浙教版数学复习阶梯训练：二次函数含解析（提高训练）

 二次函数 （提高训练）

一、单选题

1．如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　）

A． B．

C． D．或

2．已知二次函数的图象经过原点，则a的值为（　　）

A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定

3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正确的个数是（　　） 

A．2 B．3 C．4 D．5

4．将抛物线 向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（　　） 

A． B．

C． D． .

5．函数，当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（　　）

A．－3 B． C． D．3

6．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表： 

则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（　　）

A．﹣45 B．﹣20 C．﹣4 D．0

7．已知二次函数 （其中m＞0），下列说法正确的是（　　） 

A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大

B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小

C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则

D．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则

8．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：

①；②；③；④；⑤.

正确的是（　　）

A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤

9．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（　　）

A． B．

C． D．

10．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（　　）

A．55 B．56 C．57 D．58

二、填空题

11．二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（0，1）和C（－1，0）

（1）若函数图象的对称轴是x＝－1，则函数解析式为　          　

（2）当a＝－2时，作直线x＝h（h＞0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，当PQ＝QD时，h＝　     　

12．如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长），并在图中所示位置开2m的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共66m，设饲养室的长为x（m），占地面积为y（m2），请列出y关于x的函数关系式：　                　.（不用写x的取值范围）

13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，)图象上的最低点是　         　.

14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，虚线为其对称轴，有下列结论：①abc<0；②b2-4ac<0；③4a+2b+c<0；④若点（-2，y1），（15，y2）均在抛物线上，则y1<y2.其中正确的有　     　个.

15．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是　     　.

16．若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为　     　. 

三、计算题

17．求不等式﹣x2﹣6x＋16＞0的解集．

18．   

（1）解方程：2x2+1＝3x；

（2）将二次函数 配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 

四、综合题

19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，且，，同时交反比例函数在第一象限的图象于点，反比例函数图象上的点P的纵坐标，轴交直线AB于点Q，D是x轴上任意一点，连接PD，QD．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△PDQ面积的最大值．

20．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．

21．某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/千克）与时间×（天）之间的函数关系式为：y= ，且×为整数，且日销量m（千克）与时间×（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 

（1）求m与×的函数关系式；

（2）当1≤×≤20时，最大日销售利润是多少？

（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元？

答案解析部分

【解析】【解答】 抛物线经过原点，

令 ，则 ，解得 ；

由图可知，抛物线的开口向下，

，

抛物线．

故答案为：A

【分析】先求出，再求出，最后求抛物线的解析式即可。

【解析】【解答】解：的图象经过原点，

把代入函数解析式可得：

或

或

又由二次函数可得：

故答案为：

【分析】先求出再求出或 最后求解即可。

【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣   ＝1，

∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），

∴x＝﹣2时，y＜0，

∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误；

∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），

∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；

∵x＝﹣1时，y＝0，

∴a﹣b+c＝0，

而b＝﹣2a，

∴c＝﹣3a，

∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，

即b＜c，所以⑤正确.

故答案为：B.

【分析】由图象可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在x轴上方，据此可得a、b、c的正负，进而判断①②；根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，根据x=-2对应的函数值为负可判断③；根据抛物线与x轴的交点可判断④；根据x=-1对应的函数值为0可得a-b+c＝0，结合b＝-2a可得c＝-3a，据此判断⑤.

【解析】【解答】解：∵将抛物线y=x2-2x-1向上平移1个单位，

∴平移后抛物线的表达式y=x2-2x-1+1，即y=x2-2x.

故答案为：A.

【分析】二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m.

【解析】【解答】解：当与时，函数值相等，

与   的函数值相等，

当   时，   ，

当   时，   .

故答案为：D.

 【分析】由题意可得x=2022与x=0的函数值相等，令x=0，求出y的值，据此解答.

【解析】【解答】解：由表中数据得到对称轴为直线x＝ ， 

∴当x＜   时，y随x的增大而增大，当x＞   时，y随x的增大而减小，

∴x＝﹣2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝   时，y＝5，

∴二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是﹣20，

故答案为：B.

 【分析】由表中数据得到对称轴为直线x＝  ，根据二次函数性质可知，当x＜ 时，y随x的增大而增大，当x＞  时，y随x的增大而减小，再由-2≤x≤2，当x=-2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝  时，y＝5，即可求出二次函数的最小值.

【解析】【解答】解：在y＝（x﹣ ）（mx﹣4m）中，令y＝0得x＝  或x＝4， 

∴抛物线的对称轴是直线x＝   ＝2+   ，

∵m＞0，

∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，

∴若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则  

故答案为：D.

 【分析】根据二次函数两根式求出与x轴交点的横坐标，即x＝  或x＝4，可求出抛物线的对称轴为x=2+，再根据m＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则，即可求出正确结论.

【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线交y轴于正半轴，

∴c＞0，

∵−   ＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①正确，

∵x＝−2时，y＜0，

∴4a−2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故②正确，

∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（−1，0）和（m，0），

∴−1×m＝   ，am2＋bm＋c＝0，

∴，

∴，故③正确，

∵−1＋m＝−   ，

∴−a＋am＝−b，

∴am＝a−b，

∵am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c

＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b

＝2a−2b＋a＋b

＝3a−b＜0，故④正确，

∵m＋1＝   ，

∴m＋1＝   ，

∴|am＋a|＝   ，故⑤正确.

