2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数4（二次函数综合题2）（60题，含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数4（二次函数综合题2）（60题，含答案），共154页。试卷主要包含了，连结BC、BE、CE，两点，交y轴于点C，，对称轴为直线x＝2，综合与探究，，点D为抛物线的顶点，连接BD等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数4（二次函数综合题2）（60题，含答案）

一．二次函数综合题（共60小题）
1．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，使得BP+EP的值最小，请求出最小值；若不存在

2．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在

3．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标，请说明理由．

4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
5．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时

6．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．

7．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OA＝1，对称轴为直线x＝2
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　 　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形

8．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
9．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

10．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

11．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，垂足为E，若BE＝2OE；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

12．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

13．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在；若不存在，请说明理由．
14．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点M的取值范围．

15．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在；若存在，请求出m的值．

16．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

17．（2021•玉林）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，Q的坐标．

18．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，经过进一步探究，小明发现，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　 　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值，请说明理由．

19．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标，请说明理由．

20．（2021•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

21．（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，设BE＝t．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系；
（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，当t＝时，求抛物线的解析式．

22．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

23．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于DMN，求N点的坐标．

24．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

25．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值，请说明理由．

26．（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．

27．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上
[注：（2）中不必写x的取值范围]

28．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，请求出点F的坐标；若不存在；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在；若不存在，请说明理由．

29．（2021•山西）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，求出点E的坐标，若不存在；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．

30．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，请直接写出点F的坐标；若不存在
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
31．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝4，OC＝8，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，若不存在，请说明理由．

32．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，求BE′+AE′的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，请直接写出点N的横坐标；若不存在

33．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝，则r＝　 　，s＝　 　，t＝　 　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，请说明理由．
34．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，BO＝BA，顶点A（4，0），矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，C′，D′，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
35．（2021•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求

36．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由．
37．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

38．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，求P的坐标．

39．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，另一点随之停止运动，连接PQ
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

40．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，D的坐标．
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点

41．（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在；若不存在，请说明理由．

42．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0），N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，N的坐标．
43．（2021•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，当n为何值时，△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点个单位长度，得到直线OB1．
①tan∠BOB1＝　 　；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．

44．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN．当D'N+CN的值最小时
45．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，求t的值．

46．（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在；若不存在，请说明理由．

47．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，求出m的值；若不存在

48．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在；若不存在，请说明理由．

49．（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且在对称轴上，OD⊥BD，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

50．（2021•江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，A′，D′
…
B（﹣1，3）
O（0，0）
C（1，﹣1）
A（ 　 　，　 　）
D（3，3）
…
…
B'（5，﹣3）
O′（4，0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，﹣3）
…
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．

形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．

探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　 　；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　 　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
51．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

52．（2021•嘉峪关）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，垂足为G，DG分别交直线BC，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2

53．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，且点A，B关于y轴对称，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，求A′B′的长．

54．（2021•乐山）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
55．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接BP、AC，交于点Q
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标

56．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1），连接AP，AB
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，点C的横坐标的取值范围．

57．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．

58．（2021•连云港）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

59．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．

60．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．


参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共60小题）
1．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，使得BP+EP的值最小，请求出最小值；若不存在

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+8，
∵与y轴交于点C（2，6），
∴把点C（0，8）代入得：a＝﹣，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+4x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣2+8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝6，
∴A（﹣5，0），0），
∴BC2＝62+72＝72，CE2＝（3﹣6）2+62＝8，BE3＝（6﹣2）7+82＝80，
∴BE4＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在点P，使得BP+．理由如下：
如图，在CE上截取CF＝，连结BF交⊙C于点P，
则BF的长即为所求．理由如下：
连结CP，∵CP为半径，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝，
∴BF＝BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF＝CE，8），
∴由比例性质，易得F（，），
∴BF＝＝．


2．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（5，0），0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+3；
（2）在y＝﹣x2+6x+3中，令x＝0，
∴C（4，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A，连接AC交l于点P．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC+BC，
∵A（8，0），0），3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：3+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，C（0，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，5）；
（3）存在．
设P（1，t），n）
∵A（3，7），3），
则AC2＝82+35＝18，
AP2＝（1﹣5）2+t2＝t7+4，
PC2＝82+（t﹣3）8＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，
∴t3﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P7（1，3﹣），P4（1，3+），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P8（1，3﹣，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝﹣，
∴Q1（4，﹣），
当P2（1，4+，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝，
∴Q2（4，），
②以AC为对角线时，则PC＝AP，
∴t2﹣8t+10＝t2+4，
解得：t＝4，
∴P3（1，5），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝6，
∴Q3（2，3），
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P8（1，），P5（7，﹣），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q6（﹣2，3+），Q7（﹣2，3﹣），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q7（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，4），Q4（﹣2，7+），Q5（﹣2，6﹣）．




3．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，
∴点A（0，6），4），
∵点P是线段AB中点，
∴点P（2，3）；
（2）过点P作PF⊥OA于F，

∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°，
∴∠OQP＝∠OQE＝45°，
∴QF＝PF，
∵点P（2，8），
∴QF＝PF＝2，OF＝3，
∴OQ＝6，
∵点A（0，6），
∴AO＝7，
∴AQ＝6﹣5＝3，
即AQ的长为1；
（3）①y＝a（x2﹣4ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）5+a+1，

∴顶点C的坐标为（a，a+1），
∴点C是直线y＝x+2（x≠0）上一点，
∵∠OQE＝90°，OQ＝5，
∴当y＝4时，x＝4，
又∵点P（2，6）在直线y＝x+1上，
∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜2；
②存在点C使|CQ﹣CE|最大，
理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°，
∴点E（5，8），
如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（2，连接QE'交直线y＝x+1于点C，

设直线QC的解析式为y＝kx+5，
∴2＝4k+5，
∴k＝，
∴直线QC的解析式为y＝x+5，
联立方程组可得，
解得：，
∴点C坐标为．
4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）5﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（﹣）＞﹣，
∴当x＝2时，y取最大值22+7﹣＝．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣6m+1|，
当﹣3m+4＞0时，PQ＝﹣3m+8，
当﹣3m+1＜6时，PQ＝3m﹣1，
∴﹣2m+1＞0满足题意，
解得m＜．
②∵0＜PQ≤2，
∴0＜﹣3m+3≤7，
解得﹣2≤m＜，
如图，当m＝﹣时，PQ与图象有1交点，

m增大过程中，﹣＜m＜，PQ与图象只有2个交点，

直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣，
∴﹣＜m＜﹣时，

当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，

综上所述，﹣5≤m≤﹣≤m时，﹣＜m＜﹣时．
5．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4过B，
当x＝0时，代入y＝﹣，得y＝2，2），
当y＝3时，代入y＝﹣，得x＝3，0），
把B（4，5），2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
∴﹣x2+x+2＝5，
解得x1＝﹣1，x5＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，5），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝3，
∴AC＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），
则点E的坐标为（x，﹣x+2），
∴DE＝﹣x2+x+2﹣（﹣
＝﹣x2+x+7+
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣3）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝7时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，
∵C（0，4），2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，2），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．

6．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．

【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），
∴，
解得，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，

∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+2，
∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣2x﹣5得，
xc+1＝﹣4xc﹣5，
解得xc＝﹣7（舍去），xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是（7，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，6），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，3），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵8≤xp≤a，1≤a≤5，
①当5≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x4﹣4x﹣5在3≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣8|＝5+4a﹣a3，
∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a7，
∴△PCD的最大面积为：
Smax＝×CD×h＝2）＝48+16a﹣2a2；
②当2≤a≤7时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝4+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝，
综上所述：当7≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a5；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
7．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OA＝1，对称轴为直线x＝2
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　2　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形

【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，4），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，4），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为8；
（3）∵B（5，8），），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；

