＝＝cos∠EAF＝＝，∠BAE＝∠CAF，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ACF，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，利用正方形的性质并作出合理的辅助线证明△ABE∽△ACF是解题的关键．
8．（2022•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE＝FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB＝9，AE＝3，则下列结论中：①∠BGF＝∠CFB；②DH＝EH+FH；③＝，其中结论正确的是（　　）

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】数形结合；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】①根据A、G、H、E四点共圆得出∠AEB＝∠BGF，证△AEB≌△CFB，推出∠AEB＝∠CFB，即可判断①；
②延长BE到Q，使EQ＝FH，连接DQ，证△DFH≌△DEQ，推出DQ＝DH，∠QDE＝∠FDH，求出∠QDH＝∠QDE+∠EDH＝∠ADC＝90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出QH＝DH，即可判断②；
③连接EF，证明EP＝DE＝6，BE＝BF＝3，根据FH2＝EF2﹣EH2＝BF2﹣BH2，求出BH＝，根据 sin∠ABE＝＝，求出HM＝，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，DC∥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BE，
∴∠EHG＝90°，
∴∠A+∠EHG＝180°，
∴A、E、H、G四点共圆，
∴∠BGF＝∠AEB，
在△EAB和△FCB中，
，
∴△EAB≌△FCB（SAS），
∴∠CFB＝∠AEB，
∵∠BGF＝∠AEB，
∴∠BGF＝∠CFB，
∴①正确．
延长BE到Q，使EQ＝FH，连接DQ，如图：
∵DC∥AB，
∴∠FGB＝∠DFH，
∵∠FGB＝∠AEB，∠AEB＝∠DEQ，
∴∠DFH＝∠DEQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵CF＝AE，
∴DF＝DE，
在△DFH和△DEQ中，
，
∴△DFH≌△DEQ（SAS），
∴DQ＝DH，∠QDE＝∠FDH，
∵∠ADC＝90°，
∴∠QDH＝∠QDE+∠EDH＝∠FDH+∠EDH＝∠ADC＝90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QH＝DH，
即EH+FH＝DH，
∴②正确．
③连接EF，

∵AD＝CD＝9，AE＝CF＝3，
∴DE＝DF＝6，
∴EF＝DE＝6．
∵BF＝＝＝3，
∴BE＝3．
设BH＝x，则EH＝BE﹣BH＝3﹣x，
∵FH2＝EF2﹣EH2＝BF2﹣BH2，
∴（6）2﹣（3﹣x）2＝（3）2﹣x2．
∵HM⊥AB，
∴sin∠ABE＝＝，
∴＝，
∴HM＝．
∴＝＝．
故＝．
∴③正确．
正确的结论为①②③．
故选D．

【点评】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的定方理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义．
9．（2022春•九龙坡区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为1.9米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（　　）

A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，

由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出△ACN∽△AEM是解题的关键．
10．（2022•盐田区一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF＝2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF＝45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN＝3；④DN：MN：BM＝．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】①将△ADF绕点A顺时针旋转90得△ABG，连接EF，证明EG＝EF，再证△AEG≌△AEF得∠EAG＝∠EAF，便可求得∠EAF，从而判断①的正误；
②证明A、B、E、N四点共圆，得∠ANE与∠ABE的数量关系，便可判断②的正误；
③连接AC与BD交于点O，证明△MBE∽△MDA用BD表示OA、BM，进而表示OM，便可求得tan∠AMN，从而判断③的正误；
④由相似三角形求得BM、DN与BD的数量关系，进而求得MN与BD的数量关系，便可求得DN：MN：BM的值，进而判断④的正误．
【解答】解：①将△ADF绕点A顺时针旋转90得△ABG，连接EF，如图，

则G、B、E、C在同一直线上，AG＝AF，∠ABG＝∠ADF＝90°，
设正方形ABCD的边长为a，则EG＝BE+BG＝BE+DF＝，
∵，
∴EG＝EF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG＝∠EAF，
∵∠GAF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
故①正确；
②∵∠EAF＝∠DBC＝45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∴∠ANE+∠ABE＝180°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠ANE＝90°，
故②正确；
③连接AC与BD交于点O，则OA＝OB＝OD＝BD，AC⊥BD，

