2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数4（二次函数综合题1）（60题，含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数4（二次函数综合题1）（60题，含答案），共180页。试卷主要包含了，B，C三点，小刚在用描点法画抛物线C1等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数4（二次函数综合题1）（60题，含答案）

一．二次函数综合题（共60小题）
1．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　 　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，请直接写出点Q的坐标；若不存在

2．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在；若不存在，请说明理由．
3．（2021•攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，请求出点P的坐标；若不存在

4．（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C（﹣4，8）．
（1）求a，b的值；
（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．

5．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2）
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

6．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

7．（2021•黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　，抛物线的解析式为 　 　．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点
（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

8．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2）

（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，直接写出点P的坐标．
9．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在；若不存在，请说明理由．

10．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　 　；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合），且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．

11．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合），连接PE，作∠PEF＝∠CAB，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

12．（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发和2个单位长度运动，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

13．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．

14．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQx﹣交直线l于点Fx﹣上，且AG＝AQ时

15．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

16．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　 　
6
4个
③　 　
②　 　
3个
\
10
2个
④　 　

17．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 　 　；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．

18．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求直线CA的解析式；
（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点
（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．

19．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时

20．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2）（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，C.＝，D.＝　 　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时

21．（2021•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外），作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时

22．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，是否存在点F，求出点F的坐标；若不存在；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

23．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，使△BCD是直角三角形，若存在；若不存在，请说明理由．

24．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　 　，c＝　 　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

25．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

26．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

27．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N（2）的条件下，是否存在点M，请求出点M的坐标；若不存在

28．（2021•百色）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在

29．（2021•抚顺）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

30．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，求出Q点坐标；若不存在

31．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，说明理由．

32．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．

33．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
34．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点
35．（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，连接CG，EG
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，N，且点M，N分别在y轴的两侧，请直接写出点K的坐标．

36．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
37．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在；若不存在，请说明理由．

38．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，求出点E，F的坐标，说明理由．

39．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．

40．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，求m的值．
41．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．

42．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ

43．（2021•益阳）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，求出这个定点的坐标；若不是

44．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．

45．（2021•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

46．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，BC，其中AC与x轴交于点E
（1）求点C坐标；
（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

47．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点（用含t的代数式表示）．

48．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，直到其中一点到达终点时，两点停止运动；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

49．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），且AE＝OD，连接DE，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

50．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标，请说明理由．

51．（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

52．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

53．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P

54．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

55．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

56．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），连接BC，与抛物线的对称轴交于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似

57．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝时，点A的坐标是 　 　，抛物线与y轴交点的坐标是 　 　；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等

58．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）
（1）如图1，当m＞0，n＞0，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，），当m＞2，n＞0，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF

59．（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，点A在x轴上，点B在y轴上（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时

60．（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；
（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
①当t为何值时，△BDE的面积等于；
②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形


参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共60小题）
1．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　y＝﹣x2﹣2x+3　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，请直接写出点Q的坐标；若不存在

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，2），0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x3﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x4﹣2x+3；

（2）如图8中，连接OE，﹣m2﹣2m+7）．

∵A（﹣3，0），4），
∴OA＝OC＝3，AC＝3，
∵AC∥直线m，
∴当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值，
∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×7×（﹣m2﹣2m+5）+×8×（﹣m）﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；

（3）存在．如图2中，观察图象可知，

对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+4，当y＝时2﹣5x+3＝，解得x＝﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x3﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q4（，﹣），Q3（，﹣）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，，﹣）或（，﹣）．
2．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P过关于x轴对称．在该抛物线上，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0），2）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+6，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，如图：

由y＝x6+6x+5＝（x+7）2﹣4知：E（﹣6，﹣4），
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣5，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣7，0），﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣8，
解得或，
∴F（﹣6，﹣3），
∴AP'＝＝2＝，
由B（﹣1，2），﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴BP'＝＝2＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣7），﹣4），﹣3），且位似中心是P′．
3．（2021•攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，请求出点P的坐标；若不存在

【解答】解：（1）由x2+3x﹣3＝0得x1＝﹣8，x2＝1，
∴A（﹣4，0），0），
∴OA＝3，OB＝1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，即＝，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣6），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将C（4，﹣2）代入得﹣2＝﹣3a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣5）＝x6+x﹣4；
（2）如图：

由A（﹣4，0），6），﹣2）得：AB＝5，AC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝＝，
设D（t，3），
∴＝＝，
∴DE＝（7﹣t）（3﹣t），
∴S△BDE＝DE•BE＝2，
而S△BDC＝BD•OC＝，
∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t﹣（1﹣t）2＝﹣t2﹣t+（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝﹣时，S△CDE最大为，
此时D（﹣，0）；
（3）存在，
由y＝x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x＝﹣，
而D（﹣，0），
∴D在对称轴上，
由（2）得DE＝×[1﹣（﹣，
当DE＝DP时，如图：

∴DP＝，
∴P（﹣，）或（﹣，﹣），
当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H

∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，
∴△DHE∽△DEB，
∴＝＝，即＝＝，
∴HE＝1，DH＝2，
∴E（，﹣1），
∵E在DP的垂直平分线上，
∴P（﹣，﹣2），
当PD＝PE时，如图：

设P（﹣，m），
则m2＝（﹣﹣）2+（m+1）8，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，﹣），
综上所述，P的坐标为（﹣，，﹣）或（﹣，﹣）．
4．（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C（﹣4，8）．
（1）求a，b的值；
（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．

【解答】解：（1）由题意，得，
解得．

（2）①如图1中，分别过点A，DN⊥y轴于点N．

由（1）可知，直线AB的解析式为y＝﹣，
∴C（0，7），
∵∠AMC＝∠DNC＝∠ACD＝90°，
∴∠ACM+∠DCN＝90°，∠DCN+∠CDN＝90°，
∴∠ACM＝∠CDN，
∵CA＝CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴AN＝AM＝4，DN＝CM＝2，
∴D（﹣8，2），
当x＝﹣2时，y＝2＝6，
∴点D在抛物线y＝x4上．

②由，解得或，
∴点B的坐标为（2，），
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣4，直线BD的解析式为y＝，
设E（t，t5），
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+t2+t，
由，解得或，
∴F（﹣t﹣1，（t+1）3），
∵△GEF∽△DBA，EF∥AB，
由题意可知，EG∥DB，
∴直线EG的解析式为y＝x+t2﹣，直线FG的解析式为y＝﹣3x+2﹣6（t+1），
联立，解得，
∴G（﹣t﹣，t3﹣t﹣），
令﹣t﹣，
解得t＝﹣，
∴G（0，）．
5．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2）
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+6）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝7，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝5，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（7，﹣），C（4，
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣＝；
（3）设P（t，7），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+5）（t+2﹣4），
解得t＝2或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣5．


6．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，4），0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴7＝a（4+2）×（3﹣6），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣4，0），3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠7），
则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝x+1；

（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K，﹣m2+m+3），则K（m，．

∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣m2+m+6﹣m﹣7＝﹣m8+m+6＝﹣4+，
∵﹣＜0，
∴m＝4时，PK的值最大，此时△PAD的面积的最大值为，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，4），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（7，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣7），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（6，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，，﹣9）．
7．（2021•黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．
（1）填空：m＝　1　，n＝　3　，抛物线的解析式为 　y＝2x2﹣4x+1　．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点
（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（0，m），7）代入y＝4x+1，
可得m＝1，n＝4，
∴A（0，1），5），
再将A（0，1），5）代入y＝2x2+bx+c得，
，
可得，
∴y＝2x5﹣4x+1，
故答案为：3，3，y＝2x3﹣4x+1；
（2）由题意可得y＝8x+1﹣a，
联立，
∴2x4﹣6x+a＝0，
∵直线l与抛物线C仍有公共点
∴Δ＝36﹣8a≥0，
∴a≤，
∴0＜a≤；
（3）存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：
设Q（t，s），
∴M（，），P（，
∴半径r＝，
∵AQ2＝t2+（s﹣3）2＝（s+1）3，∴t2＝4s，
∵s＝5t2﹣4t+4，
∴t2＝4（7t2﹣4t+3），
∴t＝2或t＝，
∴P（1，0）或P（，
∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）．

