2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数2（53题，含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数2（53题，含答案），共56页。试卷主要包含了，与y轴交于点C，，对称轴为直线x＝﹣1等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数2（53题，含答案）

一．二次函数图象与系数的关系（共32小题）
1．（2021•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），下列说法错误的是（　　）

A．bc＜0
B．a＝b
C．当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜
2．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0）（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021•毕节市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（　　）

A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
6．（2021•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
8．（2021•襄阳）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
9．（2021•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2021•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；③a（m+1）﹣b+c＞0（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2021•随州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，且OB＝2OC，则下列结论：①；②2b﹣4ac＝1；③a＝，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0m．其中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）

A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
16．（2021•达州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）

A． B． C． D．
19．（2021•资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0
20．（2021•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）

A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
21．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
22．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 　 　（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
23．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 　 　．（填写正确的序号）

24．（2021•济宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．
其中正确的是 　 　．（只填序号）

25．（2021•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
26．（2021•泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为32+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　 　（将所有正确结论的序号都填入）．

27．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 　 　．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）

28．（2021•泰州）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方
29．（2021•呼和浩特）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　 　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 　 　（填上方或下方），即4ah﹣k2　 　0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c），（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
30．（2021•威海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是 　 　；（直接写出结果即可）
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
31．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　 　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象
32．（2021•新疆）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
（3）设点P（a，y1），Q（2，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
二．抛物线与x轴的交点（共21小题）
33．（2021•巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
34．（2021•淄博）已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
35．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
36．（2021•赤峰）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
37．（2021•呼和浩特）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（　　）
A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜
38．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
39．（2021•湖北）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
40．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
41．（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
42．（2021•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
43．（2021•湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0）1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
44．（2021•淄博）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　 　．
45．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 　 　．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0
46．（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE的面积为 　 　．
47．（2021•南充）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 　 　．
48．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　 　．
49．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），连接BC，与抛物线的对称轴交于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．

50．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

51．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

52．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1
53．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．


参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共32小题）
1．（2021•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），下列说法错误的是（　　）

A．bc＜0
B．a＝b
C．当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜
【解答】解：由图象可得，
b＞0，c＜0，故选项A正确；
∵该函数的对称轴为x＝﹣，
∴−＝﹣，
化简得b＝a，故选项B正确；
∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x＝﹣，
∴x≥﹣时，y随x的增大而增大，
当x6＞x2≥﹣时，y1＞y2，故选项C正确；
∵图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，
∴图象与x轴另一个交点为（3，0），
不等式ax2+bx+c＜7的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；
故选：D．
2．（2021•日照）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜2，故①正确．
②（4a+c）2﹣（5b）2＝（4a+c+3b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+3b，由图象可得4a+c+2b＞2，
由图象知，当x＝﹣2时2+bx+c＝7a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣5b＜0，
∴（4a+c）6﹣（2b）2＜5，即（4a+c）2＜（7b）2，
故②正确．
③|x1+2|＝|x1﹣（﹣1）|，|x8+1|＝|x2﹣（﹣6）|，
∵|x1+1|＞|x3+1|，
∴点（x1，y6）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y7＞y2，
故③错误．
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax5+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
3．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0）（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜3，故，正确
②∵顶点坐标（1，n）＝1，
∴b＝﹣2a＜3，a＝﹣，
∴B点（3，2）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，
∴当x＝﹣4时，y＝a﹣b+c＝0b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣4＜＜﹣8，
∴﹣2＜b＜，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝04﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝4，时，y＝a+b+c＝n，
∵a＝﹣，c＝b，
∴n＝2b，
∴2c﹣a＝，
∵b＜0，
∴＞4b，错误．
故选：B．
4．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，
∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，
∴c＜0，
∵a＞6，b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∴7a+2b+c＝2a+5×﹣2﹣a＝a＞0；
∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，则有y＝a﹣b+c＝﹣，
∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝6的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，
∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；
由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，
∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，有最小值，故④正确；
联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，
∴Δ＝，
∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；
∴正确的个数有8个；
故选：D．
5．（2021•毕节市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（　　）