∵BC∥AD，
∴△MBE∽△MDA，
∴，
∴BM＝，
∴OM＝OB﹣BM＝，
∴tan∠AMN＝，
故③正确；
④∵CD∥AB，
∴△DNF∽△BNA，
∴，
∴DN＝BD，
∵BM＝，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝BD，
∴DN：MN：BM＝3：5：4，
故④错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合应用这些知识解题是关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2022春•常德期中）已知线段MN＝6，点O是线段MN的黄金分割点，且MO＜NO，那么MO的长为 　　．
【考点】黄金分割．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据黄金分割的定义，可得NO＝MN，进而得出MO＝（1﹣）MN，代入MN的长即可得出MO的长．
【解答】解：∵点O是线段MN的黄金分割点，且MO＜NO，
∴NO＝MN，
∴MO＝（1﹣）MN，
又∵MN＝6，
∴MO＝（1﹣）×6＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
12．（2022春•松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为 　：2　．
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，
∴相似比是：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：：2，
故答案为：：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
13．（2022•新都区模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线AC⊥BD，并且两条对角线长分别为10cm和12cm．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 　540　cm2．

【考点】位似变换；矩形的性质；相似多边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先利用三角形面积公式计算出四边形ABCD的面积＝60cm2，再利用相似的性质得到放大的风筝的面积＝540cm2，然后根据矩形的性质得到从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积＝×10×12＝60（cm2），
∵模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴放大的风筝的面积＝60×9＝540（cm2），
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是540cm2，
故答案为：540．
【点评】本题考查了位似变换：位似变换的两个图形是相似图形，相似三角形图形面积的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性质．
14．（2022•钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于 　2　．
【考点】比例线段；分母有理化．菁优网版权所有
【专题】二次根式；图形的相似；运算能力．
【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
【解答】解：设a、b的比例中项为x，
∵a＝+1，b＝﹣1，
∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4
∴x＝＝2（舍去负值），
即a、b的比例中项线段等于2，
故答案为：2．
【点评】该题主要考查了比例中项等基本概念问题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的化简方法是解决问题的关键．
15．（2022•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 　　．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质可求出CD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，＝，
∴＝，即＝，
解得，CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16．（2022•河北区一模）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE，BE，BE交对角线AC于点F，连接FD交AE于点G，如果DF＝4，那么AB的长为 　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】先证明△ABF∽△CEF，得到EF与BF的数量关系，进而求得BE，设正方形的边长为a，再根据勾股定理列出a的方程求得结果便可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∵点E是CD的中点，
∴AB＝CD＝2CE，
∵，
∵正方形ABCD关于AC对称，
∴BF＝DF＝4，
∴EF＝2，
∴BE＝6，
设AB＝a，则BC＝a，CE＝a，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CE2＝BE2，
即，
解得a＝，
【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是应用相似三角形求得EF的长度．
17．（2022•高新区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点D在线段BC上，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，连接CE，若△CEF与△ABD相似，则BD的长为 　4﹣2　．

【考点】相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似．
【分析】根据等腰直角三角形的性质，易证△ABD∽△ACE，再根据△CEF与△ABD相似，可得△ECF∽△ACE，根据相似三角形的性质可知∠CEF＝∠CAE，易证∠CEF＝∠CDF，可得CD＝CE，设BD＝x，则CD＝CE＝2﹣x，根据相似三角形的性质可得BD：CE＝AB：AC＝：1，列方程即可求出BD的值．
【解答】解：∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，且AB：AC＝：1，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，且AD：AE＝：1，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∵△CEF与△ABD相似，
∴△ECF∽△ACE，
∴∠CEF＝∠CAE，
在△AEF和△DCF中，
∵∠AEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝∠DFC+∠CDF＝90°，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴∠EAF＝∠CDF，
∴∠CEF＝∠CDF，
∴CE＝CD，
设BD＝x，则CD＝CE＝2﹣x，
∵BD：CE＝AB：AC＝：1，
即x：（2﹣x）＝，
解得x＝4﹣2，
∴BD＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形与相似三角形的综合，根据相似三角形的性质证明CD＝CE是解题的关键．
18．（2022•长宁区二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的重心．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据三角形的重心的概念得到＝，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，根据三角形的中线的概念计算即可．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴＝，
∵GF∥AB，
∴＝＝，
∵AE是BC边上的中线，
∴EB＝EC，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
19．（2022•岳阳模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是⊙O上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且DE⊥CE，连接CD交AB于点F，①若∠ADC＝30°，⊙O的半径r＝2，则＝　　；②若tan∠ADC＝，则＝　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】①根据在同圆或等圆中同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍求得∠AOC，进而根据弧长公式求得结果；
②设AE＝x，由三角函数的定义用x表示CE、AC、DE、AD、BC、AB、OC，再证明△OCF∽△ADF，便可求得结果．
【解答】解：①∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴，
故答案为：；
②∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠OCE，
∴∠OCB＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝tan∠ACE＝，
∵DE⊥CE，
∴，
设AE＝x，则CE＝3x，DE＝3CE＝9x，
∴AD＝DE﹣AE＝8x，AC＝，
∴BC＝3AC＝3x，
∴AB＝＝10x，
∴OC＝AB＝5x，
∵∠OCE＝90°，DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴△OCF∽△ADF，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，弧长公式，解直角三角形，第（2）题的突破口是应用解直角三角形，用x表示出圆的半径和弦AD．
20．（2022•东至县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得△ADE，且点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F．
（1）求＝　　；
（2）当AB＝10时，CF＝　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；三角形；应用意识．
【分析】1）过点A作AG⊥BC于点G，由旋转的性质知Rt△ABC≌Rt△ADE，设AB＝a，则AC＝2a，AD＝AB＝a，AE＝AC＝2a，BC＝DE＝a，由Rt△ABC∽Rt△GBA，可得GB＝＝，BD＝2GB＝a可求结论；
（2）过A点作AM∥BC交DE于点M，由＝可解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