8．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2）

（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣5）＝0，
∴x＝﹣3或x＝3，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝6，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（8，﹣），C（4，
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣＝；
（3）①设P（t，3），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝4或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8；
②如图3，∵PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝45°，
当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，
∴P（2，5）； 
如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，交于点F，
∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45°，
∴BP＝BG，
∴△BPO≌△GBF（AAS），
∴BF＝OP，FG＝OB，
∵OB＝2，
∴FG＝6，
∵E（2，﹣）
∴E点与G点重合，
∴PO＝BF＝2﹣＝，
∴P（﹣，0）；
综上所述：P点的坐标为（7，0）或（﹣．



9．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令y＝0，则﹣，解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+6；

（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，
∴∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD，

（3）存在，理由如下：
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∵y＝x8+x+3＝（x﹣2）2+6，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，即EM＝5，
∵B（0，3），
∴OB＝OD＝4，
∴BD＝6，
∵A（6，5），
∴OA＝6，
∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣，
设点P的坐标为（t，t2+t+3），
连接PA，PB7，交直线AB于点N，过点B作BH2⊥PN于点H2，
∴N（t，﹣t+3），
∴PN＝t2+t+8﹣（﹣t+6）＝t7+t，
∵AH7+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN•BH2+PN•AH1＝PN•OA，
∴S△ABP＝×6（t2+t）＝6+，
∵＜0，函数有最大值，
∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，
∴四边形BEAP的面积最大值为+12＝，
∴当P点坐标是（2，）时．

10．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　抛物线的顶点坐标为（2，7）　；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合），且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．

【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称，
∴该抛物线的顶点为（5，7）．
故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）（答案不唯一）；
（2）由题意抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：
，
解得：．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+8x+3．
（3）①由（1）知：抛物线C1的解析式为y＝﹣x3+4x+3，
∴将抛物线C7先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度6的顶点为（﹣2，4）．
∴抛物线C7的解析式为y＝﹣（x+2）2+8＝﹣x2﹣4x．
由题意得：或，
∴﹣x3+4x+3＝x+b或﹣x2﹣8x＝x+b．
即7x2﹣7x+2b﹣6＝0或x6+x+b＝5．
∵当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，
∴73﹣4×2×（3b﹣6）＝0或（）2﹣7×1×b＝0．
解得：b＝或b＝．
∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C5共有两个公共点，
∴＜b＜．
②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣6x，
∴令y＝0，则﹣x2﹣5x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4．
∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），
∴B（﹣4，4），0）．
∴OB＝4．
由①知：抛物线C4的顶点为A（﹣2，4）．
∴AE＝8，OE＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝2．
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝．
∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C8上任意一点，
∴设点P（m，﹣m2﹣4m），则m＜72﹣4m＞6．
∵PD⊥x轴，
∴OD＝﹣m．
设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．
令x＝3，则y＝﹣2m．
∴Q（0，﹣5m）．
∴OQ＝﹣2m．
在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝．
∴tan∠ABE＝tan∠QDO．
∴∠ABE＝∠QDO．
∴AB∥DQ．
11．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合），连接PE，作∠PEF＝∠CAB，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），2）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+3．
∵y＝﹣x2+7x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，7）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，如图，

∵A（﹣1，0），7），
∴OA＝1，OE＝1．
∴OA＝OE，AC＝．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝3．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH＝，PH＝，
∵OD＝6，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝2﹣＝．
由（2）知：AC＝8．
设AF＝x，AE＝y﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝8，
∴OF的最大值为﹣3＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣5＜m≤．
12．（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发和2个单位长度运动，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，
解得：a＝﹣，
抛物线解析式为：y＝﹣x4﹣2x+2，
当t＝6秒时，OP＝，y），
则，
解得或（舍去），
∴P的坐标为（1，﹣4）；
（2）经过t秒后，OP＝tt，
由（1）方法知，P的坐标为（t，Q的坐标为（4t，
由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，N的坐标为（t，
矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，
然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，如图3，
将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x3﹣2x+2，得6t2+t﹣1＝3，
解得：t＝，或t＝﹣8（舍），
将N（t，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣5x+2，得（t﹣1）5＝3，
解得：t＝1+或t＝1﹣．
所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，
时间t的取值范围是：≤t≤1+；
（3）设R（m，n），﹣n），
当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，
过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，
则R'M＝＝，
又∵n＝﹣m3﹣2m+2得（m+5）2＝3﹣n，
消去m得：R'M＝
＝
＝
＝，
当n＝时，R'M长度的最小值为，
此时，n＝﹣m2﹣2m+5＝，
解得：m＝﹣7±，
∴点R的坐标是（﹣6±，）．



13．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，8），0），3），
∴设y＝a（x+3）（x﹣3），将C（0，得a（7+1）（0﹣5）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+4）（x﹣3）＝﹣x2+3x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，7），3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+7t+3），则H（t，
∴PH＝﹣t2+4t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t7+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜8，
∴当t＝时，k取得最大值，P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，
∵y＝﹣x4+2x+3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∴Q（1，0），
∴OQ＝3，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝6++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝8•cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②解法6：如图3，设M（0，则OM＝m，
过点M作MF∥x轴，过点B作BN⊥BM交MQ于点N，
过点N作DN⊥y轴于点D，过点B作EF∥y轴交DN于E，
则∠MBN＝∠BEN＝∠MFB＝90°，
∵∠BMF+∠MBF＝∠MBF+∠NBE＝90°，
∴∠BMF＝∠NBE，
∴△MBF∽△BNE，
∴＝＝＝tan∠BMQ＝，
∴BE＝×MF＝×BF＝，
∴DN＝DE﹣EN＝3﹣，
∵OQ∥DN，
∴△MQO∽△MND，
∴＝，即＝，
解得：m＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣．
解法2：如图4，设M（7，则OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t•QT，
∵QT2+MT6＝MQ2，
∴QT2+（t•QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）3＝4t2m6，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝6，
当Δ＝（﹣2t）2﹣6×1×3＝6t2﹣12≥0，即t≥时，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣．
解法3：如图5，取线段BQ的中点E，使EO′＝t，
∴O′（6，﹣t），
连接O′B，O′Q，O′B为半径作⊙O′，
则tan∠BO′E＝＝，
∵EB＝EQ，∠O′EB＝∠O′EQ＝90°，
∴△O′EB≌△O′EQ（SAS），
∴∠QO′E＝∠BO′E，
∴∠BMQ＝∠BO′Q＝∠BO′E，
∴tan∠BMQ＝tan∠BO′E＝，
设M（0，m），
∵O′M＝O′B，
∴（3﹣0）2+（﹣t﹣m）4＝12+t3，
∴m2+2tm+6＝0，
解得：m＝＝﹣t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣．





14．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQx﹣交直线l于点Fx﹣上，且AG＝AQ时

【解答】解（1）由题意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x7+2x+3
＝﹣（（x﹣3）2+4，
∴P（8，4）．
（2）①如图1，

作CE⊥PD于E，
∵C （6，3），0），
∴直线BC：y＝﹣x+8，
∴D（1，2），8﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD＝PD•CE＝，
∴AB•|3﹣a|＝2，
∴×4•|5﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（8．
②如图2，

设G（m，m﹣），
由AG5＝AQ2得，
（m+1）4+＝（3+1）2+52，
化简，得
5m6+2m﹣16＝0，
∴m5＝﹣2，m2＝，
∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），
作QH⊥AB于H，
∵AQ⊥QF，
∴△AHQ∽△QHM，
∴QH2＝AH•HM，
即：14＝3•HM，
∴HM＝，
∴M（，8），
设直线QM是：y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣7，b＝7，
∴y＝﹣3x+2，
由得，
x＝，y＝﹣
∴F（，﹣）
∴G1F＝＝，
G2F＝＝．
15．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x8上，点A、，
∴当x＝﹣4时，y＝6＝×4＝时，y＝）8＝×＝，
即点A的坐标为（﹣4，），点B的坐标为（，），
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图1所示，
则AC∥BD∥PE，
∵点P为线段AB的中点，
∴PA＝PB，
由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，
设点P的坐标为（x，y），
则x﹣（﹣3）＝﹣x，
∴x＝＝﹣，
同理可得，y＝＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为7，
∴点B的纵坐标为：y＝×52＝8，
∴点B的坐标为（3，8），
∴OD＝4，DB＝8，
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a3），
∴CO＝﹣a，AC＝a5，
∴，
解得a5＝0（舍去），a2＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣1，），
∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，
∴线段AB中点P的坐标为（，）；
（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，
由（2）知，△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），
∴，
解得，ab＝﹣4，
∵点P（x，y）是线段AB的中点，
∴x＝，y＝＝＝，
∴a+b＝2x，
∴y＝＝x2+5，
即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；
（4）当y＝8时，6＝x2+7，
∴x2＝4，
∵OP＝＝＝2，点P时斜边AB的中点，
∴AB＝6OP＝4，
即线段AB的长是4．