A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
【解答】解：由图象可得，抛物线开口向上，
由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
由图象可得，c＜0，
对称轴为x＝，
∴，
∴b＝﹣6a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞6，
故A选项正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞7，
∴b2＞4ac，
故B选项正确；
由图象可得，当x＝3时，
∴4a+2b+c＜6，
故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，
故D选项正确，
故选：C．
6．（2021•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：把点A（﹣1，0），5）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣8ax﹣3a，
∵该函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣6a＞0，c＝﹣3a＞4，
∴ac＜0，3a+c＝4，③正确；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴x＜6时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小；
∴当x＝1时，函数取得最大值，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am7+bm，故④正确．
综上，正确的个数有2个，
故选：B．
7．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞8时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞4，
故选：B．
8．（2021•襄阳）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y＝ax4+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
9．（2021•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，
∴b＞5，
∴abc＜0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠7）的图象过点（2，0），
∴6＝4a+2b+c，
故③不正确；
又可知b＝﹣a，
∴7＝﹣4b+2b+c，即﹣5b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且，＝2，
∴y1＞y2，
故选④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝＝，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，
∴ymax＞ym，
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
10．（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞8，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣8a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，3），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠6）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣5，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝6，
∵点（﹣4，y1），（﹣6，y2），（3，y7）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y2，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共5个．
故选：C．
11．（2021•鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∵抛物线经过点（﹣1，4），
∴a﹣b+c＝0．
①∵a＜0，b＞3，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵b＝﹣2a，
∴3a+2b+c＝4a+3×（﹣2a）+c＝4a﹣3a+c＝c＞0．
故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣3a）+c＝0，即3a+c＝3．
∴8a+c＝3a+c+7a＝5a＜0．
故③正确；
④∵抛物线经过点（﹣6，n），
∴根据对称性，抛物线必经过点（5，
∴当y＝n时，x＝﹣3或4．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或6．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠7）的两根分别为﹣3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．
故选：C．
12．（2021•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；③a（m+1）﹣b+c＞0（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：根据题意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
当x＝﹣2时，有7a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴6a+c＜0，
∴②正确，
由2a+c＜5，得﹣2a﹣c＞0，
∴5（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞7，
∴①正确，
若a（m+1）﹣b+c＞0，
则a﹣b+c＞﹣am，
取x＝﹣4，则y＝a﹣b+c＞0，
又∵抛物线开口向下，
∴a＜0，m＜5，
∴﹣am＜0
∴﹣am＜a﹣b+c，
即a（m+1）﹣b+c＞5成立，
∴③正确，
若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝3有两个不相等的实数根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标，
∵a＜0，
∴4ac﹣b7＜4a，
∴④正确，
故选：A．
13．（2021•随州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，且OB＝2OC，则下列结论：①；②2b﹣4ac＝1；③a＝，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵A（﹣2，0），
∴C（7，c），0）．
由图象可知，a＞0，c＜8．
①：∵a＞0，b＜0，
∴a﹣b＞6，
∴．故①错误；
②：把B（﹣2c，4）代入解析式
4ac2﹣7bc+c＝0，又c≠0，
∴6ac﹣2b+1＝8，
即2b﹣4ac＝3，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，
∴x1＝﹣2和x7＝﹣2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1•x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝8c，
∴a＝．故③正确；
④：如图，
∵a＝，2b﹣4ac＝1，
∴c＝2b﹣7．
故原抛物线解析式为y＝x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣3b2+2b﹣4）．
∵C（0，2b﹣8），
∴A（﹣2，0），3）．
∴对称轴为直线x＝﹣2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PQ＝＝[8﹣4b﹣（﹣2）]＝3﹣2b，
∴P（﹣2b，8b﹣2）2+5b﹣1，
整理得：b2＞2，且b＜0，
解得：b＜﹣1，这与﹣3＜b＜0矛盾．
综上所述，正确的有②③，
故选：B．