设AB＝a，则AC＝2a．
由旋转的性质知Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AD＝AB＝a，AE＝AC＝2a．
在Rt△ABC中，，
∵∠BAC＝90°，AG⊥BC，
∴Rt△ABC∽Rt△GBA，
∴，即，得．
∵AB＝AD，AG⊥BD，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图，

过A点作AM∥BC交DE于点M，
由（1）知，
∴．
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ABD＝∠ADM，
∵AM∥BC，
∴∠MAD＝∠ADB，△AMF∽△CDF，
∴∠MAD＝∠ADM，
∴AM＝DM．
∵∠MAD+∠EAM＝90°，∠ADM+∠E＝90°，
∴∠EAM＝∠E，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•钱塘区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结BE，OD，BE与OD交于点F．
（1）求证：OD∥AC．
（2）当∠ABE＝48°时，求∠CBE的度数．
（3）连结DE，若DE＝，AB＝4，求AE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝ODB，进而得出∠ODB＝∠C，即可证明OD∥AC；
（2）由圆周角定理得出∠AEB＝90°，结合∠ABE＝48°，得出∠BAC＝42°，再根据等腰三角形的性质即可求出∠CBE的度数；
（3）连接DE，由OD∥AC，O是AB的中点，得出D是BC的中点，由圆周角定理∠BEC＝90°，直角三角形的性质结合DE＝，得出BC＝2，继而证明△DEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出EC＝1，进而求出AE的长度．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝48°，
∴∠BAC＝42°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝69°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝69°﹣48°＝21°；
（3）解：如图，连接DE，

∵OD∥AC，O是AB的中点，
∴D是BC的中点，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴DE＝DC＝BC，
∴∠DEC＝∠C，
∵DE＝，
∴BC＝2，
∵AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴，即，
∴EC＝1，
∴AE＝AC﹣EC＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定方法，圆周角定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
22．（2022•滨江区一模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD＝CE，连接AD，BE交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若AE：EC＝5：3，求BP：PE的值；
（3）若点P恰好落在以AC为直径的圆上，求AE：EC的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，求出AE＝CD，根据SAS推出全等即可；
（2）过点E作EF∥AD交CD于F，根据平行线分线段成比例定理得，则DF＝CD＝a，即可得出；
（3）由（1）知：△ABE≌△CAD，则∠CAD＝∠ABE，根据三角形外角的性质可得∠APE＝60°，∠DPE＝120°，则∠DPE+∠DCE＝180°，C、D、P、E四点共圆，由点P恰好落在以AC为直径的圆上，可得∠DPC＝∠APC＝90°，则点P也落在以CD为直径的圆上，连接DE，则∠CED＝90°，∠CDE＝∠CPE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得＝2，即可得＝2．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵BD＝CE，
∴CD＝AE，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：过点E作EF∥AD交CD于F，