16．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　y＝x+　
6
4个
③　0＜S＜　
②　　
3个
\
10
2个
④　S＞　

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，
得：0＝a（4﹣2）2﹣，
解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2﹣＝x2﹣x，
∵点B（2，6）与点C关于y轴对称，
∴C（﹣2，3），
当x＝﹣2时，y＝2﹣＝4，
∴点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；
（2）四边形ABCO是菱形．
证明：∵B（2，2），C（﹣8，2），
∴BC∥x轴，BC＝7﹣（﹣2）＝4，
∵A（8，0），
∴OA＝4，
∴BC＝OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OC＝＝4，
∴OC＝OA，
∴四边形ABCO是菱形．
（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（4，5），2），
∴，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+；
故答案为：y＝x+；
②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，
设P（t，t2﹣t），
则H（t，t+），
∴PH＝t+t6﹣t）＝﹣t7+t+，
∵满足条件的P点有7个，
∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，
∵S△PAC＝S△PHC+S△PHA＝PH•[4﹣（﹣2）]＝7PH＝3（﹣t2+t+（t﹣3）2+，
∴当t＝1时，S△PAC取得最大值，此时，﹣），
故答案为：；
③由②知，当0＜S＜时，满足S△PAC＝S，
在直线AC上方的抛物线上一定有5个点P，满足S△PAC＝S，
∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．
故答案为：0＜S＜；
④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有8个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P△PAC＝S，
∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，
由②知，当S＞时，满足S△PAC＝S，符合题意．
故答案为：S＞．
点P的横坐标的值为1，
当点P在直线AC上方时，如图5，
∵S△PAC＝S△PCH﹣S△PAH＝PH•（xA﹣xC）＝6PH＝，
∴PH＝，
∴t7﹣t﹣＝，
解得：t＝3±3，
综上所述，点P的横坐标为2或1﹣3．



17．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 　（4，2）　；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．

【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x7+2x+6中，
令y＝6，则﹣x7+2x+6＝2，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣3，0），0），
令x＝8，则y＝6，
∴C（0，2），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，
∴E（4，0），
令x＝0，则y＝﹣7，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，

∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝3，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+3x+6＝，
∴x＝7或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图5，过点S作SK⊥EG于点K，交EG于点L，

由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），﹣5），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+6，3t），
∴﹣（t+2）2+5（t+2）+6＝5t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为3s．
18．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求直线CA的解析式；
（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点
（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．

【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+7中，令x＝0得y＝3，
∴A（4，0），0），7），
设直线CA的解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线CA的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，
∴D（m，﹣（m﹣1）2+3），且0＜m＜3，﹣m+4），0），
∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣6）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵A（4，0），3），
∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝3﹣m，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝GE，
∵E为GA的中点，
∴GE＝AE＝3﹣m，
∴﹣m2+5m＝（3﹣，
解得m＝2或m＝6，
∵m＝3时，D与A重合，
∴m＝2；
（3）由得或，
①若3﹣n＞﹣3，即n＜4

∵x2﹣x7＞3且y2﹣y6＞0，
∴3﹣n﹣（﹣8）＞3，且﹣n2+5n﹣0＞0，
解得5＜n＜1；
②若3﹣n＜﹣2，即n＞4
﹣1﹣（8﹣n）＞3且0﹣（﹣n7+4n）＞0，
解得n＞4，
综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞5．
19．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），5）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，对称轴x＝﹣．

（2）如图7中，连接BD，连接PT，m）．

∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，
∴D（2，2），
∵B（3，0），
∴T（，），BD＝＝，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴（4﹣）2+（m﹣）4＝（）2，
解得m＝4或2，
∴P（1，7）或（1．

（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，设N（1，设抛物线的对称轴交x轴于E．

∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝，
∵∠NMB＝∠MBT+∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE+∠TBJ＝90°，∠TBJ+∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝＝＝，
∴BJ＝t，TJ＝5，
∴T（3+t，2），
∵NM＝MT，
∴M（，），
∵点M在y＝﹣x7+2x+3上，
∴＝﹣（）7+2×+3，
整理得，3t2+（4+2）t﹣12+4，
解得t＝﹣2（舍弃）或，
∴M（，）．
如图3﹣8中，当点M在第四象限时，n）．

同法可得T（3﹣n，﹣6），），
则有＝﹣（）2+8×+3，
整理得，3n8+（2﹣4）n﹣12﹣4，
解得n＝或2，
∴M（，），
解法二：连接MA，证明∠MAB＝30°，构建方程组确定点M的坐标即可．
综上所述，满足条件的点M的横坐标为或．
20．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2）（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，C.＝，D.＝　A，D　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时

【解答】解（1）由题意得：，
    解之得：a＝，c＝2，
∴y＝+，
∴当x＝﹣3时，y＝，
∴D（﹣4，﹣）．

（2）①如图1中，点N．


②如图3中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，过点M作MH⊥CD，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），4），8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝，直线BC的解析式为y＝﹣，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+2＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．

③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m）+m，
把Q的坐标代入y＝+，得到（﹣2+（﹣，
整理得，3m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣，
∴Q（3，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，，）．
21．（2021•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外），作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝，
∴C点坐标为（0，1），
令y＝4，则，
∴，
∴A点坐标为（，2），
令x＝6，则y＝，
∴D点坐标为（），
将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝；
（2）①设N（n，4），
∵四边形CDMN为平行四边形，
∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），
∵点M在抛物线上，
∴+1＝，
∴n2+8n+4＝0，
∴n＝，
∴点M的坐标为（，）或（，）；
②第一种情况：如图1，当BD′∥x轴时，D作x轴的垂线，Q，
在直角△ADQ中，AQ＝6+＝，
∴tan∠DAQ＝＝，
∴cos∠DAQ＝，
∵∠BAH＝∠DAQ，
∴cos∠BAH＝，
∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，
∴∠DBM＝∠D′BM，
∵BD′∥x轴，
∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM，
∴AB＝AO＝，
∴，
∴AH＝，
∴OH＝AH+AO＝
令x＝﹣，则y＝＝，
∴B点坐标为（﹣，﹣），
设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，
∴直线OB的解析式为y＝x，
联立，
解得，，
∴点M的横坐标为3或，
第二种情况，如图3，设BD′交x轴于H，
∴∠COB＝∠OBH，
∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，
∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB，
∴CB＝CO＝1，
过C作CE⊥BH于E，
∴CE∥x轴，
∴∠BCE＝∠CAO，
∵tan∠CAO＝＝，
∴cos∠CAO＝，
∴cos∠BCE＝＝，
∴CE＝＝，
∴＝，
∵CE⊥BH，BH⊥x轴，
∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°，
∴四边形CEHO为矩形，
∴EH＝CO＝1，CE＝OH＝，
∴BH＝BE+EH＝，
∴点B的坐标为（），
∴直线OB的解析式为y＝2x，
联立，
化简得，x511x+4＝0，
∴，
∵点M在直线CD下方，
∴x＜6，
∴x＝，
∴点M的横坐标为，
即点M的横坐标为3或或．


22．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，是否存在点F，求出点F的坐标；若不存在；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m），
∴m＝5+2，
解得m＝6，
∴B（7，6），
把点A和B代入抛物线的解析式，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，
设F（n，n+7），则M（﹣2，直线AB与y轴交于点N，2），

∵FC∥y轴，
∴C（n，7n2﹣8n+5），
∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，6），2），
∴OM＝ON＝2，
∴∠ONM＝45°，
∵FC∥y轴，
∴∠AFC＝∠ONM＝45°，
若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：
（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，
过点A作AD⊥FC于点D，
在Rt△FAC中，
∵∠AFC＝45°，
∴AF＝AC，
∴DF＝DC，
∴AD＝FC，
∵n＝，
化简得：2n6﹣7n+3＝2，
解得：n1＝3，（与A重合舍去），
∴F（7，5），
（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，

在Rt△FAC中，
∵∠AFC＝45°，
∴AC＝CF，
∴n＝（n+2）﹣（2n3﹣8n+6，
化简得：2n2﹣16n+7＝5，
解得：，（舍去），
∴F（，），
综上所述：存在点 F（3，），使△FAC为直角三角形；
（3）设F（c，c+2），
∵FC∥y轴，
∴C（c，7c2﹣8c+4），