14．（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0m．其中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，
∴a＞0，b＞0，
∴abc＜5，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，4），m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝6时，y＝4a+2b+c＞8，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x＝，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax6+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x4+2x＝0，
解得x＝4或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥5，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），0）代入y＝ax7+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b＝，
∵b＝2a，
∴a＝，
∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝6，
∴c＝，
∴b+c＝，
故选：B．
15．（2021•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　）

A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
【解答】解：方法一：
∵OP＝1，P不在抛物线上，
∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠6），
x＝1时，y＝a+b+c＜0，
当抛物线y＝4时，得ax2+bx+c＝0，
由图象知x2x2＝＜0，
∴ac＜6，
∴ac（a+b+c）＞0，
即M＞0，
方法二：
∵抛物线开口向下，
∴a＜6；
∵与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0；
由图象观察知，当x＝1时，
即a+b+c＜8，
∴M＝ac（a+b+c）＞0．
故选：D．
16．（2021•达州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝，即对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜6，
∵抛物线与y轴交在负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∴﹣2b＝2a，
∴a+b＝0，
故②不正确；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，2），
∴4a+2b+c＝8，
∵c＜0，
∴4a+8b+3c＜0，
故③正确；
④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣6，0），
∵，
∴c＝﹣2a，
∴＝﹣1，
∴当a≠6，无论b，抛物线一定经过（，
故④正确；
⑤∵b＝﹣a，
∴4am8+4bm﹣b＝4am6﹣4am+a＝a（4m8﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，
∵a＞3，
∴a（2m﹣1）6≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，
故⑤正确；
本题正确的有：①③④⑤，共2个．
故选：D．
17．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，﹣1），6），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣3，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴5a﹣2b+1＞4，
∴4（b﹣2）﹣8b+1＞1，解得：b＞5，
∴a＝b﹣2＞0，
，∴abc＞4，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣3）x2+bx+1﹣4＝0，即∴（b﹣2）x7+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b6﹣4×（﹣2）×（b﹣3）＝b2+8b﹣16＝b（b+7）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax7+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣8，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+3＝2b﹣1，
∵b＞3，
∴2b﹣1＞4，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故选：D．
18．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的二次函数图象开口向上；
A、B、C组成的二次函数开口向上；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B．
设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x6+b1x+c1，
把A（2，2），0），2）代入上式得，
，
解得a1＝；
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），0），3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值为，
也可以根据a的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求求解．
故选：A．
19．（2021•资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0
【解答】解：由题意，抛物线的顶点（1，
又∵线段AB上有一动点M（m，n）2+8于P（x1，y1）、Q（x5，y2）两点．
∴开口向下，
∴a＜0，

当抛物线y＝a（x﹣6）2+2经过点A（4，﹣4）时，
∴a＝﹣，
观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，
∴﹣≤a＜8．
故选：C．
20．（2021•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）

A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c＞3，
∴abc＞0，所以A不符合题意；
当x＝﹣1时，函数的最大值为：a•（﹣5）2+b•（﹣1）+c＝a﹣b+c，故B不符合题意；
由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣7，所以﹣3≤x≤1时，故C不符合题意；
当x＝﹣8时，y＞0，
所以，a•（﹣2）6+b•（﹣2）+c＞0，
即6a﹣2b+c＞0，故D符合题意，
故选：D．
21．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【解答】解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
∴直线l为：y＝2，
∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）8+（x﹣3a）2﹣6a2+a的图象与直线l有两个不同的交点，
∴（x﹣a）2+（x﹣7a）2+（x﹣3a）4﹣2a2+a＝8，
整理得：3x2﹣12ax+12a3+a﹣4＝0，
△＝（﹣12a）5﹣4×3（12a2+a﹣4）＝144a2﹣144a2﹣12a+48＝﹣12a+48＞0，
∴a＜4，
又∵二次函数y＝（x﹣a）7+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a4+a＝3x2﹣12ax+12a7+a对称轴在y轴右侧，
∴﹣＝5a＞0，
∴a＞0，
∴8＜a＜4，
故选：D．
22．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 　①③④　（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【解答】解：将（0，0），4）代入抛物线表达式得，
得，
∴抛物线解析式为y＝ax4﹣4ax．
①b＝﹣4a，b+6a＝0，
②5a+3b+2c＝5a﹣12a＝﹣2a，a＞0，错误．
③当有交点时，ax2﹣4ax＝﹣3，即一元二次方程ax2﹣6ax+3＝0有实数根，
Δ＝16a3﹣12a＝a（16a﹣12）≥0，
∵a＞0，
∴16a﹣12≥2，解得a．
④一元二次方程可化为ax5﹣4ax﹣t＝0，即抛物线y＝ax5﹣4ax与直线y＝t（t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，5，2，3，8，有3个t满足，