∴，
∵AE：EC＝5：3，
设AE＝CD＝5a，CE＝BD＝3a，
∴＝，
∴，
∴DF＝CD＝•5a＝a，
∵PD∥EF，
∴，
∴BP：PE的值；

（3）连接CP，

由（1）知：△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠APE＝∠BAP+∠ABP＝∠BAP+PAE＝60°，
∴∠DPE＝120°，
∴∠DPE+∠DCE＝120°+60°＝180°，
∴C、D、P、E四点共圆，
∵点P恰好落在以AC为直径的圆上，
∴∠DPC＝∠APC＝90°，
∴点P也落在以CD为直径的圆上，
∵∠APE＝60°，
∴∠CPE＝30°，
连接DE，则∠CED＝90°，∠CDE＝∠CPE＝30°，
∴＝2，
∵CD＝AE，
∴＝2．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键．
23．（2022•长宁区二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为AC的中点，OF交AC于点E，AC＝10，EF＝3．
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理可以求得OA的长；
（2）根据题意和相似三角形的判定方法可以得到△AEO∽△ADC，然后即可得到，再根据题目中的数据和（1）中的结果，即可得到OD的长．
【解答】解：（1）∵点F为AC的中点，
∴OF垂直平分AC，
∴∠AEO＝90°，
∴OA2＝OE2+AE2，
∵AC＝10，EF＝3，
∴AE＝5，
∵OA＝OF，
∴OE＝OF﹣EF＝OA﹣3，
∴OA2＝（OA﹣3）2+52，
解得OA＝；
（2）∵OF⊥AC于点E，AD⊥CD与点D，
∴∠AEO＝∠ADC＝90°，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∴，
∵OA＝，AE＝5，AC＝10，
∴，
解得AD＝，
∴OD＝AD﹣OA＝﹣＝＝，
即OD的长为．

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2022•遵义模拟）问题背景：已知∠GDH的顶点在边BC所在直线上（不与B，C重合），DG交AB所在直线于点E，DH交AC所在直线于点F，记△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2．
（1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB＝9，∠GDH＝∠A，且DG//AC，BD＝3时，S1•S2＝　　．
（2）类比探究：在（1）的条件下，沿BC方向平移∠GDH，使得BD＝6，如图2所示位置，则S1•S2＝　　．
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠C＝∠GDH＝β．
（Ⅰ）如图3，当点D在线段BC上运动时，设BD＝m，CD＝n，
①求证：△BDE∽△CFD
证明：∵∠2＝180°﹣∠GDH﹣∠1，∠3＝　∠180°﹣∠B﹣∠1　，∠GDH＝∠B
∴∠2＝∠3
∴∠B＝∠C
∴△BDE∽△CFD
②直接写出BE•CF＝　mn　，S1•S2＝　（mn•sinβ）2　（结果用含m，n，β的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图4，当点D在BC的延长线上运动时，设BD＝m，CD＝n，求S1•S2的表达式（结果用含m，n，β的三角函数表示）．


【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）先判断出∠BED＝∠CDF，得出△BDE∽△CFD，进而得出BE•CF＝BD•CD，进而求出BE•CF＝BD•CD＝18，过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，得出DM＝BD，DN＝CD，进而得出S1•S2＝BE•DM•CF•DN＝（BE•CF）（BD•CD），即可得出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）（Ⅰ）①利用等式的性质，判断出∠2＝∠3，即可得出结论；
②同（1）的方法得出BE•CF＝BD•CD＝mn，过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，进而得出DM＝BD•sinB＝BD•sinβ，DN＝CD•sinC＝BD•sinβ，进而得出S1•S2＝（BE•CF）（BD•sinβ•CD•sinβ），即可得出结论；
（Ⅱ）同（Ⅰ）②的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵∠GDH＝∠A，
∴∠CDE＝∠GDH+∠CDF＝∠A+∠CDF＝60°+∠CDF，
∵∠CDE＝∠B+∠BED＝60°+∠BED，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
∴BE•CF＝BD•CD，
∴AB＝9，BD＝3，
∴CD＝AB﹣BD＝6，
∴BE•CF＝BD•CD＝18，
过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，
∴DM＝BD•sinB＝BD×sin60°＝BD，
DN＝CD•sinC＝CD
∴S1•S2＝BE•DM•CF•DN
＝（BE•CF）（DM•DN）
＝（BE•CF）（BD•CD）
＝（BE•CF）（BD•CD）
＝×18×18
＝，
故答案为：；

（2）如图2，
同（1）的方法得，BE•CF＝BD•CD＝6×（9﹣6）＝18，
S1•S2＝（BE•CF）（BD•CD）
＝（BE•CF）（BD•CD）
＝×18×18＝，
故答案为：；