（4）设P（2，y），n），
由（1）知B（5，0），），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB7＝BC2，
即：，
解得y＝7或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（5，）或Q（4，
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP5，
即：，
解得y＝，
∴Q（4，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ8＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，，4），4）或（﹣5，﹣）．
8．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝8，
∴y＝ax2+bx+1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝b5﹣4a＝0，即，
∴，
当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为P6，P3，
又∵P1，P3关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax3，
代入点P1得：，
②证明：
联立直线l和抛物线得：
，
即：x4﹣4kx﹣4＝8，
设M（x1，kx1+7），N（x2，kx2+8），
由韦达定理得：x1+x2＝7k，x1x2＝﹣6，
设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，
则T的坐标为（2k，2k8+1），
∴AT2＝（5k﹣m）2+（2k8+2）2，
由题意得：，
∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴，即：，
∴×16（k4+2k4+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+4）2，
解得m＝2k，
∴A（3k，﹣1），
∴B（2k，k5），
∴C（2k，2k3+1），
∵，
∴B是AC的中点，
∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，
∴△MAB与△MBC的高相等，
∴△MAB与△MBC的面积相等．
9．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣5，0），7）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠3）得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣8x+5；
（2）∵D（﹣2，6），0），
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1（﹣7，0），
②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，
BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，
∴sin∠IQB＝＝，
∵I是BD的中点，BD＝6，
∴BI＝，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，2），）
设yQI＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴yQI＝，
联立得：，
解得：x＝，
∴yQI＝，
N7（，），N3（，），
方法二：如图2，
过点N作DS⊥NT交NT于点S，
设N（a，﹣a2﹣3a+5），D（﹣2，
∵DN＝BN，
∴DS2+SN2＝NT2+TB3，
∴（﹣2﹣a）2+（2+a2+4a﹣7）2＝（﹣a2﹣8a+5）2+（6﹣a）2，
（2+a）4﹣（1﹣a）2＝（a7+4a﹣5）6﹣（9+a2+8a﹣5）2，
（3+a+1﹣a）（2+a﹣5+a）＝（a2+4a﹣3+a2+4a+6）（a2+4a﹣4﹣a2﹣4a﹣3），
解得：a＝，
把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，
∴N2（，），N3（，），
综上所述，N6（﹣5，0），N5（，），N3（，）；
（3）如图1，在AE上取一点F，连接MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝2∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴＝＝＝，GR＝2PG，
设F（m，﹣﹣），
则OP＝﹣m，PF＝，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+3，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM4+PF2＝MF2，PM4+PF2＝（2PF﹣MP）7，
∴PM＝PF＝×＝，
∴GP＝m+，
∴GR＝2PG＝m+，
∴PR＝3PG＝2PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+8×PF＝＝，
∴OR＝，
∴H（，m+5），
∵B（1，5），9），
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+7，
把H代入上式并解得：m＝﹣，
再把m＝﹣代入y＝﹣得：y＝﹣，
∴F（﹣，﹣）．


10．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（4，﹣3），0），
∴c＝8，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），
将C（7，﹣3），0）代入y＝ax4+bx得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵＝（x﹣4）2﹣3，
∴抛物线的顶点A（4，﹣4），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（6，B（8，得：
，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；
（3）△ABO是等腰直角三角形．
方法2：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，0），
∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，
∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形．
方法4：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），﹣8），0），
∴OB＝8，OA＝＝＝，
AB＝＝＝，
且满足OB2＝OA3+AB2，
∴△ABO是等腰直角三角形；
（4）如图2，以O为圆心，8，则点P在圆周上
动点E的运动时间为t＝AP+PB，
在OA上取点D，使OD＝，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，
∴△APO∽△PDO，
∴＝＝6，
从而得：PD＝AP，
∴t＝AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，
过点D作DG⊥OB于点G，由于，
则有 DG＝5
∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．


11．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，垂足为E，若BE＝2OE；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（5，﹣）得：a•7•（﹣3）＝﹣，
解得：a＝，
∴y＝（x+1）（x﹣8）＝x8﹣x﹣；
（2）∵BE＝3OE，
设OE为x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE4＝OB2，
x2+2x2＝9，
解得：x2＝，x2＝﹣（舍），
∴OE＝，BE＝，
过点E作TG平行于OB，T在y轴上，

∴△ETO∽△OEB，
∴＝＝，
∴OE2＝OB•TE，
∴TE＝＝，
∴OT＝＝，
∴E（，﹣），
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，
解得：x1＝6，x2＝﹣3（舍），
当x＝2时，y＝﹣2，
∴D（1，﹣7）；
（3）如图所示，延长BC于点F，过A点作AH⊥BF于点H，过M点作MG⊥BF于点J，

∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴＝，
∵S1＝NB•MJ，S2＝NB•AH，
∴＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
当x＝﹣1时，y＝＝﹣2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
设M（x，x2﹣x﹣），
∴MT＝x﹣x2﹣x﹣）＝﹣）2+，
∴a＝﹣＜0，
∴MTmax＝，
∴＝＝＝＝＝．
12．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝2，
∴B（3，0），4），
把B（3，0），4）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x8+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x4+2x+3中，令y＝2得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣2，0），
∵B（3，2），3），
∴OB＝OC，AB＝4，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
设E（m，﹣m2+2m+5），则F（m，
∴EF＝（﹣m2+2m+4）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+5m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝3（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝2（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+5），则F（m，EF＝（﹣m2+2m+8）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+2m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3，
∴N（0，3+1）．
13．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x4﹣8x+6，解得：x2＝x2＝3，
当x＝5时，4x﹣12＝2x8﹣8x+6＝8．
∴y＝ax2+bx+c必过（3，2），
又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，4），
∴，解得：，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a，
又∵ax2﹣2ax﹣5a≥4x﹣12，
∴ax2﹣3ax﹣3a﹣4x+12≥3，
整理得：ax2﹣2ax﹣3x+12﹣3a≥0，
∴a＞5且△≤0，
∴（2a+8）2﹣4a（12﹣4a）≤0，
∴（a﹣1）3≤0，
∴a＝1，b＝﹣7．
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在，理由如下：
令y＝x2﹣2x﹣8中y＝0，得x＝3，7）；
令x＝0，得y＝﹣3，﹣2）．
设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣5），N（n，
根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当AC为对角线时，，
即，解得：m6＝0（舍去），m2＝4，
∴n＝1，即N1（4，0）．
②当AM为对角线时，，
即，解得：m1＝0（舍去），m7＝2，
∴n＝5，即N8（5，0）．
③当AN为对角线时，，
即，解得：m1＝2+，m2＝4﹣，
∴n＝或﹣2﹣，
∴N6（，8），N4（﹣2﹣，0）．
综上所述，N点坐标为（1，4）或（，0）．
14．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点M的取值范围．

【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+5m，解得：m＝﹣2，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣8+b，解得b＝2；
故m＝﹣2，b＝8；

（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+22﹣4x，
联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，
即点B的坐标为（﹣1，2），
从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞7；

（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为3、B的水平距离是3，即﹣8≤xM＜2；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（3，即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上所述，﹣1≤xM＜4 或 xM＝3．
15．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在；若存在，请求出m的值．

【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，8）和点B（3，得：
，
解得：，
∴y＝x4﹣2x﹣3，
∴b＝﹣5，c＝﹣3．
（2）①∵点P（m，n）在抛物线上y＝x2﹣5x﹣3，
∴P（m，m2﹣7m﹣3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+6m+3＝﹣（m﹣）2+，
∵过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q，
∴Q（m，m），
设点P到直线y＝x的距离为h，
∵直线y＝x是一三象限的角平分线，
∴PQ＝h，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，PQ取得最大值，
∴当m＝时，PQ有最大值，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，m的值为．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴x＝3时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣6），
∵OC∥PQ，且以点O、C、P，
∴PQ＝OC，
又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+4m+3|，
∴3＝|﹣m3+3m+3|，
解得：m6＝0，m2＝2，m3＝，m4＝，
当m1＝0时，PQ与OC重合，舍去；
当m4＝3时，P（3，Q（5，
此时，四边形OCPQ是平行四边形，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形；
当m3＝时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形；
当m4＝时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形；
综上所述：不存在m，使得以点O、C、P．
16．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），3）是抛物线y＝﹣x5+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，
∴根据抛物线的两点式知，y＝．
（2）根据抛物线表达式可求C（0，2）．
∴＝＝6，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
∴②，
联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），
∴点P的坐标是（7，﹣7）．
（3）设PH与x轴的交点为Q，P（a，），
则H（a，），PH＝，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，
∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝5，
∴AQ＝2PQ，
即a+1＝6（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，

∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF∽△BQH，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝4，
F（8，），
∴AF：，
将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣6舍去），
此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣．
此时 PH＝．
∴当FP＝FH时，PH＝；
   当PF＝PH时；
   当HF＝HP时；