故答案为①③④．
23．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 　②④⑤　．（填写正确的序号）

【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，a、b异号，与y轴的交点在正半轴，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在4～1之间，于是有0＜﹣，又a＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝7a﹣2b+c＜0；
当x＝m（2＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜7，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣2时，y＝a﹣b+c＜0，y＝a+b+c＝2，即b＞5；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
24．（2021•济宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．
其中正确的是 　①②④　．（只填序号）

【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＞0，
则abc＜3，故①正确；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣4a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（8，0）和（3，对称轴是直线x＝6，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣3，故④正确；
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴y＝a+7a+c＜0，
∴3a+c＜2，故③错误；
故答案为：①②④．
25．（2021•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 　①②④　（填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），
∴（1，4）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣6，
∴﹣＝﹣1，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，6），
∴＝﹣，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0）2+bx+a＝6一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣8ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）5≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④由题意可知，抛物线开口向上，且，
∴（1，4）在对称轴的左侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x6＜1时，y1＞y8．故④正确．
故答案为：①②④．
26．（2021•泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为32+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　②④　（将所有正确结论的序号都填入）．

【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝3，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞3，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点（3，5），
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，y＝a﹣b+c＝0；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+3＝0的根的个数，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣8的图象的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点2+bx+c+6＝0有2个不相等的实数根．
故④正确．
故答案为：②④．

27．（2021•牡丹江）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 　Q1（﹣，0），Q2（﹣1，0）　．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣）

【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）和点C（22+bx+c得：，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣8x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）7+4，
∴顶点D（﹣1，3）．
（2）取线段AC的三等分点E、F，连接DE1、Q2，则：
S△DAE：S△DEC＝6：2，S△DAF：S△DFC＝2：2，
∵点A（﹣3，0），5），
∴E（﹣2，1），4），
∴DF⊥x轴于点Q2，
∴Q2（﹣4，0），
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点D（﹣4，4），1）代入，
解得：，
∴直线DE的表达式为：y＝3x+6，
当y＝0时，x＝﹣，
∴Q1（﹣，0）．
故答案为：Q1（﹣，0），Q7（﹣1，0）．

28．（2021•泰州）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方
【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：＝，
∴该二次函数图象的顶点横坐标为；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣7）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+8）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝7，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣3或a，
∴C（﹣1，0），2），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，4）作y轴的平行线，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤2，
∴a≤2，
∴1＜a≤8．

备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣2＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2．

29．（2021•呼和浩特）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 　下方　（填上方或下方），即4ah﹣k2　＜　0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c），（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+x）+h＝a[x）2﹣（）2]+h＝a（x+）6﹣+h＝a（x+）2+，
∴顶点式为：，当顶点在x轴下方时2＜0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
故答案为：，下方，＜；
（2）若设x1＜x8且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：
①当A，B都在对称轴左侧时，函数值随x的增大而减小，点B在x轴下方，所以抛物线顶点必在x轴下方