（3）（Ⅰ）如图3，
①证明：∵∠2＝180°﹣∠GDH﹣∠1，∠3＝∠180°﹣∠B﹣∠1，∠GDH＝∠B，
∴∠2＝∠3，
∴∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
故答案为：∠180°﹣∠B﹣∠1；
②由①知，△BDE∽△CFD，
∴，
∵BD＝m，CD＝n，
∴BE•CF＝BD•CD＝mn，
过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，
∴DM＝BD•sinB＝BD•sinβ，
DN＝CD•sinC＝BD•sinβ，
∴S1•S2＝（BE•CF）（BD•sinβ•CD•sinβ）
＝（BE•CF）（BD•CD）•sin2β
＝mn•mn•sin2β
＝（mn•sinβ）2，
故答案为：mn，（mn•sinβ）2；

（Ⅱ）如图4，

②由①知，BE•CF＝BD•CD＝mn，
过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF交AC的延长线于N，
∴DM＝BD•sin∠ABC＝BD•sinβ，
DN＝CD•sin∠ACB＝BD•sinβ，
∴S1•S2＝（BE•CF）（BD•sinβ•CD•sinβ）
＝（BE•CF）（BD•CD）•sin2β
＝mn•mn•sin2β
＝（mn•sinβ）2．



【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形和等腰三角形的性质，三角函数，三角形的面积等知识，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键．
25．（2022•沈河区校级模拟）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，延长AB到G，使BG＝AB．AH⊥BC，垂足为D，且AH＝GH，点F在线段AG上（不与点A，G重合），点K在射线AC上（不与点A，C重合），满足GF＝AK，连接FK，与BC交于点E，连接EH．

（1）如图1，猜想线段EF与EH的位置关系，并进行证明；
（2）如果∠BAC＝120°，AB＝3BF，求的值，请直接写出结果．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接HF、HK，过F作FK∥AC，与CB的延长线交于点M，证明△HGF≌△HAK得HF＝HK，再证明△EFM≌△EKC得EF＝EK，再根据等腰三角形的性质得结论；
（2）过点F作FM⊥BC，与CB的延长线交于点M，过点K作KN⊥BC于点N，证明△MEF≌△NEF，得EM＝EN，FM＝KN，再证明△MBF＝△NCK，得BM＝CN，设BF＝x，则CK＝x，AB＝AC＝3x，用x表示BC、EN、BE、EF便可求得结果．
【解答】解：（1）EF⊥EH．
理由如下：
连接HF、HK，过F作FK∥AC，与CB的延长线交于点M，如图，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠HAG＝∠HAK，
∵GH＝AH，
∴∠HGF＝∠HAG＝∠HAK，
∵FG＝KA，
∴△HGF≌△HAK（SAS），
∴HF＝HK，
∵AB＝AC＝BG，FG＝AK，
∴BF＝CK，
∵FM∥CK，
∴∠M＝∠ACD，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠MEF，
∴∠M＝∠MEF，
∴BF＝MF，
∴MF＝CK，
∵∠M＝∠ECK，∠MEF＝∠CEK，
∴△EFM≌△EKC（AAS），
∴EF＝EK，
∵HM＝HK，
∴EF⊥EH；
（2），理由如下：
过点F作FM⊥BC，与CB的延长线交于点M，过点K作KN⊥BC于点N，

则∠M＝∠ENK＝90°，
∵∠MEF＝∠NEK，EF＝EK，
∴△MEF≌△NEF（AAS），
∴EM＝EN，FM＝KN，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠MBF＝∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠M＝∠CNK＝90°，
∴△MBF＝△NCK（AAS），
∴BM＝CN，
∴MN＝BC，
设BF＝x，则CK＝x，AB＝AC＝3x，
∵∠BAC＝120°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴BD＝CD＝x，
∴BC＝3x，
∴EN＝，
∵KN＝，CN＝＝，
∴BE＝BC﹣EN﹣CN＝x，
EF＝EK＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是构造全等三角形．
26．（2022•雁塔区校级四模）问题探究
（1）如图①，点B，C分别在AM，AN上，AM＝18米，AN＝30米，AB＝4.5米，BC＝4.2米，AC＝2.7米，求MN的长．
问题解决
（2）如图②，四边形ABCD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分，已知AB＝60米，四边形ABCD的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在AC，BC边上分别确定点E，F，在AB边上确定点P，Q，使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时花卉种植区域的面积．