故答案为：C.

 【分析】由图象可知：抛物线开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，进而判断①；根据x=-2对应的函数值为负可判断②；根据图象与x轴的交点坐标结合根与系数的关系可得−1×m＝，am2＋bm＋c＝0，进而判断③；根据根与系数的关系可得-1＋m＝-，则am=a−b，据此判断④；结合求根公式表示出m+1，进而判断⑤.

【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．

故答案为：B．

【分析】分类讨论投篮线路经过A、B、C、D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。

【解析】【解答】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，

即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，

故答案为：A．

【分析】设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意列出函数解析式  ，再利用二次函数的性质求解即可。

【解析】【解答】解：（1） 二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（0，1）和C（－1，0），函数图象的对称轴是x＝－1，

，解得 ，

函数解析式为，

故答案为：．

（2）设直线AC：，

把点A（0，1）和C（－1，0）代入得， ，

解得，

直线AC：，

二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（0，1）和C（－1，0），a＝－2，

，解得

函数解析式为，

直线x＝h（h＞0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，

，，，

PQ＝QD，

∴，

解得：（舍去），

故答案为：．

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AC和二次函数解析式，再求出点P、Q、D的坐标，根据PQ＝QD列方程，解之即可。

【解析】【解答】解：∵设饲养室的长为x（m），

∴饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，

∴饲养室的宽是   ＝（34﹣   x）m，

∴y＝（34﹣   x）•x＝﹣   x2+34x.

故答案为：y＝﹣   x2+34x.

 【分析】设饲养室的长为x（m），则饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，宽用的材料是（34﹣  x）m，根据矩形面积=长×宽，可得y=（34﹣x）•x，整理即可求得y与x的函数关系式.

【解析】【解答】解：根据题意得：该函数为，

∵

∴当   时，有最小值，最小值为   ，

即E(x，   )图象上的最低点是（1，2）.

故答案为：（1，2）.

 【分析】根据题意得：该函数为y=x2-2x+3，将其化为顶点式，据此可得最低点的坐标.

【解析】【解答】由图可知，图象开口向下，所以a<0，c>0，又因为对称轴x=-<0，所以b<0，可得abc>0，所以①错误；由图可知，二次函数图象与x轴有两个交点，所以b²-4ac>0，②错误；当x=2时，y=4a+2b+c，由图象可知此时y<0,所以③正确；由图可知，二次函数对称轴x<-0.5，所以点(-2，）关于对称轴的对称点在对称轴右侧，在点(15，）的左侧，可知>，所以④错误。故其中正确的结论有1个。
【分析】本题考查二次函数图象的性质，注意结合图形进行分析。

【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），

所以a2-1=0，解得a=±1，

∵图象开口向下，a＜0，

∴a=-1.
故答案为：-1.

 【分析】由图象可知：抛物线经过原点（0，0），代入y=ax2-3x+a2-1中可得a的值，然后结合图象开口方向即可确定出a的值.

【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象经过点 ，

∴ ，

故答案为：10.

【分析】将点P的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.

【解析】【分析】设，先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合图象求出答案即可。

【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）将二次函数的一般式配方求解即可。

【解析】【分析】（1）先求出A（-4,0），利用待定系数法求出一次函数的关系式为，把C（a,5）代入解析式中求出a值即得点C坐标，再将点C坐标代入中求出m值即可；
（2）由点P在反比例函数图象上，可得P（，） ，由于PQ∥x轴可得Q（，） 从而求出 ，继而得出 ，根据二次函数的性质即可求解.

【解析】【解答】(1)根据题意得：y=300-10（x-44）=﹣10x+740，

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣10x+740（44≤x≤52）；

【分析】（1）根据题意写出函数关系式和自变量取值范围
（2）根据利润=销售量×（销售价-进价），代入（1）中的销售量，根据函数的性质求得最大利润和销售单价
（3）利用（2）中利润的函数，根据题意求出单价取值范围。

【解析】【分析】（1）由表中知一次函数通过点（1，142）和（3，138），设一次函数关系式为m=kx+b，将点代入解析式，列出方程组解得k和b，即可求出m与x的函数关系式；
（2）根据总利润=销量×一件产品利润，可列出现关系式为W=（-2x+144）（0.25x+30-20），整理得W=   （x-16）2+1568，由   ＜0，当1≤×≤20时，代入x=16，即可求出W的最大值；
（3）分两种情况讨论：①1≤×≤20时，由（2）知W=（x-16）2+1568，令W=1550，即1550=（x-16）2+1568，解得x=10或x=22，再由＜0，对称轴x=16，根据二次函数增减性可得当W≥1550时，10≤×≤20，共11天；②20<x≤40时，w=（-2x+144）（35-20）=-30x+2160，再令W=1550，即1550=-30x+2160，解得x=，再由-30＜0，根据一次函数增减性可得当W≥1550时， 20＜x≤，无整数解，即0天. 据此分析即可求出在未来40天中，销售利润不低于1550元的天数.