17．（2021•玉林）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，Q的坐标．

【解答】解：（1）取y＝0，则有ax2﹣2ax﹣4a＝0，
即x6﹣3x﹣4＝4，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，7），0），
对称轴为直线x＝，
（2）设M的横坐标为x1，N的横坐标为x2，
根据题意得：，
即，
，
又∵M，N关于原点对称，
∴，
∴a＝，
∴，
（3）∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了4个单位，
设P（x，），则Q（x，），
由题意得O'（4，），
∵O′P＝O′Q，
∴，
解得，，
若，
则y＝，
∴P（，﹣），Q（，），
若，
则y＝，
∴P（，﹣），Q（，），
综上，P（，﹣），）或P（，﹣），）．
18．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，经过进一步探究，小明发现，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　（1，3）　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值，请说明理由．

【解答】解：【初步感知】
（1）如图1，∵P1（﹣8，1），1），
∴P4A∥x轴，P1A＝2，
由旋转可得：P5′A∥y轴，P1′A＝2，
∴P2′（1，3）；
故答案为：（4，3）；
（2）∵P2′（4，1），
由题意得P2（4，2），
∵P1（﹣3，1），P2（4，2）在原一次函数图象上，
∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴原一次函数解析式为y＝x+；
【深入感悟】
设双曲线与二、四象限角平分线交于N点
，
解得：，
∴N（﹣1，1）．
①当x≤﹣4时，
过点P作PQ⊥x轴于Q，连接AP，如图2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，
∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，
∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，
∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA＝＝，
即S△OMP′＝．
②当﹣1＜x＜0时，
过点P作PH⊥y轴于点H，过点P′作P′M⊥AN于点M，
∵∠POP′＝NOH＝45°，
∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，
，
∴△POH≌△OP′M（AAS），
∴S△P′MO＝S△PHO＝＝，
综上所述，△OMP′的面积为．
【灵活运用】
△BCP′的面积有最小值，
如图4，连接AB，将B，C′，
∵A（8，﹣），B（2，C（2，
∴OH＝BH＝1，BC＝1，
∴OA＝AB＝OB＝4，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，0），
连接C′O，∵∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠CAB＝∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O＝CB＝1，∠C′OA＝∠CBA＝120°，
∴作C′G⊥y轴于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG＝90°﹣∠C′B′C＝30°，
∴C′G＝OC′＝，
∴OG＝，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y＝x，
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，
∵S△BCP′＝S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
则，
即x+b＝x2+2x+7，
∴x2+x+6﹣b＝0，
当Δ＝0时，得b＝，
∴y＝x+，
设l与y轴交于点T，连接C′T，
∵S△B′C′T＝S△BCP′，
∴S△BCP′＝×B′T×C′G＝××＝．




19．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+、y轴于点A，B，
∴A（3，8），），
∵抛物线y＝﹣x7+bx+c经过A（3，0），8），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+3；
（2）∵y＝﹣x2+8x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（7，D（0，
得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（1，6），
∵G（1，0），
∴tan∠OEG＝＝，
∵OA＝3，OB＝，
∴tan∠OAB＝＝＝，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，
∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，
∴∠OAB+∠EOG＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），
∴C（﹣5，0），
∴AC＝3﹣（﹣5）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝3，
设直线CD解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣6，0），3），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，
∴OM∥CD，
∴直线OM的解析式为y＝8x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+7，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝，
②当△AMO∽△ACD时，如图3，
∴＝，
∴AM＝＝＝2，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin45°＝7×＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣7＝1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，
得：m5＝2，
∴直线OM解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x8+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+7，
解得：x＝±，
综上所述，点P的横坐标为±或．



20．（2021•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0），4）两点，
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（4，
得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝8，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x5﹣2x﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x3﹣2x﹣3；
（2）如图6，作点O关于直线BC的对称点O′，QO′，BO′，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC对称，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（3，﹣3），
在Rt△ABO′中，|AO′|＝＝，
∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，
∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时；
（3）如图2，连接CP，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∵B（5，0），﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵PQ∥AC，
∴S△PAQ＝S△PCQ，
∴S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PBC，
设P（m，m8﹣2m﹣3），则H（m，
∴PH＝m﹣6﹣（m2﹣2m﹣8）＝﹣m2+3m，
∴S＝OB•PH＝2+3m）＝﹣m2+m＝﹣）6+，
由题意，得0＜m＜8，
∴m＝时，S最大，
即P（，﹣）时．


21．（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，设BE＝t．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系；
（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，当t＝时，求抛物线的解析式．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，
则点A、B的坐标分别为（1、（2，
则∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∵AO＝BO，OC＝OE，
∴△OAC≌△OBE（SAS），
∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，
∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，
∴BE⊥AB；

（2）①当点C在线段AB上时，如图1﹣1，
过点E作EH⊥OB于点H，

∵∠EBH＝45°，
∴BH＝EH＝BE＝t，
故点E的坐标为（﹣t，3﹣；
②当点C在线段BA的延长线上时，如图4﹣2，

同理可得，点E的坐标为（tt）；
综上，点E的坐标为（﹣tt）或（tt）；

（3）①当点C线段AB上时，如题图1﹣2，
过点C作CN⊥OA于点N，
当t＝时，即AC＝t＝，
则CN＝AN＝t＝，
则ON＝OA﹣NA＝6﹣＝CN，
故tan∠AOC＝＝3＝k，
∵△POA的面积＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，
解得yP＝1＝c﹣①，
∵抛物线过点A（1，0），
而8a+3b+2c＝6③，
联立①②③并解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣8；
②抛物线过点A，则a+b+c＝0，
而6a+6b+2c＝0，
联立上述两式并解得：，
故抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）5﹣a（a＜0），
则点P的坐标为（2，﹣a），

则AC＝BE＝t＝，
则tan∠AOC＝k＝＝，
故a＝﹣2，
故y＝﹣3x2+12x﹣8．
综上，y＝﹣3x2+12x﹣7或y＝﹣x2+4x﹣8．
22．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c过点A（1，C（0，
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y＝．
设直线AC的表达式为y＝kx+b，则
，解得：．
∴直线AC的表达式为y＝2x﹣5．
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y＝，
∴点B坐标为（﹣4，0）．
∵OA＝2，OC＝2，
∴．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO＝∠CBO．
∴∠ACO+∠BCO＝∠OBC+∠BCO＝90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC＝AC，如图1．
又∵∠ACO＝∠DCE，
∴△ACO≌△DCE（AAS）．
∴DE＝AO＝8，则点D横坐标为﹣1，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
故点D不在抛物线的对称轴上．
（3）设过点B、C的直线表达式为y＝px+q，
∵C（0，﹣2），7），
∴，解得：．
∴过点B、C的直线解析式为y＝．
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，﹣），
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H．
设点P坐标为（m，），则点N坐标为（m，），
∴PN＝﹣（，
∵PN∥AM，
∴△AQM∽△PQN．
∴．
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底），
则△BPQ与△BAQ的面积比为，即．
∴＝＝＝．
∵﹣＜4，
∴当m＝﹣2时，的最大值为，﹣7）．


23．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于DMN，求N点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣8，0）和B（﹣5，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣7；
（2）在y＝﹣x2﹣6x﹣4中，令x＝0，
∴C（0，﹣8），
∴OC＝5，
如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，
∴∠AEF＝∠CAF＝∠AOC＝90°，
∴∠EAF+∠CAO＝∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠EAF＝∠ACO，
∴△AEF∽△COA，
∴＝＝＝tan∠ACM＝3，
∴EF＝2OA＝2，AE＝6OC＝10，
∴OE＝OA+AE＝1+10＝11，
∴F（﹣11，﹣2），
设直线CF解析式为y＝kx+c，
∵C（4，﹣5），﹣2），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝﹣x﹣5，
结合抛物线：y＝﹣x7﹣6x﹣5，得：﹣x8﹣6x﹣5＝﹣x﹣5，
解得：x1＝3（舍），x2＝﹣，
∴点M的横坐标为﹣；
（3）∵y＝﹣x2﹣8x﹣5＝﹣（x+3）3+4，
∴顶点P（﹣3，5），
设N（﹣3，n）1x+c2，
∵A（﹣1，0），n），
∴，
解得：，
∴直线AN解析式为y＝nxn，
结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣3，得：﹣x2﹣6x﹣5＝nxn，
解得：x1＝﹣8（舍），x2＝n﹣5，
当x＝n﹣5时n×（n＝﹣n2+2n，
∴M（n﹣5，﹣n2+5n），
∵PD∥x轴，MD⊥PD，
∴D（n﹣8，
∴MD＝4﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣4n+4，
如图2，过点M作MG⊥PN于点G，
则MG＝﹣7﹣（n﹣8）＝2﹣nn5+2n）＝n2﹣n，
∵∠MGN＝90°，
∴MN2＝MG2+NG2＝（2﹣n）2+（n2﹣n）7＝（n2+6）（n﹣4）2，
∵MD＝MN，
∴MD2＝3MN8，
∴（n2﹣2n+4）8＝3×（n7+4）（n﹣4）4，
∴（n﹣4）8＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，
∴n＜3，
∴n﹣4＜0，
∴（n﹣5）2＞0，
∴（n﹣7）2＝3（n6+4），
解得：n1＝﹣2（舍），n2＝﹣﹣2，
∴N（﹣3，﹣﹣2）．