【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；图形的相似．
【分析】（1）先证明△ABC∽△ANM，根据相似三角形的性质即可求出MN；
（2）根据题意，求出△ABC中AB边上的高，再证明△CEF∽△CAB，根据相似三角形的性质，表示出FP，根据勾股定理，表示出FQ2，根据二次函数的性质求出FQ的最小值以及取得最小值时的x的值，进一步求出EF，FP，即可求出花卉种植区域的面积．
【解答】解：（1）∵AM＝18米，AN＝30米，AB＝4.5米，AC＝2.7米，
∴AB：AN＝，AC：AM＝，
∴AB：AN＝AC：AM，
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△ABC∽△ANM，
∴BC：MN＝，
∵BC＝4.2米，
∴MN＝28米；
（2）根据题意，可知△ABC的面积为1200平方米，
∵AB＝60米，
设△ABC中AB边上的高为h米，EF＝x米，
则＝1200，
解得h＝40，
∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥AB，
∴∠CFE＝∠CBA，∠CEF＝∠CAB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EF：AB＝（h﹣FP）：h，
即x：60＝（40﹣FP）：40，
∴FP＝40﹣，
根据勾股定理，得FQ2＝＝，
当x＝﹣＝时，FQ2最小，也即FQ最小，
FQ的最小值为米，
此时EF＝米，FP＝米，
∴花卉种植区域的面积为×＝（平方米），
故FQ的最小值为米，此时花卉种植区域的面积为平方米．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，涉及二次函数的图象和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
27．（2022•新泰市一模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF，若CF＝，求BE的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，求DE的长．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠DAE＝∠CAB＝45°，AB＝AC，AE＝AD，根据两边对应成比例且夹角相等可得△ABE∽△ACD；
（2）根据条件，证明△EDB∽△FDC，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）连接AC，过点E作EM⊥AD于点M，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠CAB＝45°，且AB＝AC，AE＝AD，
∴∠DAC＝∠EAB，，
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：如图2，连接BD，

∵∠BED＝45°，DF⊥BE，
∴∠EDF＝∠BED＝45°，
在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDC＝45°+∠FDB，，
∴△EDB∽△FDC，
∴，
∵CF＝，
∴BE＝CF＝2；
（3）解：如图3，连接AC，过点E作EM⊥AD于点M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠DAC＝45°，，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠EAG＝90°，∠EAF＝45°，，
∵∠EAD＝∠EAF﹣∠DAF，∠FAC＝∠DAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠GAB，∠EAD＝∠FAC，，
∴△ACF∽△ADE，
∴＝，∠ADE＝∠ACF＝45°，
∵EM⊥AD，
∴EM＝DM，
设DM＝EM＝x，则DE＝x，CF＝DE＝2x，
∵S四边形AEDF＝S△ADE+S△ADF＝5，
∴x（2x+1）+×1×（2x+1）＝5，
∴2x2+3x﹣9＝0，解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝，
∴DE＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的的性质．
28．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在矩形ABCD中，已知AD＝6，CD＝6，点H是矩形ABCD的边AB延长线上一点，连接CH，过顶点A作AG⊥CH，垂足为G，AG交边CB于点E．
（1）求证：△CGE∽△ABE；
（2）连接BG，求∠AGB的度数；
（3）作点B关于直线CH的对称点F，连接BF，FG．猜想线段AG，CG，BF之间的数量关系，并说明理由．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据两个角相等可证明结论；
（2）连接AC，可知点A、B、G、C四点共圆，得∠AGB＝∠ACB，再利用tan∠DAC＝，得∠DAC＝60°，可得答案；
（3）作BM⊥BG，交AG于M，由（2）知∠AGB＝60°，得GM＝2GB，再证明△BGF是等边三角形，则GM＝2BF，再说明△BAM∽△BCG，得，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠CGE＝90°，
∴∠ABC＝∠CGE，
∵∠CEG＝∠AEB，
∴△CGE∽△ABE；
（2）解：连接AC，

∵∠ABC＝∠CGE＝90°，
∴点A、B、G、C四点共圆，
∴∠AGB＝∠ACB，
∵AD＝6，CD＝6，
∴tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AGB＝60°；
（3）解：AG＝CG+2BF．
理由如下：作BM⊥BG，交AG于M，