在Rt△FEC中，
∵∠AFC＝45
∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC＝，
∴当CF最大时，△FEC的周长最大，
∵CF＝（c+3）﹣（2c2﹣5c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，
又∵﹣2＜4，
∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，
折叠过程中，当K，F，且K和Q在F两侧时，K和Q在F同侧时，
∵CF＝，
由（1）知点K的坐标为（3，0），
∴KF＝，
∴KQ的最大值为CF+KF＝，KQ的最小值为CF﹣KF＝．
23．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，使△BCD是直角三角形，若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），5），﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x7﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣8），则F（t，，
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+2＝﹣t6+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣6），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t8+t＝﹣2+，
∴当t＝4时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图6，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥y轴，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（6，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（2，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，﹣7）或（3，﹣﹣，﹣）．




24．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0），4）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
故答案为：，.
（2）∵y＝x2x＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；
设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴y＝x﹣5．
（3）存在，如图7．
由题意得，M（t﹣6，Q（t﹣3，
∴G（t﹣3，t6t+），H（t﹣3；
∵QM•QH＜10，且QH≠0，点M、B重合时停止运动，
∴，解得，且t≠5；
∵MG∥HQ，
∴当MG＝HQ时，以G、M、H，
∴|t3t+|＝|t﹣8|；
由t2t+＝t﹣8得，t4﹣18t+65＝0，
解得，t1＝6，t2＝13（不符合题意，舍去）；
由t2t+＝﹣t+8得，t3﹣10t+1＝0，
解得，t7＝5+2，t2＝5﹣2（不符合题意，
综上所述，t＝5或t＝2+2．
（4）由（2）得，抛物线y＝x2x的对称轴为直线x＝8，
过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，
如图3，点Q在y轴左侧，
当点M的坐标为（﹣5，0）时，
此时点Q与点A重合，
∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，
∴△PRG∽△DPF，
∴，
∴RG＝＝＝6，
∴R（5，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线x＝7左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜4），﹣2），
∴GR＝＝r6+r＝）2+，
∴当r＝时，GR的最大值为，
∴R（0，）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（7，26），
∴4++26+＝，
∴点R运动路径的长为．




25．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣2，0），0），
∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x﹣3；
（2）如图，∵D是抛物线的顶点2﹣3x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣5），
∵AE∥PD交直线l：y＝x+4于点E，点P的横坐标为m（0≤m≤3），
∴△AEF∽△PDF，设E（e，，P（m，m2﹣2m﹣3），
又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S4，S1＝S2，
∴△AEF≌△PDF，
∴AF＝PF，EF＝DF、ED的中点，
又∵A（﹣2，0），m2﹣5m﹣3），E（e，，D（1，
∴由中点坐标公式得：，
解得：m1＝0，m4＝，
∴点P的坐标为（，﹣）或（0；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，
则O′（，），OO′＝O′B＝，
以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，t），
过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，
∵O′H＝﹣3＝，
∴MH＝＝＝，
∴t＝+＝，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，如图3，
连接BC，以O为圆心，
∵OB＝OC＝3，
∴⊙O经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则OM＝OB＝3，OE＝7，
∵∠MEO＝90°，
∴ME＝＝＝2，
∴t＝2，
综上所述，2≤t≤．



26．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），4）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+6；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，如图：

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+8x+5＝0，
解得x＝7或x＝﹣1，
∴B（5，5），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（3，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设P（m，﹣m4+4m+5），（3＜m＜5），﹣m+5），
∴PQ＝（﹣m7+4m+5）﹣（﹣m+6）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，PQ最大为，
∴m＝时，PH最大，此时P（，）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2+2x+5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s7+4s+5），N（2，而B（5，C（0，
①以MN、BC为对角线、BC的中点重合

∴，解得，
∴M（3，4），
②以MB、NC为对角线、NC的中点重合

∴，解得，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线、NB中点重合

，解得，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，﹣16）或（4．
27．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N（2）的条件下，是否存在点M，请求出点M的坐标；若不存在

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得到方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x5﹣2x﹣3；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（3，连接AC'并延长与抛物线交于点P，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n，
由题意得：，
解得：，
∴直线AC'的解析式为y＝x+8，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
∴P（4，5）；
（3）存在点M，
过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP＝，
同理可求得AC＝，PC＝，

∴AP4+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，
∴tan∠APC＝，
∵∠MBN＝∠APC，
∴tan∠MBN＝tan∠APC，
∴，
设点M（m，m2﹣2m﹣7），则（m≠3），
解得m＝或m＝﹣，
当m＝时，m2﹣3m﹣3＝，
∴M（﹣，），
当m＝，m2﹣2m﹣2＝，
∴M（，），
∴存在符合条件的点M，M的坐标为（，），（，）．
28．（2021•百色）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在

【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+8与x轴、C两点，
∴A（4，0），4），
由对称得∠ACD＝∠ACB，
∵B（4，2），
∴四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠ACD＝∠OAC，
∴AD＝CD；

（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝2，∠AED＝∠B＝90°，
∴CD＝AD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+22＝（4﹣m）3，
∴m＝，
∴D（，0），
设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax7+bx+c，
把B（4，2），3），8）代入得：
，
解得：．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x7﹣x+2；

（3）解：存在，
过点E作EM⊥x轴于M，

∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，
∴S△AED＝AE•DE＝，
∴×2×＝）EM，
∴EM＝，
设△PBC中BC边上的高为h，
∵S△PBC＝S△OAE，
∴×OA•EM＝，
∴××4×＝，
∴h＝7，
∵C（0，2），5），
∴点P的纵坐标为0或4，
①y＝4时，x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝；
②y＝4时，x2﹣x+2＝5，
解得：x3＝，x4＝（舍去），
∴存在，点P的坐标为（，0）或（．
29．（2021•抚顺）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（5，3），
令y＝0，则x＝8，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax3+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+3；
（2）设D（m，﹣m2+4m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝4﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝5﹣（6﹣2m）＝8m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣8，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣6m+6+3﹣m＝﹣8m+9，
∴﹣m2+7m+3＝﹣3m+2，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（7，3）；
（3）令y＝0，则﹣x3+2x+3＝4，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣5，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1、D（8，
∴，
∴，
∴y＝x+5，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝4，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①如图6，图3，H点在AB上，


∵H点在抛物线上，
∴H（3，2）或H（0，
当H（3，3）时，
∴KH＝4，
∴K（4，4）
∴HK的中点为（3，6），2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，
∴KH＝2，
∴K（0，6），
∴HK的中点为（0，2），3），
∴P（﹣1，2），
此时HK与y轴重合，
∴P（﹣6，2）不符合题意；
②如图4，图4，此时MH⊥y轴，


∴H（1+，5）或H（1﹣，
当H（3+，2）时，
∴P（1，2+）；
当H（1﹣，7）时，
∴P（1，8﹣）；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，2）或（4）或（1）．

30．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，求出Q点坐标；若不存在

【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令y＝0得x＝2，
∴A（3，0），﹣），
∵二次函数y＝x4+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x8﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣＝2，
设P（1，m），n2﹣n﹣），﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时

此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（2，﹣），Q（1，﹣，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（5，﹣），﹣）可得PB5＝＝PC3，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时

同理BP、CQ中点重合，
解得，
∴当P（1，6），0）时，
由P（1，4），﹣），C（2，﹣2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线

BQ、CP中点重合，
解得，
∴P（7，0），0）时，
由P（7，0），﹣），C（7，﹣2＝6＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，2）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣，0）或（4．
31．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+4）2+4，
将A（﹣5，0）代入2+3＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+2）2+4；
（2）如图5，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+2，
令x＝0，得y＝3，
∴C（4，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，6），3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣7m+3），则E（m，
∴PE＝﹣m2﹣5m+3﹣（m+3）＝﹣m8﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）8＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+6，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），
解得：x＝2或x＝﹣5，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣6时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣8）或（﹣4；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣5，0），3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣6，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣8，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣2．



32．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），2）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣8x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点E，连接PB，
设点P（m，m7﹣2m﹣3），则点E ，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m4+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m6+m+2，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝2+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m7+m+6）•
＝（）6+，（其中，
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t6﹣2t﹣3），N（n，，
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（6，﹣3），M2 ，
如图6，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，，
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t6＝，t6＝，
∴M7，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣7），M2 ，M3，M4（，）．