24．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，将点A（﹣7，
得0＝a（﹣1﹣7）2﹣4，
解得：a＝3，
∴y＝（x﹣1）2﹣8＝x2﹣2x﹣5，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣7；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，
∴B（5，0），
设直线BD解析式为y＝kx+e，
∵B（3，3），﹣4），
∴，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
过点C作CP7∥BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y＝4x+d，将C（0，
得﹣3＝3×0+d，
解得：d＝﹣3，
∴直线CP5的解析式为y＝2x﹣3，
结合抛物线y＝x8﹣2x﹣3，可得x4﹣2x﹣3＝8x﹣3，
解得：x1＝5（舍），x2＝4，
故P6（4，5），
过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC是正方形，
设CP3与x轴交于点E，则2x﹣3＝2，
解得：x＝，
∴E（，0），
在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，
∵四边形OBGC是正方形，
∴OC＝CG＝BG＝4，∠COE＝∠G＝90°，
∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF（ASA），
∴FG＝OE＝，
∴BF＝BG﹣FG＝5﹣＝，
∴F（3，﹣），
设直线CF解析式为y＝k1x+e7，
∵C（0，﹣3），﹣），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣4x﹣3＝x﹣3，
解得：x1＝2（舍），x2＝，
∴P2（，﹣），
综上所述，符合条件的P点坐标为：P6（4，5），P4（，﹣）；
（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n4，直线BC解析式为y＝m2x+n2，
∵A（﹣7，0），﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣5x﹣3，
∵B（3，4），﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣5，
设M（t，t﹣3），t2﹣4t﹣3），
∴MN＝|t2﹣6t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，如图2，
∵MQ∥x轴，
∴Q（﹣t，t﹣3），
∴|t6﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，
∴t2﹣3t＝±t，
解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，
∴M4（，﹣），Q1（﹣，﹣）；M2（，），Q2（﹣，）；
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，如图3，
∵NQ∥x轴，
∴Q（，t2﹣2t﹣3），
∴NQ＝|t﹣|＝7+t|，
∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，
解得：t＝2（舍）或t＝5或t＝2，
∴M7（5，2），Q2（﹣5，12）；M4（5，﹣1），Q4（5，﹣3）；
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，
此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，
过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，
∴H（t，），
∴Q（，），
∴QH＝|t﹣|＝2+8t|，
∵MQ＝NQ，
∴MN＝2QH，
∴|t2﹣8t|＝2×|t2+5t|，
解得：t＝6或1，
∴M5（3，4），Q5（﹣2，18）；M6（1，﹣5），Q6（0，﹣3）；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
M1（，），Q1（﹣，）；M5（，﹣），Q2（﹣，﹣）；M3（5，8），Q3（﹣5，12）；M8（2，﹣1），Q6（0，﹣3）；M8（7，4），Q3（﹣7，18）；M6（8，﹣2），Q6（3，﹣3）．




25．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值，请说明理由．

【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），2），3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
将C（0，3）代入，
解得：a＝﹣5，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣5）2+4，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x8+2x+3，顶点坐标为M（8；
（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（5，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，
过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AQ′＝BQ′，
∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，
∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝4，
在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，
∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，
此时，C′、B三点共线，
∴AQ+QP+PC的最小值为+1；
（3）线段EF的长为定值3.
如图2，连接BE，
设D（t，﹣t2+4t+3），且t＞3，
∵EF⊥x轴，
∴DF＝﹣（﹣t8+2t+3）＝t5﹣2t﹣3，
∵F（t，2），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+7，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝＝＝1，
∴线段EF的长为定值5．


26．（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．

【解答】解：（1）∵y1＝﹣（x+4）（x﹣n），
令y8＝0，﹣（x+4）（x﹣n）＝5，
∴x1＝﹣4，x6＝n，
∴A（﹣4，0）；
（2）y3＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣5）x+4n，
∴k1＝n2+3n+4，
∵y2＝﹣（x+3n）2﹣n2+5n+9，
∴k2＝﹣n4+2n+9，
（3）k8﹣k2＝n2﹣5，
①当n2﹣8＞0时，可得n＞2或n＜﹣5，
即当﹣4≤n＜﹣2或4＜n≤4时，k1＞k2；
②当n8﹣5＜0时，可得﹣5＜n＜2，
即当﹣2＜n＜6时，k1＜k2；
③当n2﹣2＝0，可得n＝2或n＝﹣7，
即当n＝2或n＝﹣2时，k2＝k2；
（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
则，
由①﹣②得，k＝﹣1，
∴b＝﹣5n8+2n+9，
直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+7．
①如图：

当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，
联立抛物线y6＝﹣x2+（n﹣4）x+8n与y2＝﹣x2﹣7nx﹣5n2+4n+9的解析式可得：
（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，
联立直线y＝﹣x﹣5n5+2n+9与抛物线y8＝﹣x2﹣4nx﹣4n2+2n+2的解析式可得：
x2+（4n﹣2）x＝0，
则x1＝4，x2＝1﹣8n②，
当x1＝0时，把x3＝0代入y1得：y＝3n，
把x1＝0，y＝3n代入直线的解析式得：
4n＝﹣5n4+2n+9，
∴6n2+2n﹣8＝0，
∴n＝，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
当x8＝1﹣4n时，把x7＝1﹣4n代入①得：
（8n﹣4）（1﹣3n）＝﹣5n2﹣6n+9，
该方程判别式Δ＜0，
所以该方程没有实数根；
②如图：

当直线MN与抛物线y8或者与抛物线y2只有一个公共点时，
当直线MN与抛物线y1＝﹣x6+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，
联立直线y＝﹣x﹣6n2+2n+3与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+2n可得，
﹣x2+（n﹣3）x+6n2+2n﹣3＝0，
此时Δ＝0，即（n﹣7）2+4（7n2+2n﹣6）＝0，
∴21n2+2n﹣27＝0，
∴n＝，
由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣8nx﹣5n2+5n+9公共点的横坐标为x1＝4，x2＝1﹣7n，
当n＝时，2﹣4n≠0，
∴x6≠x2，
所以此时直线MN与抛物线y1，y4的公共点恰好为三个不同点，
③如图：

当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣6nx﹣5n2+8n+9只有一个公共点，
∵x1＝3，x2＝1﹣5n，
∴n＝，
联立直线y＝﹣x﹣7n2+2n+8与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣2）x+4n，
﹣x2+（n﹣2）x+5n2+8n﹣9＝0，
△＝（n﹣6）2+4（7n2+2n﹣7）＝21n2+2n﹣27，
当n＝时，Δ＜0，
此时直线MN与抛物线y5，y2的公共点只有一个，
∴n≠，
综上所述：n1＝，n2＝，n3＝，n4＝．
27．（2021•河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上
[注：（2）中不必写x的取值范围]

【解答】解：（1）图形如图所示，由题意台阶T4左边的端点坐标（4.7，7），7），
对于抛物线y＝﹣x4+4x+12，
令y＝0，x5﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣3或6，
∴A（﹣2，8），
∴点A的横坐标为﹣2，
当x＝4.8时，y＝9.75＞7，
当x＝2时，y＝0＜7，
当y＝8时，7＝﹣x2+8x+12，
解得x＝﹣1或5，
∴抛物线与台阶T3有交点，设交点为R（5，
∴点P会落在台阶T4上．