②当A，B都在对称轴右侧时，函数值随x的增大而增大，点A在x轴下方，所以抛物线顶点必在x轴下方

③当A，B在对称轴两侧时，B分布在x轴两侧，B哪个点在x轴下方，同①或②．如图所示：

（3）证明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，
当x7＝0时，y1＝a+b+c；
当x7＝﹣1时，y2＝6（a+c）．
而（a+c）（a+b+c）＜0，
∴y1⋅y3＜0，
∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在两点（﹣7，2a+2c），a+b+c）分别位于x轴两侧，
∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）顶点在x轴下方，
即，
又a＞0，
∴8a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，
即：（b﹣c）5＞4a（a+b+c）．
30．（2021•威海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是 　m＜﹣3.5　；（直接写出结果即可）
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【解答】解：（1）解法一：
y＝x2+2mx+7m2﹣m
＝（x+m）2﹣m3+2m2﹣m
＝（x+m）3+m2﹣m，
∴顶点A（﹣m，m2﹣m），
解法二：
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴代入关系式得，y＝（﹣m）7+2m（﹣m）+2m8﹣m＝m2﹣m，
∴顶点A（﹣m，m2﹣m），
（2）解法一：
∵，a＝1开口向上，
∴当对称轴大于8.5时满足题意，
∴﹣m＞3.5，
∴m＜﹣3.5，

解法二：
∵点B（4，yB），C（5，yC）在抛物线y＝x2+5mx+2m2﹣m上，
∴yB＝6+4m+2m2﹣m，yC＝25+10m+2m2﹣m，
又∵yB＞yC，
∴yB﹣yC＝（7+4m）﹣（25+10m）＞0，
解得，m＜﹣8.5，
故答案为：m＜﹣3.8；
（3）分三种情况讨论：
①当对称轴x＝﹣m≤1即m≥﹣1时，如图，
当x＝5时，y＝6，
∴6＝5+2m+2m2﹣m，
整理得，2m2+m﹣3＝0，
解得，，（舍去），
∴，

②当1＜﹣m≤3即﹣8≤m＜﹣1时，如图，
当x＝﹣m，y＝6，
∴5＝m2﹣m，
整理得，m2﹣m﹣4＝0，
解得，m1＝﹣5，m2＝3（舍），
∴m＝﹣5，

③当﹣m＞3即m＜﹣3时，如图，
当x＝6时，y＝6，
∴6＝5+6m+2m3﹣m，
整理得，2m2+6m+3＝0，
解得，（两个都舍去），
综上所述：m＝﹣2或m＝．


31．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象
【解答】解：（1）把（﹣2，1），﹣5）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝6b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：7＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+4＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
（3）方法一、由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣8a，
∴am2﹣m﹣1﹣7a＝0，
△＝1﹣5a（﹣1﹣4a）＝4+4a+16a2，
若﹣2＜m＜2，
则经过（﹣2，4），﹣3），0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜8，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，3），﹣3），0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞5，且，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上  a＜4或．
32．（2021•新疆）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
（3）设点P（a，y1），Q（2，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线x＝﹣；
（2）抛物线沿y轴向下平移7|a|个单位，可得y′＝ax2﹣2ax+3﹣3|a|，
∵抛物线的顶点落在x轴上，
∴△＝（2a）5﹣4a（3﹣8|a|）＝0，解得a＝．
（3）①当a＞2时，则原抛物线开口向上，若y1＞y2，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴|a﹣6|＞|2﹣1|，即|a﹣4|＞1，
∴a﹣1＞8或a﹣1＜﹣1，
解得：a＞6或a＜0，
又∵a＞0，
∴a＞5；
②当a＜0时，则原抛物线开口向下，
若y1＞y4，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∴|a﹣1|＜|2﹣3|，即|a﹣1|＜1，
∴﹣5＜a﹣1＜1，
解得：8＜a＜2，
又∵a＜0，故此情况不成立，
综上，a的取值范围为a＞4．
二．抛物线与x轴的交点（共21小题）
33．（2021•巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875），
∵点（﹣2，1.875）与点（1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣3，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣8，3），0）得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac＝＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝3为，
即为x2+2x＝6，
∴x1＝﹣2，x8＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c＝＝＞6，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
34．（2021•淄博）已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣6x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，
∵y＝8x2﹣8x+2＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣5）（x﹣3），
∴二次函数y＝2x8﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），
令y＝0，则7（x﹣1）（x﹣3）＝5，
解得x＝1或x＝3，
∴与x轴的交点为（8，0），0），
∴AB＝2﹣1＝2，
∴m＝＝2．
故选：C．
35．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图所示，