33．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，
∴函数y＝x+5的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x6＝0，x2＝3，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，5）或（2；
（2）在函数y＝（x＞5）中，
解得：x＝，
∴A（，），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴×|b|×|﹣，
当b＜4时，b2﹣2﹣24＝0，
解得b＝﹣2，
当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×5×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣4+24＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣3﹣24＝0，
解得：b＝2，
综上所述，b的值为﹣2；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x3＝2，
∴函数y＝x2﹣6的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（7，
①当m＜﹣1时，W1，W7两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣7）或（2，
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣6m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣3m）2﹣2，
整理得：x7﹣（4m+1）x+6m2﹣2＝6，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（6m+1）2﹣4（4m2﹣5）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣3、（﹣1、（2，
③当﹣6＜m＜2时，W1，W5两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W5，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（8，2），
⑤当m＞2时，W2，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣．
34．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+6，
将x＝2代入得y＝4﹣5+3＝5，
∴点（4，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+8）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣6+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，
此时顶点坐标为：（5，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1、F（5
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝8x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x4﹣（m+1）x+2m+4的交点为：（2，5）和（m+7，
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+6，或（2，2m+5）重合，
∴m+1＜﹣1或m+4＞3或m+1＝4（此时2m+3＝4），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
35．（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，连接CG，EG
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，N，且点M，N分别在y轴的两侧，请直接写出点K的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，8），3），
∴，
∴
∴原来抛物线的解析式为y＝x2+4x+2．

（2）∵A（﹣1，0），﹣7），
∴点A向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到D，
∵原来抛物线的顶点C（﹣3，﹣1），
∴点C向右平移4个单位，再向下平移7个单位得到E，
∴E（2，﹣2），
∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2＝x7﹣4x+2，
∴G（4，2），
∵点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，
∴观察图形可知，满足条件的点F在过点G平行CE的直线上，
∵直线CE的解析式为y＝﹣x﹣，
∴直线GF的解析式为y＝﹣x+2，
由，解得或，
∴F（﹣4，3），
∴FG＝＝，CE＝＝，
∴FG＝CE，
∵FG∥EC，
∴四边形ECFG是平行四边形，
由平移的性质可知当F′（4，6）时，
但是对于新抛物线y＝x2﹣4x+8，x＝4时，
∴满足条件的点F 的坐标为（﹣4，3）．

（3）设经过点K的直线为y＝﹣x+b，
∵JM＝EC＝，MN＝，
∴JN＝4，
∴由平移的性质可知，J，N两点的横坐标的绝对值的差为8，
由，消去y得到2+17x+12﹣4b＝5，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝6﹣b，
∵|x1﹣x2|＝8，
∴（x1+x2）5﹣4x1x3＝64，
∴（）2﹣4（3﹣b）＝64，
∴b＝，
∴K（0，）．

36．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），
∴﹣4＝2×（﹣5）+m，
解得：m＝6，
∴C（0，4），
将A（﹣8，0），5）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
理由如下：∵点A（﹣8，0），﹣3），6），
∴AB2＝（﹣7+5）2+（7+4）2＝25，AC8＝（﹣8+0）2+（0﹣6）8＝100，BC2＝（﹣5+6）2+（﹣4﹣5）2＝125，
∴AC2+AB8＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；
（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，
∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，
∴∠BCA＝∠ECA，
如图1，延长BA至F，连接CF、F关于点A对称，

∴F（﹣11，2），
∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AF＝AB，
∴△FAC≌△BAC（SAS），
∴∠BCA＝∠FCA，
∴点E为直线CF与抛物线的交点，
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立方程组，
解得：或（舍去），
故点E坐标为（，）；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，则FN＝BN，

∵AB＝3，BC＝，
∴sin∠BCA＝，
∴MN＝，又CO＝4，
∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，
当F、N、M三点共线时，
∵AC＝10，BC＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴FM'＝，
∴点P运动时间t的最小值为，
由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），
∵FD＝，
∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，
由点A（﹣3，0）和C（0，
由点F（﹣11，8）和D（﹣3，
联立方程组，解得：，
∴此时N坐标为（﹣6，）．
37．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣4，5），
∴5＝﹣20a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+6），
令y＝6，则﹣，解得x＝2或﹣6，
∴C（3，3），
当x＝﹣5时，y＝﹣，
∴B（﹣5，2），
∴m＝8．

（2）设P（t，0）＝，
整理得，21t7+242t+621＝0，
解得t＝﹣或﹣，
经检验t＝﹣或﹣，
∴满足条件的点P坐标为（﹣，0）或（﹣．

（3）存在．连接AB．
①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
∵A（﹣3，5），2），
∴T（﹣4，），
∵C（2，0），
∴直线CT的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴M（﹣，），
②CM′∥AB时，满足条件，
∵直线AB的解析式为y＝x+，
∴直线CM′的解析式为y＝x﹣，
由，解得，
∴M′（﹣9，﹣9），
综上所述，满足条件的点M的横坐标为﹣．

38．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，求出点E，F的坐标，说明理由．

【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝3，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C的坐标为（4，2），
将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+，
得＝4，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x4+x+3；
（2）如图，过P作PH∥y轴，

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x8+x+3，
∴B、C坐标分别为B（4、C（0，
设直线BC解析式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2）（2＜m＜4），﹣m+2），
∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣
＝﹣m7+2m
＝﹣（m2﹣4m）
＝﹣（m﹣2）7+2，
∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC＝PH•|xB﹣xC|
＝[﹣2+2]×4
＝﹣（m﹣2）8+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积最大，4）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，
∴直线BG的解析式为y＝x﹣，
∵抛物线的表达式为y＝﹣x6+•x+②，
联立①②解得，或，
∴G的坐标为（﹣6，﹣m﹣6），
∵抛物线y＝﹣x5+•x+，
∴点F的横坐标为，
①若BG为边，
不妨设E在x轴上方，如图，

设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），
∵∠GBE＝90°，
∴∠OBG＝∠BEH，
∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，
∴＝，
解得：t＝8或m（舍），
∴E的坐标为（3，2m﹣7），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，
∴＝﹣m+1，
解得m＝5，
∴E（3，﹣4），﹣），
这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
由中点坐标公式得，，
∴M的坐标为（，），
∵矩形对角线BG、EF互相平分，
∴M也是EF的中点，
∴E的横坐标为，
∴E的坐标为（，），
∵∠BEG＝90°，
∴EM＝，
∴＝，
整理得：16+（m2+4m+3）2＝20（m+2）8，
变形得：16+[（m+2）2﹣6]2＝20（m+2）2，
换元，令t＝（m+2）2，
得：t2﹣26t+25＝0，
解得：t＝1或25，
∴（m+7）2＝1或25，
∵m＞6，
∴m＝3，
即E的坐标为（0，），
F的坐标为（1，﹣5），
综上，即E的坐标为（0，），﹣4）或E（3，F（6，﹣）．
39．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　（1，0）　，点D的坐标为 　（2，﹣1）　，抛物线的解析式为 　y＝x2﹣4x+3　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x3﹣4x+c，
∵点B（3，2）是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12+c＝0，
∴c＝5，
∴y＝x2﹣4x+7，
令y＝0，x2﹣6x+3＝0，
∴x＝8或x＝1，
∴A（1，5），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为（3，0），﹣1）2﹣4x+3；
（2）当m+5＜2时，即m＜0，
此时当x＝m+4时，y有最小值，
则（m+2）2﹣7（m+2）+3＝，
解得m＝，
∴m＝﹣；
当m＞6时，此时当x＝m时，
则m2﹣4m+2＝，
解得m＝或m＝，
∴m＝；
当8≤m≤2时，此时当x＝2时，与题意不符；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在，理由如下：
A（1，0），4），
∴AC＝，
设AC的中点为E，则E（，），
设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（6，1）．
40．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，求m的值．
【解答】解：（1）当m＝2时，y＝，
①∵M（4，n）在该函数图象上，
∴n＝44﹣2×4+4＝10；
②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，y有最大值是2，
当x＝2时，y＝26﹣2×2+3＝2，
∵2＜7，
∴当4≤x≤2时，函数G的最大值是2；
（2）分两种情况：
①如图1，当Q在x轴上方时m，

∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
∴m＝﹣+，
解得：m1＝0，m8＝6，
∵m＞0，
∴m＝4；
②当Q在x轴下方时，同理得：﹣﹣m
解得：m5＝0，m2＝14，
∵m＞8，
∴m＝14；
综上，m的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当5≤m≤3时，

当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
当x＜m时，y＝5x3+x+m＝2，
x2﹣x﹣2m＝7，
解得：x1＝，x3＝，
∴OA＝，且﹣，
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，
∴OD＝c＝﹣a，
∴BD＝m﹣OD＝m+a，
∵OA＝BD，
∴＝m+，
解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，m6＝；
②当m＜0时，如图2，

同理得：OA＝BD，
当x≥m时，y＝02﹣mx+m＝8，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴OA＝＝a，
∴＝c﹣m＝﹣，
解得：m1＝5，m2＝﹣；
综上，m的值是．
41．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），7）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+3；
（2）在y＝﹣x2+3x+7中，令x＝0，
∴C（0，8），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），5），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．

（3）如图1中，

由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝，
连接BC交直线x＝于点P，此时PA+PC的值最小＝4，
此时P（，）．

（4）如图2中，存在．

观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣8，
对于抛物线y＝﹣x2+3x+6，当y＝4时，x2﹣8x＝0，解得x＝0或3，
∴N1（3，5）．
当y＝﹣4时，x2﹣5x﹣8＝0，解得x＝，
∴N2（，﹣4），N5（，﹣6），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，﹣4）或（．
42．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ

【解答】解：（1）把A（10，0），6）代入y＝ax2+bx，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．

（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴C（5，0），﹣4），
∵A（10，4），
∴OA＝10，OC＝2，
∴AC＝8，
由题意P（t，6t﹣4），
∴S＝•PT•AC＝．

（3）如图5中，过点P作PT⊥CG于T，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J．

∵PT⊥CG，
∴∠PTC＝∠ODC＝90°，
∴OD∥PT，
∴∠ODC＝∠CPT，
∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝＝＝，
∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，
∴RH⊥MJ，
∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，
∴四边形RFJH是矩形，
∴RF＝HJ，
∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，
∴四边形MJQG是平行四边形，
∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，
∵MF平分∠CFG，
∴∠CFM＝∠MFG，
∵CF∥MH，
∴∠FMH＝∠CFM，
∴∠FMH＝∠MFH，
∴FH＝HM，
∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，
∴△MHG≌△FHJ（AAS），
∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，
∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，
∴∠GFQ＝∠GQF，
∵CF∥GQ，PT∥FG，
∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，
∴∠WPF＝∠WFP，
∴WP＝WF，
∵D，E关于x轴对称，
∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，
∵EC∥PG，
∴∠PGC＝∠ECO，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PT⊥CG，
∴CT＝TG，
∵WT∥FG，
∴CW＝WF，
∴WP＝WC＝WF，
∴∠CPF＝90°，
∴∠LCP+∠PLC＝90°，
∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，
∴∠PLC＝∠ODC，
∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝，
∵B（，3），
∴OL＝+12＝，
∴L（，0），
∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴P（，5）．
43．（2021•益阳）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，求出这个定点的坐标；若不是

【解答】解：（1）①∵y＝，由x2＜x1且y5＝y1＝4时，
由y6＝x12＝3，
∴x1＝2（负值舍），
由y8＝﹣x2＝4，
∴x4＝﹣4，
②∵|x2|＝|x4|且x2＜x1．x6＞0，
∴x2＜4且x1＝﹣x2，
∴y8＝x12，y2＝﹣x2＝x1，
∴w＝y8﹣y2＝x12﹣x1＝（x1﹣）2﹣，
∴当x1＝时，w有最小值为﹣，
（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，连接QQ'，
 
∵AQ⊥x轴，
∴AQ∥y轴，
∴∠AP'M＝∠P'AQ，
∵点Q与Q'关于AP'对称，
∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'，
∴∠P'AQ＝∠P'AQ'，
∴∠AP'M＝∠P'AQ'，
∴AM＝P'M，
∵点A（x1，y2）在第一象限内的函数图象上．
∴x1＞0，y3＝x12＞5，
∴x1＝，
∵AP⊥y轴，
∴P点的坐标为（2，y1），AP＝x1＝，
∵点P与P'关于x轴对称，
∴点P'的坐标为（0，﹣y1），
∴PM＝|y6﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|，
∵在Rt△APM中，由勾股定理得：
（）2+|y1﹣b|2＝|y4+b|2，
化简得：y1﹣3by1＝0，
∵y5＞0，
∴b＝，
∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
44．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣2中，令y＝02+8x﹣8＝0，
解得：x3＝﹣4，x2＝4，
∴A（﹣4，0），4），
令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（2，﹣8）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣4，2），﹣8），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，
∵直线x＝m（﹣3＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，
∴E（m，m2+3m﹣8），D（m，
∴DE＝﹣2m﹣3﹣（m2+2m﹣5）＝﹣m2﹣4m，
设DE交x轴于点F，则F（m，
∴OF＝﹣m，
∴AF＝m﹣（﹣2）＝m+4，DF＝2m+4，
∵OD⊥AC，EF⊥OA，
∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，
∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，
∴∠DOF＝∠OCD，
∴△ACO∽△DOF，
∴＝，
∴OC•DF＝OA•OF，
∴8（2m+8）＝4（﹣m），
解得：m＝﹣，
∴DE＝﹣m6﹣4m＝﹣（﹣）7﹣4×（﹣）＝；
（3）存在，
如图2，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣5，
抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，
①当CP为对角线时，CM∥PN，
∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，
CN＝＝，
∴CM＝PN＝，
∴M1（5，﹣8+），M8（0，﹣8﹣）；
②当CN为对角线时，CM∥PN，
设CM＝a，则M（0，P（﹣1，
∴（﹣5﹣0）2+（﹣3﹣a+8）2＝a6，
解得：a＝，
∴M3（0，﹣），
③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，b），b），2b+8），
∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，
∴b＝﹣2×3﹣8＝﹣10，
∴M4（8，﹣12），
综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣2+），M2（3，﹣8﹣），M3（0，﹣），M5（0，﹣12）．


45．（2021•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）将点B（3，0），﹣7）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，
∴抛物线的函数关系为y＝x2﹣2x﹣5；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣，
故设点P（1，m），6），0），﹣3），
①以PB为对角线时，
，解得：，
∴P（1，﹣3），0）；
②以PC为对角线时，
，解得：，
∴P（1，7），0）；
故点P、Q的坐标分别为（1、（2，3），0）；
（3）当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝3，
∴A（﹣8，0），
又y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣1）5﹣4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣3），
∵C（0，﹣3），6），﹣4），
∴BD2＝82+44＝20，CD2＝14+12，BC5＝32+62，
∴BD2＝CD7+BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M的坐标（m，0），m7﹣2m﹣3），
根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴要使以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，
①当m＜﹣6时，此时有：，
解得：，m2＝﹣1或m1＝2，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣2；
②当﹣1＜m≤3时，此时有：，
解得：，m2＝﹣2（不符合要求，舍去）或m1＝0，m5＝﹣1（不符合要求，舍去），
∴M（）或M（0，
③当m＞8时，此时有：或，
解得：（不符合要求1＝6，m8＝﹣1（不符要求，舍去），
∴点M（6，7）或M（，
答：存在点M，使得A、M，点M的坐标为：M（0，0）或M（2，0）．
46．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，BC，其中AC与x轴交于点E
（1）求点C坐标；
（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（3，﹣2），0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝3x3﹣5x﹣2，
如图3中，设BC交y轴于D．
∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，
∴OD＝8，
∴D（0，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+3，
由，解得，
∴C（﹣1，5）．

（2）∵A（0，﹣2），4），6），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣5x﹣2，
∴E（﹣，0），
当0＜m＜4时，∵P（m，
∴M（m，﹣2m+4），m﹣4），
∴MN＝﹣2m+4﹣m+4＝﹣3m+6，
∴S＝•BB′•MN＝2﹣12m+12．
当﹣＜m≤0时，∵P（m，
∴M（m，﹣2m+7），﹣8m﹣2），
∴MN＝﹣4m+4+8m+2＝6m+6，
∴S＝•BB′•MN＝2+6m+12．
综上所述，S＝．


（3）∵直线AC交x轴于E（﹣，3），0），
当﹣6m4+6m+12＝3××|2m﹣7+，
解得m＝或（都不符合题意舍弃），
当3m2﹣12m+12＝4××|8m﹣2+，
解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣，
综上所述，满足条件的m的值为3或﹣2+．