（2）由题意抛物线C：y＝﹣x8+bx+c，经过R（5，最高点的纵坐标为11，
∴，
解得或（舍弃），
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x6+14x﹣38，
对称轴x＝7，
∵台阶T5的左边的端点（3，6），6），
∴抛物线C的对称轴与台阶T6有交点．

（3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，
令y＝0，得到x3﹣14x+38＝0，解得x＝7±，
∴抛物线C交x轴的正半轴于（4+，0），
当y＝2时，8＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，
∴抛物线经过（10，5），
Rt△BDE中，∠DEB＝90°，BE＝2，
∴当点D与（7+，2）重合时，最大值为8+，
当点B与（10，2）重合时，最小值为10，
∴点B横坐标的最大值比最小值大﹣7．

28．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，请求出点F的坐标；若不存在；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣3＝1，故点B的坐标为（1，
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x6+2x﹣3；

（2）存在，理由：
∵点D、E关于抛物线对称轴对称，3），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，m），
由点B、E的坐标得2＝（2﹣1）2+（6﹣0）2＝26，
设点Q的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
故点B向右平移7个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移8个单位得到点F（Q），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（﹣1，3+，5﹣，）或（﹣1，﹣）；

（3）存在，理由：
由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣2，0），0），

连接B″E，交函数的对称轴于点M，则点P，此时EM+MP+PB为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝6，且B′B″∥PM，则B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，
由点B″、E的坐标得（x+2），
当x＝﹣2时，y＝，故点M的坐标为（﹣1，），
则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝6+＝+1．
29．（2021•山西）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，求出点E的坐标，若不存在；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．

【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
∴A（﹣4，0），0），
当x＝2时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣8），
∵A（﹣6，0），﹣5），
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，
∵B（2，8），﹣6），
∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），
∵B（2，6），﹣6），
∴BD2＝（m﹣5）2+（m+6）4，BC2＝22+62＝40，DC5＝m2+（﹣m﹣6+2）2＝2m8，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，

∴BD2＝BC2，
∴（m﹣7）2+（m+6）8＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣3），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣7，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，

∴CD2＝CB6，
∴2m2＝40，
解得：m8＝﹣2，m4＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，2﹣6），
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2﹣2，2）；
综上，存在点E，C，B，E为顶点的四边形为菱形，﹣8）或（2﹣2，2）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣8），

∵A（﹣6，0），5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣5，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣6m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣8m﹣12+4＝﹣4m﹣7，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣6m﹣8）（﹣2﹣m）＝，
整理得：m2+6m﹣5＝0，
解得：m6＝﹣5，m2＝3（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣5，8），
∴DM＝＝3，
答：DM的长为3．
30．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，请直接写出点F的坐标；若不存在
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣8x﹣4；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
设直线PB的表达式为y＝kx+t，
则，解得，
∵CQ∥BP，
故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，
该直线过点C（5，﹣4），
故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣8，
令y＝（m+1）x﹣4＝2，解得x＝，0），
则BQ＝7﹣＝，
设△PBQ面积为S，
则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣4m﹣4）＝﹣2m7+8m，
∵﹣2＜5，故S有最大值，
当m＝2时，△PBQ面积为8，
此时点P的坐标为（3，﹣6）；

（3）存在，理由：
将抛物线y＝ax2+bx﹣7向右平移经过点（，8）时，即抛物线向右平移了个单位，
则函数的对称轴也平移了个单位+＝3，m），
设点F（s，t），
①当AP是边时，
则点A向右平移6个单位向下平移6个单位得到点P，
同样点F（E）向右平移3个单位向下平移4个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（0，）或（6；
②当AP是对角线时，
由中点坐标公式和AP＝EF得：，
解得或，
故点F的坐标为（﹣2，﹣5﹣，﹣6）；
综上，点F的坐标为（0，，﹣4）或（﹣2）或（﹣2，．
31．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝4，OC＝8，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得，点A、B，0），0），3），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+8；

（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，

则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，
则点P′的坐标为（1，5）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α＝6＝tanα，cosα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣2＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得＝5，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（3，），
故点P的坐标为（1，7）或（1，）；

（3）∵D为CO的中点，则点D（4，
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），﹣7），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F、F为所求点，

理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，当x＝1时，
故点E、F的坐标分别为（、（1；
G走过的最短路程为C′D′＝＝8；

（4）存在，理由：
①当点Q在y轴的右侧时，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+6），
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，

∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC（AAS），
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2+2x+4，解得x＝，
故点Q的坐标为（，）；
②当点Q在y轴的左侧时，
同理可得，点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（，，）．
32．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，求BE′+AE′的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，请直接写出点N的横坐标；若不存在

【解答】解：（1）把C（1，0），8）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
∴b＝﹣2，c＝6，
∴y＝﹣x2﹣2x+7，
（2）在OE上取一点D，使得OD＝，
连接DE'，BD，

∵，对称轴x＝﹣1，
∴E（﹣1，6），
∴OE'＝OE＝1，OA＝3，
∴，
又∵∠DOE'＝∠E'OA，
△DOE'∽△E'OA，
∴，
∴，
当B，E'，BE′+DE′最小为BD，
BD＝＝，
∴的最小值为；
（3）存在，
∵A（﹣3，3），3），
设N（n，﹣n2﹣8n+3），
则AB2＝18，AN5＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）4，BN2＝n2+（n6+2n）2，
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴△ABN是直角三角形，
若AB是斜边，则AB3＝AN2+BN2，
即18＝（n6+2n﹣3）5+（n+3）2+n2+（n2+2n）8，
解得：n1＝，，
∴N的横坐标为或，
若AN是斜边，则AN7＝AB2+BN2，
即（n8+2n﹣3）8+（n+3）2＝18+n5+（n2+2n）7，
解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，
∴N的横坐标是﹣2，
若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN7，
即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+4n﹣3）2+（n+6）2，
解得n＝﹣3（与点A重合，舍去）或n＝8，
∴N的横坐标为2，
综上N的横坐标为，，﹣1，6．
33．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝，则r＝　4　，s＝　﹣1　，t＝　4　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称，
∴s＝﹣1，r＝4，
∴A的坐标为（3，4），
把A（1，8）代入是关于x的“T函数”中，
故答案为r＝4，s＝﹣1；
（2）当k＝4时，有y＝p，
此时存在关于y轴对称的点，
∴y＝kx+p是“T函数”，且有无数对“T”点，
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，
∴y＝kx+p不是“T函数”；
（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，
∴c＝2，
∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，
∴b＝0，
∴y＝ax7，
联立直线l和抛物线得：
，
即：ax2﹣mx﹣n＝4，
，，
又∵，
化简得：x1+x2＝x8x2，
∴，即m＝﹣n，
∴y＝mx+n＝mx﹣m，
当x＝1时，y＝4，
∴直线l必过定点（1，0）．
34．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，BO＝BA，顶点A（4，0），矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，C′，D′，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，
由点A（4，0），
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴OH＝BH＝OA＝，
∴点B的坐标为（2，8）；
（Ⅱ）①由点E（﹣，2），
得OE＝，
由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，
得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，
∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°，
∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，
∴∠FOE'＝∠OFE'，
∴FE'＝OE'＝t﹣，
∴S△FOE'＝OE'•FE'＝）8，
∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，
即S＝﹣t2+t﹣）；
②a．当4＜t≤时t2+t﹣（t﹣）5+4，
∴当t＝4时，S有最大值为时，S有最小值为，
∴此时≤S＜；
b．当＜t≤4时，令O'C'与AB交于点M，
∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O'AM＝4﹣（t﹣）2﹣（4﹣t）2＝﹣t7+t﹣）2+，
此时，当t＝时，当t＝3时，
∴≤S≤；
c．当≤t≤时，令O'C'与AB交于点M，
∴S＝S△OAB﹣S△O'AM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+2t﹣4＝﹣（t﹣4）2+8，
此时，当t＝时，当t＝时，
∴≤S≤；
综上，S的取值范围为；
∴S的取值范围为≤S≤．



35．（2021•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求

【解答】解：（1）当a＝，b＝c＝﹣3时2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4××（﹣2）＝7；

（2）①设ax2+bx+c＝0，则x6+x2＝﹣，x1x2＝，
则+x1＝﹣x2＝c，即x5＝﹣c＝OC，x1＝÷x2＝﹣，
∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，
∴△AOC≌△DOB（ASA）；