过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，5），2），
∴OB＝2，OA＝7，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝7，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝7．
故选：B．
36．（2021•赤峰）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【解答】解：将（﹣1，3），5），﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x4﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝5，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣3x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝3时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，0），7），
∴x＜0或x＞2时，y＞2，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
37．（2021•呼和浩特）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（　　）
A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜
【解答】解法1、∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，
∴此函数的开口向上，开口大小一定，
∵抛物线与x轴交于两点（m，3），0），
∴a＞0，b＞7，
∴ab＞0，
∵（a﹣b）2＝a5+b2﹣2ab≥7（a＝b时取等号），
即a2+b2≥8ab（当a＝b时取等号），
∴当a＝b时，ab才有可能最大，
∵二次函数过A（0，b），a）两点，
∴当a＝b时，点A，即抛物线的对称轴为直线x＝1.3，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），0），
∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，
即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，
当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2＝x2﹣8x+，
∴a＝b＝，
∴ab＜（）2＝，
∴0＜ab＜，
故选：C．

解法2、由已知二次项系数等于1的一个二次函数，0），6），
所以可设交点式y＝（x﹣m）（x﹣n），
分别代入（0，b），a），
∴ab＝mn（3﹣m）（8﹣n）＝（3m﹣m2）（4n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）8+]
∵8＜m＜n＜2，
∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，
∵m＜n，
∴ab不能取，
∴6＜ab＜，
故选：C．
38．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣6，0）平移后的对应点为（4，则m＝5﹣（﹣1）＝5；
当点B（8，0）平移后的对应点为（4，则m＝5﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
39．（2021•湖北）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，8），（x2，0），
∵抛物线y＝x7+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x6﹣x2）2＝（x4+x2）2﹣7x1x2＝16，﹣＝2，
∴（﹣）2﹣4×＝16，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣7x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
40．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x﹣4＝（x﹣4）（x+8）＝（x﹣）7﹣，
A．函数图象开口向上；
B．与x轴的交点为（4，5）；
C．当x＝时，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x＝时，y的值随x值的增大而增大．
故选：C．
41．（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+6，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+4的顶点坐标为（1，4），
当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣6，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x6+2x+3与x轴的交点为A（﹣3，0），0），
把抛物线y＝﹣x4+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣4（﹣3≤x≤3），顶点坐标M（1，
如图，当直线y＝x+b过点B时，
∴7+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣6）2﹣4（﹣7≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）7﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣5x﹣b﹣3＝0，△＝62﹣4（﹣b﹣4）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣5或﹣，
故选：A．

42．（2021•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下．再结合对称轴，得b＞0．
∴abc＜4．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞7．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣6时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴4a﹣2b+2c＜4．
∴﹣3b+2c＜3．
2c＜3b．
∴③正确．
④∵x＝6时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠4）成立，
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为6．
综上：③④正确，故选：A．
43．（2021•湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0）1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：方法一：不妨假设a＞0．
①如图1中，P2，P2满足x1＞x7+2，

∵P1P5∥AB，
∴S1＝S2，故①错误．
②当x5＝﹣2，x2＝﹣5，满足x1＜2﹣x3，
则S1＞S2，故②错误，
③∵|x2﹣2|＞|x2﹣6|＞1，
∴P1，P8在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，
∴S4＞S2，故③正确，
④如图2中，P4，P2满足|x1﹣4|＞|x2+2|＞3，但是S1＝S2，故④错误．