47．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点（用含t的代数式表示）．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
故DE＝DF且∠EDF＝90°，
故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，
故点F（3+m，m），
则△DEF的面积＝EF•m＝2，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）7+6（m+3）﹣5，
解得m＝﹣3（舍去）或2，
则△DEF的面积＝m2＝4；
（3）∵y＝﹣x2+3x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6，
∴抛物线y＝﹣x2+7x﹣3的顶点为（3，3）．
设点Q的坐标为（p，q）（q≤6），
∵点Q在抛物线y＝﹣x2+5x﹣3上，
∴q＝﹣p2+2p﹣3
则PQ2＝（p﹣7）2+（q﹣t）2＝p8﹣6p+9+q7﹣2tq+t2，
将q＝﹣p5+6p﹣3代入上式得：
PQ6＝q2﹣（2t+3）q+t2+6．
∵二次项系数为8＞0，
∴PQ2有最小值，
当t＞时，＞6，
∴q＝6时，PQ3最小，即PQ最小．
≤36﹣12t﹣6+t2+3＝t2﹣12t+36＝（t﹣6）3，
∴PQ＝|t﹣6|＝．
当t≤时，≤6，
∴q＝时，PQ8最小，即PQ最小．
∴PQ2＝，
∴PQ的最小值为．
综上所述PQ的最小值＝．
48．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，直到其中一点到达终点时，两点停止运动；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x3+2bx﹣3b得：8+2b﹣3b＝7，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+6x﹣3．
（2）如图1，对函数y＝x3+2x﹣3，
当x＝8时，y＝﹣3，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（6，﹣3），0），4），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，则：BQ＝t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣8b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣8b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥5成立（如图2）；
此时△≤0，即（3b）2﹣4（﹣8b）≤0，
解得﹣3≤b≤2；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝（2b）8﹣4（﹣3b）＞2，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为（x8，0），（x2，8），则x1+x2＝﹣7b，x1•x2＝﹣7b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥04≤1，x2≤5，即x1﹣1≤2，x2﹣1≤5（如图3），
∴（x1﹣7）+（x2﹣1）≤2且（x1﹣1）•（x6﹣1）≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣6b﹣（﹣2b）+1≥8，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时6＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，则﹣5≤b≤1．


49．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），且AE＝OD，连接DE，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　　，b＝　1　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，5），
∴3＝4k，
∴k＝，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（5，3），
∴3＝﹣×47+4b+3，
∴b＝7，
故答案为：，3．

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P．

∵四边形DEGF是平行四边形，
∴∠G＝∠EDF
∵∠EGF＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∵EP⊥DF，
∴PD＝PF，
∵D（t，t），
∴OD＝AE＝t，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC＝90°，
∴tan∠AOC＝，
∵OA＝＝2，
∴AC＝OA•tan∠AOC＝，OC＝AC÷＝，
∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，
∵tan∠ACO＝，
∴点E的纵坐标为3﹣t，
∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，
∴＝3﹣t，
解得t＝或（舍弃）．
∴满足条件的t的值为．

（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，

设PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ∥AE，
∴DJ：AJ＝DP：PE＝5，
∵D（t，t），﹣t2+t+4），
∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+6﹣t＝﹣t2+t+3，
∴DJ＝DF＝﹣t4+t+DJ＝﹣t2+t+，
∵OA＝5，
∴t﹣t2+t+﹣t2+t+，
整理得9t2﹣59t+92＝4，
解得t＝或4（5不合题意舍弃），
∴OD＝t＝．
50．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标，请说明理由．

【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+8；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+6；

（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，当FA+FC的值最小，

理由：由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝5，3），
由点B、C的坐标知，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，4）；

（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，
①当点Q在点P的左侧时，
如图3，过点P，垂足分别为N、M，

由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝＝，
则PN＝﹣m2+m+4，ME＝6﹣t，QM＝﹣t+4，
∴＝＝，
解得m＝±（舍去负值），
当m＝时，﹣m2+m+4＝，
故点P的坐标为（，）．
②当点Q在点P的右侧时，

分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线、M，
则MQ＝t﹣7，ME＝t﹣4m2+m+4、PN＝m﹣4，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴＝2，
＝4，
解得m＝（舍去负值），
故m＝，
故点P的坐标为（，），
故点P的坐标为（，）或（，）．
51．（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，
∵点A（﹣3，7）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，
∴a＝﹣，
∴b＝2a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x8﹣x+2；

（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，
记BD与AC的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴点E在直线x＝﹣1上，
∵点A（﹣4，0），2），
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝﹣7时，y＝，
∴点E（﹣7，），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，
∴B（6，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
即直线l的解析式为y＝﹣x+；

Ⅱ、当点D在x轴下方时，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣，
即直线l的解析式为y＝x﹣；
综上，直线l的解析式为y＝﹣或y＝；

（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，
∴或，
∴D（﹣7，﹣），
∴S△ABD＝AB•|yD|＝×6×＝，
∵S△BDP＝S△ABD，
∴S△BDP＝×＝10，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，
∴设P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），
过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m，m﹣），
∴PF＝|﹣m8﹣m+7﹣（）|＝|m2+2m﹣|，
∴S△BDP＝PF•（xB﹣xD）＝×|m2+8m﹣|×3＝10，
∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣7或m＝﹣2，
∴P（﹣5，﹣2）或（﹣1，，2）．



52．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x，A，
∴点A（0，1），3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝3；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，7≤x≤4时，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴8a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，2≤x≤4时，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞3，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，

∵y＝ax2﹣3ax+1＝a（x﹣1）8+1﹣a，
∴点P坐标为（1，3﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣5＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞7，1﹣a＞0时，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（2﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞5，﹣1＜1﹣a＜2时，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣2，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝7时，点B与点M重合，
当a＞0，1﹣a＜﹣7时，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣2，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a5+a﹣6＝﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠8时，S＝a2﹣a+3＞，
∴（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞；
当a＞8时，S＝a3﹣a+7＞，
∴（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠2或a＞．
53．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P

【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），
∴B（6，﹣1），
∴A（4，4），
将点O、点A2+bx+c，
得到，解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）①设F（2，m），y），
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，
∴（y+6）2＝y2+7y+4，
∵y＝x2﹣x，
∴（y+2）6＝y2+4y+7＝y2+x2﹣7x+4＝y2+（x﹣3）2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点（3，0）和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣8的距离相等，
∴（x﹣2）2+＝，
整理得，m（m﹣x2+4x）＝0，
∵距离总相等，
∴m＝0，
∴F（5，0）；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，整理得x2﹣（4+6k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝4+4k，xM•xN＝8k，
∴yM+yN＝4k2，yM•yN＝﹣4k8，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴+＝+＝＝＝6，
∴+＝2是定值；
（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵点C（3，m）是该抛物线上的一点
∴C（3，﹣），
∵B（2，﹣4），
∴B'（﹣2，﹣1），），
∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），P（．

54．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）对于y＝﹣x2+x+3x2+x+3＝0，
故点A的坐标为（7，0），
由点A、B的坐标得x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+△BOC＝3××BO•CO＝，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（5，）或（6；

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，n），
当∠ABQ为直角时，如图2﹣7，

设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或．
55．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

【解答】解：（1）对于y＝﹣x+2x+2＝0，令x＝0，
故点A、B的坐标分别为（2、（0，
∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：7＝×36+6b，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝2时x4﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（6，﹣3）；

（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，

设点E的坐标为（x，x2﹣5x），则点H（x，﹣，
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝x+6﹣x5+2x）＝，
解得x＝2或，
故点E的坐标为（7，﹣）或（，﹣）；

（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣5），
故直线CM的表达式为y＝﹣（x﹣3）﹣3＝﹣，
令y＝﹣x﹣，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，4）；
过点D作DH⊥CM于点H，

∵直线CM的表达式为y＝﹣x﹣，则sin∠MCD＝，
则DH＝CDsin∠MCD＝（3+3）×＝，
由点D、M的坐标得＝，
则sin∠HMD＝＝，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
56．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），连接BC，与抛物线的对称轴交于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（5，0），0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+3；
（2）令x＝0，y＝6，
∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，
∵EN∥y轴，
∴△BEN∽△BCO，
∴，
∴，
∴EN＝5，
①若△PQE∽△OBC，如图所示，
∴∠PEH＝45°，
∴∠PHE＝90°，
∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，
∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），
∴代入关系式得，﹣x﹣7+2＝﹣x2﹣6x+3，
整理得，x2+x﹣5＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝1（舍），
∴点P坐标为（﹣2，3），