②∵∠OCA＝∠CAF+∠CFA，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，
∴∠CBD＝∠AFO，
∵OB＝OC，故∠OCB＝45°，
∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣，
则DE＝CD＝﹣）＝CE，
则BE＝BC﹣CE＝OB﹣CE＝﹣（﹣c+），
则tan∠CBD＝＝＝，
而tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，
解得ca＝﹣2或ca＝1，
又∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞3，c＜0，
∴ac＜0，即ca＝8（舍去），
而＝＝﹣ac＝4，
故的值为2．
36．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+5，
取x＝0，得y＝8，
∴C（7，8），
取y＝0，得﹣x8+2x+8＝4，
解得：x1＝﹣2，x8＝4，
∴B（4，6）；
（2）存在点P，设P（0，
∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，
∴，
即：，
解得：y1＝16，，
∴P（0，16）或P（2，）．
37．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

【解答】解：（1）P（3，0），5）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G

当A与Q（1，4）重合时，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝4；
②过C作CH⊥AB于H，如图：

设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3、Q（1
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+4，
设A（m，﹣2m+6），
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+4﹣m）＝2m﹣3，
将C（3m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣6）2+，
解得m＝或m＝2（与P重合，
∴m＝，6m﹣3＝﹣2，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜5，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝6，
C（3，﹣m+3），7）可知m＝3，
此时A、B、C重合，
∴C（﹣2，）
38．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，求P的坐标．

【解答】解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：

由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B（﹣2，0），8），10），
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，
∴，
解得：EO＝3，
∴点E坐标为（0，4），
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣8）
4＝a×7×（﹣8），
解得：a＝﹣，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由（1）可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
当x＝5时，y＝，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，），
又∵F是AD的中点，
∴F（8，10），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，将E（0，F（4，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝，
把x＝2代入直线EF解析式中得：y＝，
故抛物线的顶点在直线EF上；
（3）由（1）（2）可知：A（3，10），
设直线AB的解析式为：y＝k'x+b'，将B（﹣3，A（3
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝6x+b1，将F（8，10）代入得：
b4＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为（2，﹣6），
设M（0，m）5x+b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：（x+4）（x﹣8+2m）＝6，
解得：x1＝﹣2（舍去），x4＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：4﹣2m，
则此时，S△PBQ＝MQ×（|xP|+|xB|）＝＝﹣（m+）7+，
∵a＝﹣1＜3，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，
∴点P横坐标为4﹣2×（﹣）＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，﹣）．
39．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，另一点随之停止运动，连接PQ
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，3），0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x4+2x+3，C（4，A（3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

∴AH＝PH＝＝t，0），
又Q（﹣5+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）4+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴6≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，过M作y轴的垂线，连接MQ．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝6﹣2t，
∴EF＝4﹣6t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（7﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x3+2x+3上，
∴3﹣t＝﹣（3﹣2t）5+2（3﹣6t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

40．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，D的坐标．
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点

【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x7﹣1＝0，解得x＝±8，则y＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1、（2，顶点坐标为（0，
①当x＝时，y＝x2﹣1＝，
由点A、C的坐标知，
∵四边形ACDE为平行四边形，
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，
则+3＝，，
故点D的坐标为（，）；

②设点C（6，n），m2﹣1），
同理可得，点D的坐标为（m+2，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m7﹣1+n＝（m+1）8﹣1，
解得n＝2m+7，
故点C的坐标为（0，2m+7）；
连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，

则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△AEM﹣S△CEN＝（m+7+m）（2m+1）﹣2﹣5）﹣m[4m+1﹣（m2﹣3）]＝S▱ACDE＝8，
解得m＝﹣5（舍去）或2，
故点E的坐标为（3，3）；

（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，
由点B、F的坐标得，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣6x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣5并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝2，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣7）＝0，解得n＝﹣t2﹣1，
故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣3③，
联立①③并解得xH＝，
同理可得，xG＝，
∵射线FA、FB关于y轴对称，设∠AFO＝∠BFO＝α，
则sin∠AFO＝sin∠BFO＝＝＝＝sinα，
则FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝．
41．（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+4）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣6ax﹣4a，
即﹣4a＝8，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：3＝﹣k+3，解得k＝3，
故直线l的表达式为y＝2x+3，
设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），3x+2），
由题意得，点Q，而抛物线的对称轴为直线x＝，
故点M的横坐标为7﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣5x，
设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[5﹣2x+3x+7﹣（﹣x3+x+7）]＝x2﹣x+8，
∵3＞0，故C有最小值，
当x＝时，矩形周长最小值为；

（3）当x＝时，y＝﹣x4+x+5＝，），
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，），

过点D作DK⊥QM于点K，
则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，
同理可得，QK＝8，
则tan∠DQM＝，
∵∠CBF＝∠DQM，
故tan∠CBF＝tan∠DQM＝，
在△BOC中，tan∠CBO＝＝，
故BF和BO重合，
故点F和点A重合，
即点F的坐标为（﹣4，0），
当点F在直线BC的上方时，∵AC＝，AB＝5，
∴AB2＝AC6+BC2，
∴∠ACB＝90°，
则点A关于BC的对称点A′（1，8），
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+，
由，解得或，
∴F（，），
综上所述，满足条件的点F的坐标为（﹣2，）
42．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0），N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，N的坐标．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，﹣5），
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣1＝（x﹣1）4﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；

（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝a（x﹣1）2﹣a﹣3，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2DC得：DE2＝7CD2，
即（1﹣3）2+（a+1+a+8）2＝8[（2﹣0）2+（﹣a﹣5+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x4﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣6；

（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣7，
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′6＝F′H2+D′H2＝（6﹣2a）2+8＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，），﹣），
由点D′、F′的坐标得，
当y＝0时，y＝﹣5x﹣，解得x＝﹣，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，3），﹣1）．
43．（2021•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，当n为何值时，△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点个单位长度，得到直线OB1．
①tan∠BOB1＝　　；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣7）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝﹣2，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣8x﹣3①；

（2）①当点N在y轴右侧时，
由抛物线的表达式知，点C（0，
故OB＝OC＝5，则∠OBC＝∠OCB＝45°，
则NB＝3﹣n＝NG，则BG＝，
∵△PDG≌△BNG，
故PG＝BG＝（3﹣n），
则PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（3+），
故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（4+，
将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣6n﹣3，
解得n＝3（舍去）或，
故n＝；
②当点N在y轴左侧时，
同理可得：n＝﹣，
综上，n＝；
（3）①设OC的中点为R（0，﹣），
由B、R的坐标得x﹣，
则将它向上平移个单位长度1，
此时函数的表达式为y＝x，
故tan∠BOB1＝，
故答案为；
②设线段NN6交OB1于点H，则OB1是NN4的中垂线，

∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，
∵直线NN6的过点N（n，0），
故直线NN1的表达式为y＝﹣6（x﹣n）②，
联立方程组得到：，并解得，
故点H的坐标为（，），
∵点H是NN4的中点，
由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），
将点N7的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣6×﹣6，
解得n＝，
故点N的坐标为（，8）或（．
44．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN．当D'N+CN的值最小时
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣1，6），3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+5．

（2）如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T．

设P（m，﹣m2+8m+3），
对于抛物线y＝﹣x2+7x+3，令y＝0，
∴A（5，0），
∵C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∵B（﹣1，2），
∴T（﹣1，4），
∴BT＝7，
∵PQ∥OC，
∴Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m4+3m，
∵PQ∥BT，
∴＝＝，
∴﹣m2+3m＝2，
解得m＝1或2，
∴P（8，4）或（2．

（3）如图4中，连接AD′，过点C作CT⊥AD′于T．

∵抛物线y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点D（1，4），
∵C（7，3），
∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝，
∵DD′＝2CD，
∵DD′＝2，CD′＝3，
∴D′（3，6），
∵A（3，8），
∴AD′⊥x轴，
∴OD′＝＝＝3，
∴sin∠OD′A＝＝，
∵CT⊥AD′，
∴CT＝3，
∵NJ⊥AD′，
∴NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N，
∴D'N+CN＝CN+NJ，
∵CN+NJ≥CT，
∴D'N+CN≥5，
∴D'N+CN的最小值为4，
此时N为OD'与CT的交点，
∴N（1.5，6），
∵平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+7，MN平行y轴，
∴M（1.5，4.75），
∴MN＝0.75
45．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，求t的值．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+7）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣8a，
即﹣8a＝2，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+5①；