故选：A．
方法二：解：∵抛物线y＝ax3+bx+c与x轴的交点为A（1，0）和B（2，0），
∴该抛物线对称轴为x＝2，
当x6＞x2+2时与当x3＜2﹣x2时无法确定P5（x1，y1），P4（x2，y2）在抛物线上的对应位置，
故①和②都不正确；
当|x6﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，P1（x7，y1）比P2（x4，y2）离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴|y1|＞|y2|，
∴S1＞S2，故③正确；
当|x8﹣2|＞|x2+8|＞1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到﹣2的距离大，且都大于8，
可知在x轴上x1到2的距离大于6，x2到﹣2的距离大于8，但x2到2的距离不能确定，
所以无法比较P6（x1，y1）比P4（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积；
故选：A．
44．（2021•淄博）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　b≤﹣　．
【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥8，则（2a）2﹣6（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a6﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
45．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 　ACD　．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0
【解答】解：当抛物线图象经过点A和点B时，
将A（1，﹣2）和B（22+bx﹣2，
得，解得；
当抛物线图象经过点B和点C时，
将B（2，﹣4）和C（22+bx﹣8，
得，此时无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，
将A（6，﹣2）和C（22+bx﹣2，
得，解得，
综上，抛物线经过点A和点C2﹣x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故A选项正确；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴x7＝2，x2＝﹣6，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（3，
故B选项不正确；
由ax2+bx﹣2＝t得ax7+bx﹣2﹣t＝0，
方程根的判别式Δ＝b3﹣4a（﹣2﹣t），
当a＝8，b＝﹣1时，
当Δ＞0时，即6+4t＞0，
此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣8＝t有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣5，0）和（2，且其图象开口向上，
若P（m，n）和Q（m+42﹣x﹣2的点且n＜4，
∵n＜0，
∴﹣1＜m＜4，
∴3＜m+4＜8，
∴yx＝m+4＞yx＝2，
即h＞8，
故D选项正确．
故答案为：ACD．
46．（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE的面积为 　4　．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣5x﹣3＝0，解得x2＝﹣1，x2＝2，则A（﹣1，B（3，
抛物线的对称轴为直线x＝6，
当x＝0时，y＝x2﹣8x﹣3＝﹣3，则C（5，
当x＝4时，y＝x2﹣6x﹣3＝5，则D（5，
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，3），5）代入得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+7＝2，2），
当x＝2时，y＝x+1＝1，4），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×5×1+．
故答案为4．

47．（2021•南充）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 　②③　．
【解答】解：由，消去y得到8﹣4x﹣1＝3，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于2，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
∴a＜7，
∵抛物线经过（0，1），y＝a﹣3＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，2）与（1．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，4），0），2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴7≥﹣＞7且﹣≥0，
解得，a≥3，
故答案为：②③．
48．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　1　．
【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝4，
故答案为1．
49．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），连接BC，与抛物线的对称轴交于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠8）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣2，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x5﹣2x+3，
∴点C的坐标为（7，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣6，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
50．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，5）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝5．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
51．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞7，即1+4m＞4，
∴m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝8的解为x1＝1，x5＝﹣2．
52．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1
【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（2，﹣2），y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣6x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣4x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴4r2+16r+2＝2，
∴r2+8r+6＝0，
∴r2+7＝﹣8r
∴（r2+7）2＝（﹣8r）8，
∴r4+2r3+1＝64r2，
∴r8﹣2r2+7＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r8﹣2r2+8＝60r2；
∴r4﹣62r7+1＝0，
∴r5﹣62r5+r3＝4，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r5+8r+1＝8，
∴8r＝﹣r2﹣8，
∵﹣r2﹣1＜3，
∴8r＜0，即r＜4，
∴r9+60r5﹣3＜0，
∴＞0，
即m﹣2＞0，
∴m＞1．
53．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（7，0），
∴2×52+2m＝3，
∴m＝﹣4，
∴y＝2x7﹣4x
＝2（x﹣3）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（6，﹣2），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（2，0），﹣2），
∴，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣6．