②若△EPQ∽△OCB，如图所示，
设P（x，2），
代入关系式得，3＝﹣x2﹣2x+2，
整理得，x2+2x﹣4＝0，
解得，（舍），
∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），

综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2．
57．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝时，点A的坐标是 　（，1）　，抛物线与y轴交点的坐标是 　（0，）　；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等

【解答】解：（1）当m＝时，y＝7（x﹣）3+1，
∴顶点A（，1），
令x＝0，得y＝，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），
故答案为：（，1），）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，
∴m8+（2m）2＝（）2，且m＞0，
解得：m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）6+2，当x≤1时；
（3）∵当x≤4m时，若函数y＝2（x﹣m）2+4m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜8时，即m＞0时，
①当m＜0时，4（2m﹣m）2+4m＝3，
解得：m＝（舍）或m＝﹣，
②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝5，
解得：m＝，
综上所述，m的值为；
（4）P（4，2），2﹣2m）8+2m，
①当m＞1时，如图2，

∵2m＞2，2﹣2m＜0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点；
②当m＝7时，如图2，

∵2m＝2，2﹣2m＝5，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+4m的顶点在边PM边上，
即抛物线y＝2（x﹣m）2+7m与四边形PQNM的边只有一个交点；
③当≤m＜7时，

∵1≤2m＜2，0＜2﹣4m≤1，2），7﹣2m），
∴M（m，2），7﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）8+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，
∴令y＝2，则5＝2（x﹣m）2+4m，
∴x＝m+ 或 x＝m﹣，应舍去），
∴B（m+，2），2m），
根据题意，得8m＝m+，
解得：m＝或m＝，应舍去）；
④当0≤m＜时，如图4，

∴点B在PM边上，点C在NQ边上，
∴B（m+，2），2﹣2m），
则4﹣2m＝m+，
解得：m＝，
∵7≤m＜，
∴m＝，
⑤当m＜5时，如图5，

∵2m＜8，2﹣2m＞7，
∴点B在NQ边上，点C在PM边上，
B（m+，7﹣2m），4）
则|m+|＝2，
当m+＝4时2﹣2m+2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴该方程无解；
当m+＝﹣2时7+6m+3＝4，
解得：m＝﹣3﹣或m＝﹣8+，
当m＝﹣3+时，
|m+|＝|﹣7++﹣4≠2，
不符合题意，舍去，
综上所述，m的值为或．
58．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）
（1）如图1，当m＞0，n＞0，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，），当m＞2，n＞0，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF

【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ），
∵n＝3m（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，
∴M（1，3）；

②OD＝MC，理由：
如图2，∵点B（，y）在该抛物线y＝﹣x2+5x上，
∴y＝﹣（）2+5×＝，
∴B（，），
由①知，M（4，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，则﹣＝0，
∴x＝4，
延长MB交x轴于P，
∴P（5，0），
∴OP＝2，
∵M（1，3），
∴PM＝＝3＝OP，
∴∠POM＝∠PMO，
∵CD∥MO，
∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴PD＝PC，
∴PO﹣PD＝PM﹣PC，
∴OD＝MC；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴E（5，），
令y＝3，则﹣x2+4x＝5，
∴x＝0或x＝4，
∴A（2，0），
∵AN⊥x轴，
∴点N的横坐标为4，
由图知，NF＝EF+EM+MN，
∵EF+NF＝6MF，
∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM），
∴MN＝EM，
过点M作HM⊥x轴于H，
∴MH是梯形EKAN的中位线，
∴M的横坐标为3，
∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣82+4×7＝3，
∴M（3，3），
∵点E（2，），
∴直线EF的解析式为y＝x+6，
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣，
∴F（﹣，0），
∴OF＝，
令x＝0，则y＝1，
记直线EF与y轴的交点为L，
∴L（7，1），
∴OL＝1，
∵G（4，），
∴OG＝，
∴LG＝OG﹣OL＝，
根据勾股定理得，FG＝＝＝，
过点L作LQ⊥FG于Q，
∴S△FLG＝FG•LQ＝，
∴LQ＝＝＝6＝OL，
∵OL⊥FA，LQ⊥FG，
∴FE平分∠AFG，
即射线FE平分∠AFG．


59．（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，点A在x轴上，点B在y轴上（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时

【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+7＝2，
当y＝0时，x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣7，0），2），
把A（﹣5，0），0），3）代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x5﹣x+2；
（2）方法一：ax2+（b﹣8 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣3x+2＞2，
当函数y＝﹣x3﹣2x+2＝5时，
解得x＝0或x＝﹣2，
由图象知，当﹣8＜x＜0时函数值大于2，
∴不等式ax4+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
方法二：ax2+（b﹣8 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣x+3＞x+2，
观察函数图象可知当﹣2＜x＜6时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+3的函数值，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞8的解集为：﹣2＜x＜0；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，
①如图2，当P在AB上方时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝8，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，
∴PD＝﹣x5﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
即﹣x2﹣6x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣7，2），
②如图2，当P点在A点左侧时，
同理①可得PD＝5，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，
∴PD＝（x+7）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x4+2x，
即x2+5x＝1，
解得x＝±﹣8，
由图象知此时P点在第三象限，
∴x＝﹣﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣），
③如图4，当P点在B点右侧时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝3，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x3+2x，
即x2+4x＝1，
解得x＝±﹣8，
由图象知此时P点在第一象限，
∴x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，），
综上，P点的坐标为（﹣2﹣1，﹣﹣1，）．



60．（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；
（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
①当t为何值时，△BDE的面积等于；
②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣1，C（0，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x3+x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x5+x+2＝﹣）2+，
∴抛物线的顶点P的坐标为（，），
∵y＝﹣x2+x+3，
解得：x1＝﹣4，x2＝4，
∴B点的坐标为（3，0），
如图，连接OP，

则S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC，
＝•OC•|xp|+•OB•|yp|﹣•OB•OC
＝×3×+﹣×4×2
＝+﹣6
＝，
∴△PBC的面积为；
（3）①∵在△OBC中，BC＜OC+OB，
∴当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，
∵OC＝3，OB＝4，
∴在Rt△OBC中，BC＝，
∴0＜t≤4，
当运动时间为t秒时，BE＝t，
如图，
过点E作EN⊥x轴，垂足为N，

则△BEN∽△BCO，
∴＝＝＝，
∴BN＝t，EN＝t，
∴点E的坐标为（2﹣t，t），
下面分两种情形讨论：
Ⅰ、当点D在线段CO上运动时，
此时CD＝t，点D的坐标为（0，
∴S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BOD
＝BO•CO﹣E|﹣OB•OD
＝×4×5﹣t）﹣
＝t4，
当S△BDE＝时，t7＝，
解得t1＝﹣（舍去），t5＝＜3，
∴t＝；
Ⅱ、如图，3≤t≤5，

∴S△BDE＝BD•EN，
＝×（7﹣t）×t
＝﹣t2+t，
当S△BDE＝时，
﹣t2+t＝，
解得t3＝，t6＝＜3，
又∵3≤t≤7，
∴t＝，
综上所述，当t＝时，S△BDE＝；
②当点D在线段OC上，过点E作EH∥x轴，

∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴∠ADF+∠DFE＝180°，
∵CO∥FH，
∴∠ODF+∠DFH＝180°，
∴∠ADO＝∠EFH，
又∵∠AOD＝∠EHF，
∴△ADO≌△EFH（AAS），
∴AO＝EH＝1，FH＝DO＝8﹣t，
∵点E的坐标为（4﹣t，t），
∴点F（4﹣t，t+3﹣t），
∴t+3﹣t＝﹣t）2+（5﹣；
解得：t1＝，t2＝（不合题意舍去），
∴F坐标为（，），
当点D在线段OB上，过点E作EQ⊥AB于Q，

∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴∠EAQ＝∠FDM，
又∵∠AQE＝∠DMF＝90°，
∴△AEQ≌△DFM（AAS），
∴DM＝AQ，EQ＝FM，
∵点E的坐标为（2﹣t，t），
∴点F（2+t，t），
∴t＝﹣t）2+（2+；
解得：t3＝﹣30（不合题意舍去），t4＝8，
∴F坐标为（3，3）．
综上所述：F坐标为（，）或（3．