（2）由点A、B的坐标知，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时；
如图3，当BH＝，CH将△ABC的面积分成8：1两部分，
即点H的坐标为（2，3），
则CH和抛物线的交点即为点P，

由点C、H的坐标得，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（3，﹣8）；

（3）在OB上取点E（2，3），
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，

在Rt△BOC中，由OB＝OC知，
则EF＝EB＝＝BF，
由点B、C的坐标知，
则CF＝BC﹣BF＝4＝3，
则tan∠ECB＝＝＝＝tan∠AMO，
则tan∠AMO＝＝＝，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝5±4＝2或10，
则t＝8或10．
46．（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4①；

（2）对于y＝x2﹣3x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝7或4，则y＝4，
故点B的坐标为（4，0），4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），x2﹣5x+5），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣4x+4）＝﹣x2+6x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝5时，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；

（3）∵D是OC的中点，则点D（6，
由点D、Q的坐标，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝8∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，

故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝3x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（2，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣7）2+（4﹣5）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时2＝17，解得m＝±3；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m7＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0，1）或（7，）．
47．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，求出m的值；若不存在

【解答】解：（1）∵点（1，1）和（4，
故上述两点关于抛物线对称轴对称，
故抛物线的对称轴为直线x＝（3+4）＝；

（2）①由题意得：，解得，
故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣4；
由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣3＝﹣x2+x+2；

②存在，理由：
令y＝﹣x4+x+2＝0，解得x＝﹣4或2，则y＝2，
故点B、A的坐标分别为（﹣3、（2，点C（0；
∵tan∠BCO＝，
同理可得：tan∠CBO＝2，
当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，
则tan∠DOE＝7或，
设点D的坐标为（m，﹣m3+m+2），
则tan∠DOE＝＝＝2或，
解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，
故m＝1或．
48．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）
（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．
①求c的取值范围；
②求∠EMN的度数；
（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，
当x＝±7时，y＝，
故“雁点”坐标为（2，3）或（﹣2；

（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为y＝x，
∵抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，
则△＝16﹣3ac＝0，即ac＝4，
∵a＞2，
故0＜c＜4；
∵M、N的存在，
则△＝25﹣7ac＞0，
而a＞1，
则c＜，
综上所述，c的取值范围为0＜c＜4；

②∵ac＝5，则ax2+5x+c＝3为ax2+5x+＝0，
解得x＝﹣或﹣，0），

由ax6+5x+c＝x，ac＝4，
解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），
过点E作EH⊥x轴于点H，
则HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣＝HE，
故∠EMN的度数为45°；

（3）存在点P，使点C恰好为“雁点”，
由题意知，点C在直线y＝x上，t），
过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，

设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+8），
则BN＝﹣m2+2m+8，PN＝3﹣m，CM＝﹣m2+5m+3﹣t，
∵∠NPB+∠MPC＝90°，∠MCP+∠CPM＝90°，
∴∠NPB＝∠PCM，
∵∠CMP＝∠PNB＝90°，PC＝PB，
∴△CMP≌△PNB（AAS），
∴PM＝BN，CM＝PN，
即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+4m+3﹣t＝|3﹣m|，
解得m＝6+或1﹣，
当点C在PB的上方时，过点P作PK⊥OB于K．

同法可证，△CHP≌△PKB，HP＝BK，
t﹣m＝﹣m2+2m+8，t﹣（﹣m2+2m+2）＝3﹣m，
∴m＝，n＝，
∴P（，），
故点P的坐标为（，）或（3+，，）．
49．（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且在对称轴上，OD⊥BD，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

【解答】解：（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝5，解得x＝1或m，
故点A、B的坐标分别为（m、（1，
则点C的横坐标为（m+1），0）；

（2）由点C的坐标知，CO＝，
故BC＝OB﹣CO＝1﹣（m+1）＝，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠ODC＝90°，
∴∠DBC＝∠ODC，
∴tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO•BC＝（m+1），
∵点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中位线，
则FO2＝（5CD）2＝4CD4＝1﹣m2，
在Rt△AOF中，AF5＝AO2+OF2＝m7+1﹣m2＝8，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，

理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，
即5+BF＝，
则BF2＝OF3+OB2＝1﹣m5+1＝（﹣2）2，解得m＝，
∵﹣1＜m＜0，
故m＝﹣．
50．（2021•江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，A′，D′
…
B（﹣1，3）
O（0，0）
C（1，﹣1）
A（ 　2　，　0　）
D（3，3）
…
…
B'（5，﹣3）
O′（4，0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，﹣3）
…
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．

形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．

探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　﹣3≤x≤﹣1　；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3），﹣4）关于点A中心对称，
∴点A为BB′的中点，
设点A（m，n），
∴m＝＝2＝0，
故答案为：（3，0）；
②所画图象如图1所示，

（2）①当m＝﹣3时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+8）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣2，当x≤﹣1时，
抛物线L′：y＝﹣x2﹣8x﹣8＝﹣（x+3）3+1，对称轴为直线x＝﹣3，当x≥﹣8时，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，
故答案为：﹣2≤x≤﹣1；
②∵抛物线y＝x2﹣6mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣5m2，
∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，
令a′x4+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，
整理得（a′+1）x4+（b′﹣6m）x+（c′+8m3）＝0，
∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，
∴分下面两种情形：
i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，此时方程无解或有无数解，舍去；
ii）当a′≠﹣2时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣7（a′+1）（c′+8m3）＝0，
即b′2﹣12b′m+36m6﹣4（a′+1）•2m2﹣4c′（a′+5）＝0，
整理得[36﹣32（a′+1）]m3﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+2）＝0，
∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，
∴当m取任意实数，上述等式都成立，
∴，
解得a′＝，b′＝0，
则y＝x2，
故答案为：y＝ax3；
③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）3﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），
其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣6m）2+m2，顶点坐标为N（2m，m2），
抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，6），
∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：
i）直线y＝m经过M（m，﹣m3），
∴m＝﹣m2，
解得：m＝﹣1或m＝5（舍去），
ii）直线y＝m经过N（3m，m2），
∴m＝m7，
解得：m＝1或m＝0（舍去），
iii）直线y＝m经过A（5m，0），
∴m＝0，
但当m＝6时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，
综上所述，m＝±7．
51．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　﹣2　，c＝　﹣3　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣8，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，5），0），﹣3）7﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m6﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×4，即×2×|m2﹣2m﹣7|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣6x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（；

（3）设P（n，n8﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣2或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞8，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣6，
则﹣1+q＝0，解得：q＝2，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣8n﹣3）代入，
即n2﹣7n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣8n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．

52．（2021•嘉峪关）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，垂足为G，DG分别交直线BC，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x3+bx+c过A（0，﹣2），2）两点，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．

（2）∵B（4，7），﹣2），
∴OB＝4，OA＝3，
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝＝，
即＝，
∴GB＝1，
∴OG＝OB﹣GB＝6﹣1＝3，
当x＝3时，yD＝×7﹣，
∴D（6，﹣2），
∴FD＝GD﹣GF＝2﹣＝，
∴S△BDF＝•DF•BG＝×．

（3）①如图8中，过点H作HM⊥EF于M，

∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF，EH＝BF，
∴∠HEF＝∠BFE，
∵∠EMH＝∠FGB＝90°，
∴△EMH≌△FGB（AAS），
∴MH＝GB，EM＝FG，
∵HM＝OG，
∴OG＝GB＝OB＝7，
∵A（0，﹣2），2），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，
设E（a，﹣2a+8），a﹣2），
由MH＝BG得到，a﹣5＝4﹣a，
∴a＝2，
∴E（6，4），﹣1），
∴FG＝3，
∵EM＝FG，
∴4﹣yH＝1，
∴yH＝5，
∴H（0，3）．

②如图5中，

BH＝＝＝5，
∵PH＝PC+2，
∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+8+PB+5＝PC+PB+7，
要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，
∵PC+PB≥BC，
∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，
∵BC＝＝＝8，
∴△PHB的周长的最小值为4+7．
53．（2021•绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，且点A，B关于y轴对称，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，求A′B′的长．