由（2）知∠AGB＝60°，
∴∠GMB＝30°，
∴GM＝2GB，
∵点B关于直线CH的对称点F，
∴GB＝GF，∠BCF＝2∠BGH＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴GM＝2BF，
∵∠AMB＝∠CGB＝150°，∠BCG＝∠BAM，
∴△BAM∽△BCG，
∴，
∴AM＝CG，
∴AG＝CG+2BF．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造△BAM∽△BCG是解决问题（3）的关键．
29．（2022•朝阳区校级一模）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容．
例3已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
求证：△ADE∽△EFC．
[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程．
[拓展探究]
（1）如图②，在△ABC中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作DE∥AC，DF∥BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC＝6，BC＝9．则四边形DECF的周长是 　　；
（2）如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC＝3：2，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△AMB的面积为 　12　．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】[问题解决]由平行线的性质得出∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，则可得出答案；
[拓展探究]（1）D是边AB的四等分点且靠近点B，得出AB＝3AD，求出CE和CF的长；则可求出答案；
（2）过点P作PH∥AC交BN于点H，证明△PMH≌△AMN（AAS），由全等三角形的性质得出MH＝MN，求出S△ABM＝4S△AMN＝12，则可求出答案．
【解答】[问题解决]
证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠A＝∠FEC，
∴△ADE∽△EFC．

[拓展探究]
（1）解：如图②，若D是边AB的三等分点，且AB＝4AD，
∵DF∥BC，
∴＝，
∴，
∴AF＝，
∴CF＝AC﹣AF＝，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴CE＝，
∵DF∥BC，DE∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴四边形DECF的周长为2（CE+CF）＝2×（+）＝；
故答案为：；

（2）如图③，过点P作PH∥AC交BN于点H，

∵PH∥AC，
∴∠PHM＝∠ANM，
∵∠PMH＝∠AMN，AM＝PM，
∴△PMH≌△AMN（AAS），
∴MH＝MN，
∵PM∥CN，BP：PC＝3：2，
∴＝，
∴＝＝4，
∴S△ABM＝4S△AMN＝12，
故答案为：12．

【点评】本题是相似形综合题，考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
30．（2022•温江区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AD，若∠BAC＝α，将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到线段AE，连接CE和DE，AC与DE交于点F．
（1）求证：△ABD∽△DCF；
（2）若α＝120°，点D在BC边上运动的过程中，求的最小值；
（3）试探究AC、CD、CE之间满足的数量关系（用含α的式子表示），并证明．


【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）先判断出∠B＝∠ACB＝90°﹣α，再判断出∠ADE＝90°﹣α，进而判断出∠BAD＝∠CDF，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ACE＝∠B＝∠ACB＝30°，BD＝CE，进而得出＝，取BC的中点M，连接AM，设AB＝AC＝2m，BD＝x，进而得出AM＝m，BM＝CM＝m，DM＝|x﹣m|，进而得出AD2＝﹣x2+2mx，即可求出答案；
（3）取BC的中点M，同（2）的方法得出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再表示出∠CAM＝α，CM＝CE+CD），即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠B＝∠ACB＝90°﹣α，
∵AD＝AE，∠DAE＝α，
∴∠ADE＝90°﹣α，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE，
∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF；

（2）解：如图2，∵α＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝∠ACB＝30°，BD＝CE，
∴∠DCE＝60°，∠DAE＝120°，
∴＝＝＝，
取BC的中点M，连接AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
设AB＝AC＝2m，BD＝x，
∵α＝120°，
∴AM＝m，BM＝CM＝m，DM＝|x﹣m|，
∴AD2＝AM2+DM2＝m2+（x﹣m）2＝x2﹣2mx+4m2，CD•BD＝（2m﹣x）x＝﹣x2+2mx，
∴＝﹣1+，
∵0＜x＜2m，
∴当x＝m时，的最小值为﹣1+＝；

（3）解：2sin•AC＝CE+CD．
证明：如图2，取BC的中点M，
∵∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∵M为BC的中点，
∴∠CAM＝α，CM＝BC＝（BC+CD）＝CE+CD），
在Rt△ACM中，sin＝＝，
∴2sin•AC＝CE+CD．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，得出＝是解（2）的关键．

考点卡片
1．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
10．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
13．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
14．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
16．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
17．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
19．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
20．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
23．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
24．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
25．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
26．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
27．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
28．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
31．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
32．相似形综合题
相似形综合题．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）