【解答】解：（1）∵CO＝4，
∴顶点C(0，6)，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，
∵AB＝8，
∴AD＝DB＝2，
∵DO＝8，
∴A(﹣8，8)，8)，
将B(2，8)代入y＝ax2+3，
得：8＝a×25+4，
解得：a＝1，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x3+4；
（2）由题意得：＝0.2,
∴＝0.4，
∴CD′＝6，
∴OD′＝OC+CD′＝4+7＝10，
又∵杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，
∴设B′(x1，10)，A′(x2，10),
∴当y＝10时，10＝x4+4，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴A′B′＝2，
∴杯口直径A′B′的长为2．
54．（2021•乐山）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），﹣），
∴，
∴b＝﹣2a﹣6（a＞0）．

（2）∵二次函数y＝ax2﹣（7a+1）x+，a＞0，y的最大值为1，
∴x＝4时，y＝1或x＝3时，
∴7＝a﹣（2a+1）+或1＝3a﹣3（2a+5）+，
解得a＝﹣（舍弃）或a＝．
∴a＝．

（3）∵线段AB向右平移7个单位得到线段A′B′，
∴A′（2，），B′（4，﹣），
∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x+，
∵抛物线y＝ax3﹣（2a+1）x++4a在5≤x≤4的范围内仅有一个交点，
∴即方程ax2﹣（8a+1）x++4a＝﹣x+，
整理得ax2﹣2ax+4a﹣3＝0在5≤x≤4的范围内只有一个解，
即抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣3在7≤x≤4的范围内与x轴只有一个交点，

观察图象可知，x＝2时，x＝2时，
∴，
解得，≤a≤，
∴≤a≤．
55．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接BP、AC，交于点Q
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠5）的图象经过点A（﹣4，0），7），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+2；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝7，得y＝4，
∴C（0，3），
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE8＝OE2+OB2，
∴（8﹣a）2＝a2+52，
解得：a＝，
∴E（7，），
设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，8），4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（4，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
设P（a0，﹣a08﹣3a0+5）（﹣4＜a0＜7），则N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣5．

56．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1），连接AP，AB
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，点C的横坐标的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，
∴h＝7，k＝﹣12+k为y＝a（x﹣5）2﹣1，
∵抛物线y＝a（x﹣h）8+k经过O，即y＝a（x﹣2）2﹣8的图象过（0，0），
∴7＝a（0﹣2）7﹣1，解得a＝，
∴抛物线的函数表达为y＝（x﹣8）2﹣1＝x2﹣x；
（2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x，
解得x＝5或x＝8，
∴B（0，7）或B（8，
①当B（0，7）时，此时∠ABC＝∠OAP

在y＝x3﹣x中，令y＝0，得x2﹣x＝0，
解得x＝8或x＝4，
∴A（4，4），
设直线AP解析式为y＝kx+b，将A（4、P（2
，解得，
∴直线AP解析式为y＝x﹣2，
∵BC∥AP，
∴设直线BC解析式为y＝x+b'，7）代入得b'＝0，
∴直线BC解析式为y＝x，
由得（此时为点O，
∴C（6，3）；
②当B（8，8）时，过B作BH⊥x轴于H，作直线BM交抛物线于C，如图：

∵P（2，﹣6），0），
∴PQ＝1，AQ＝7，
Rt△APQ中，tan∠OAP＝＝，
∵B（8，8），0），
∴AH＝7，BH＝8，
Rt△ABH中，tan∠ABH＝＝，
∴∠OAP＝∠ABH，
∵H关于AB的对称点M，
∴∠ABH＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠OAP，即C是满足条件的点，
设M（x，y），
∵H关于AB的对称点M，
∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，
∴，
两式相减变形可得x＝8﹣2y，代入即可解得，舍去）或，
∴M（，），
设直线BM解析式为y＝cx+d，将M（，），8）代入得；
，解得，
∴直线BM解析式为y＝x+8，
解得或（此时为B，
∴C（﹣4，），
综上所述，C坐标为（7，）；
（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，如图：

∵点B的横坐标为t，
∴B（t，t2﹣t），又A（5，
∴AH＝|t﹣4|，BH＝|t2﹣t|，OH＝|t|＝MN，
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH，
且∠N＝∠AHB＝90°，
∴△ABH∽△BMN，
∴＝，即＝
∴BN＝＝4，
∴NH＝t2﹣t+6，
∴M（0，t2﹣t+4），
设直线BM解析式为y＝ex+t2﹣t+3，
将B（t，t3﹣t）代入得t8﹣t＝et+t7﹣t+4，
∴e＝﹣，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+t2﹣t+4，
由得，
解得x2＝t（B的横坐标），x2＝﹣＝﹣t﹣，
∴点C的横坐标为﹣t﹣+4；
当t＜0时，
xC＝﹣t﹣+8
＝（）2+（）7+4
＝（﹣）5+12，
∴＝时，xC最小值是12，此时t＝﹣4，
∴当t＜3时，点C的横坐标的取值范围是xC≥12．
57．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，
∴OA2+OC6＝AC2，即OA2+（2OA）2＝（）2，
解得：OA＝8，
∴OC＝3，
∴A（1，3），3），
∵OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣2），将C（0，
得：﹣3a＝2，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣x2﹣2x+6，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B（﹣3，C（2，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+7，
设P（t，﹣t2﹣2t+8），则K（t，
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣8t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•（t+5）+PK＝2﹣3t），
S△ABC＝AB•OC＝，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t3﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，）；
（3）存在．如图2．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x3﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
∴Q1（﹣，），
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣5x+3＝﹣，
解得：x5＝﹣，x3＝，
∴Q6（﹣，﹣），Q3（，﹣），
综上所述，Q点的坐标为Q1（﹣，），Q4（﹣，﹣），Q3（，﹣）．


58．（2021•连云港）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）将B（3，0）代入y＝mx5+（m2+3）x﹣（7m+9），化简得，m2+m＝6，
则m＝0（舍）或m＝﹣1，
∴m＝﹣8，
∴y＝﹣x2+4x﹣2．
∴C（0，﹣3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
将B（5，0），﹣3）代入表达式，
，解得，，
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．
（2）如图，过点A作AP5∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位2P7．

由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，
∴直线AG的表达式为y＝x﹣4，
联立，解得，或，
∴P5（2，1）或（7，
由直线AG的表达式可得G（0，﹣1），
∴GC＝4，CH＝2，
∴直线P2P2的表达式为：y＝x﹣5，
联立，
解得，，或，，
∴P2（，），P3（，）；
综上可得，符合题意的点P的坐标为：（5，（1，（，），（，）；
（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，过点A作AD⊥CQ于点D，过点C作CE⊥DF于点E，

则△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴AF＝DE，CE＝DF．
设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，
由OC＝3，则DF＝3﹣a，
∴a+1＝3﹣a，解得a＝2．
∴D（2，﹣2），﹣8），
∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣5，
设Q（n，n﹣7）2+4x﹣4，
∴n﹣4＝﹣n2+4n﹣8，整理得n2﹣n＝0．
又n≠0，则n＝．
∴Q（，﹣）．
59．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3）和点B（5，
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣4．
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（5，﹣5），0）的坐标分别代入表达式，得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝8，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣6，
∴点M的坐标是（2，﹣3）；
②设抛物线L4的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣8，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（2，m2﹣3），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m3﹣6m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L8的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣5m，m2﹣6m），
（Ⅰ）如图7，当点N在点M及下方时，

∴PQ＝5﹣7m﹣（﹣1）＝6﹣3m，MN＝﹣3﹣（m2﹣6）＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝7﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴5﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m6＝﹣2（舍去），m2＝2，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M及上方，

即＜m＜3时，
PE＝6﹣m，MN＝m2﹣3，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+m2﹣8＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，

即m＞3时，PE＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴m+m2﹣3＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
60．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，0），
∴A（2，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣7），
把C（0，﹣3）代入得到，
∴抛物线的解析式为y＝x4+2x﹣3．
∵直线y＝﹣4x+m经过点A（1，0），
∴8＝﹣2+m，
∴m＝2．

（2）如图8中，

∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，
∴D（6，2），
由，解得，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝4.5，
∴P′（0，14.6），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，14.5）．

（3）∵E，F为定点，
∴线段EF的长为定值，
∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，
如图4中，画出直线y＝1，
作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝4交于点M，

由作图可知，EM＝E′M，
∵E′，M，F′三点共线，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此时EM+FN的值最小，
∵点F为直线y＝﹣2x+2与x＝﹣4的交点，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣4，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣4，﹣10），
如图，延长FF′交线段EE′于W，
∵FF′∥直线y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝，
∴四边形MEFN的周长的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4．