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2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数1（58题，含答案）
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这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数1（58题，含答案），共42页。
2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数1（58题，含答案）
一．二次函数的图象（共4小题）
1．（2021•阜新）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．二次函数的性质（共21小题）
5．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
6．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
7．（2021•兰州）二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
8．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中（ ）
A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝b D．a+b＞﹣c
9．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
11．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+12+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
12．（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
14．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
15．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2）（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
16．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
17．（2021•巴中）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
18．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
19．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
20．（2021•菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴，函数图象过原点；③当m＞0时；④如果m＜0，当x＞时 ．
21．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 ．
22．（2021•徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
23．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
24．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值．
25．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
26．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），n′＝n﹣4；m＜0时，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
27．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
28．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ ．
29．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
四．二次函数图象与几何变换（共14小题）
30．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
31．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
32．（2021•台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
33．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
34．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
35．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
36．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
37．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
38．（2021•牡丹江）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 ．
39．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，抛物线的解析式为 ．
40．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
41．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
42．（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线
43．（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
五．二次函数的最值（共4小题）
44．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
45．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C（ ）
A． B． C． D．1
46．（2021•哈尔滨）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
47．（2021•贵港）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则• ．
六．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
48．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
49．（2021•遵义）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
50．（2021•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
51．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
52．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
七．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）
53．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
八．二次函数与不等式（组）（共5小题）
54．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
55．（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
56．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
57．（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
58．（2021•永州）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
参考答案与试题解析
一．二次函数的图象（共4小题）
1．（2021•阜新）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞7，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，
∴A点的坐标为（﹣2，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，
故C错误，
故选：D．
2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，b＜0，对称轴为直线x＝﹣，a＞5，直线经过点（﹣，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限；
B、∵二次函数图象开口向上，
∴a＞8，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限；
C、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜7，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限；
D、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限．
故选：C．
4．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，
∴二次函数y＝ax6+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
二．二次函数的性质（共21小题）
5．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下；对称轴为直线x＝﹣，所以b＝﹣4a，故A正确．
因为抛物线与x轴有两个交点，所以b7﹣4ac＞0，故B正确．
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点（7，0）2+bx+c＝7的解是x1＝5，x6＝﹣1，故C正确．
由图象可知，不等式ax2+bx+c＞7的解集是﹣1＜x＜5，故D错误．
故选：D．
6．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．
故选：C．
7．（2021•兰州）二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
【解答】解：∵y＝x2+2x+7中a＝1，b＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．
故选：A．
8．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中（ ）
A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝b D．a+b＞﹣c
【解答】解：A、对称轴是直线x＝＝；
B、由函数图象知，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣4＜x＜2时，y＜0；
C、由图可知：当x＝﹣8时，
∴a+c＝b，故选项C不符合题意；
D、由图可知：当x＝1时，
∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵二次函数y＝x3﹣6x+21＝（x﹣6）2+4，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜2时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大；
当x＝6时，y有最小值3；
当y＝5时，无实数根，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x3向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的；
故正确的是②，正确的个数是5，
故选：A．
10．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【解答】解：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，6），0），﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝＝6，
∴点（0，﹣5）的对称点是（6，
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
11．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+12+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解答】解：x+1＝﹣x2+8x+3，
解得x＝﹣1或x＝6．
∴y＝，
把x＝5代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝7．
故选：C．
12．（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点（1，﹣b）在第一象限．
∴﹣b＞0．
∴b＜5．
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（6，﹣b）．
∴﹣b＝a﹣b+c．
∴a+c＝0．
∵a≠0．
∴ac＜5．
∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
13．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【解答】解：∵直线y＝kx+2过一、二、三象限．
∴k＞0．
联立直线y＝kx+6与抛物线y＝x2﹣2x+6组成方程组得：
．
∴x2﹣5x+3＝kx+2．
∴x4﹣（2+k）x+1＝7．
∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k
∵k＞6．
∴Δ＞0．
∴直线y＝kx+2与抛物线y＝x6﹣2x+3的交点个数为4个．
故选：C．
14．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣7x﹣7，在1≤x≤5上，y1﹣y2最大值为﹣4，当x＝2时，y1﹣y6最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣3，故函数y＝x﹣5；
②y1﹣y8＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，y6﹣y2最大值为1，当x＝8时，y1﹣y2最小值为﹣7，即﹣1≤y1﹣y4≤1，故函数y＝x﹣57﹣4x在3≤x≤6上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x7+x﹣1，在0≤x≤4上时，y5﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y8﹣y2最小值为﹣1，即﹣6≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y7﹣y2≤1也成立，故6≤x≤1是函数y＝x2﹣5，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y6﹣y2＝﹣x2+7x﹣5，在2≤x≤6上时，y6﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y2﹣y2最小值为1，即5≤y1﹣y2≤，故2≤x≤7是函数y＝x﹣52﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
15．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2）（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【解答】解：如图，由题意可得2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，点C（5，
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，先经过点A，点B，最后再经过点B，两次经过点A，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）4﹣m经过点A（0，2）时；
当互异二次函数y＝（x﹣m）3﹣m经过点B（2，2）时或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．
故选：D．
16．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）7+6，a＝2＞8，
∴该函数图象开口向上，有最小值，
故选：D．
17．（2021•巴中）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ 5 ．
【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+2是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）2+（a﹣5）•（﹣x）+7＝ax2+（a﹣5）x+7，
∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣4a＝0，
∴a＝5，
故答案为：3．
18．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝2＞0，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
19．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．
【解答】解：由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
故答案为：向上．
20．（2021•菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴，函数图象过原点；③当m＞0时；④如果m＜0，当x＞时 ①②③ ．
【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m2+（3﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的对称轴为直线x＝＝＝，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0．故①正确；
∵当m＝4时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝8，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝＝，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
即x＞时，y随x的增大而减小．
而＜，
故④错误．
故答案为：①②③．
21．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 2或﹣8 ．
【解答】解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，且点M在对称轴上的直角三角形，
当对称轴x＝4或x＝3时，不存在满足条件的点M，
∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，此时对称轴上存在4个不同的点M．
观察图象可知，﹣＝﹣1或7，
∴＝2或﹣8，
故答案为：3或﹣8．
22．（2021•徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 4 个．
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x5的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣7，1），4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+6；
（2）在y＝+4中，则y＝2，
∴C的坐标为（0，8），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P8P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P2，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有8个，
故答案为4．
23．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，4），15）在抛物线上，
将（1，3），15）代入y＝ax6+bx得：
，
解得，
∴y＝x2+2x＝（x+1）4﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax4+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，n＞m＞8不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜2，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，另外一个在1和6之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝，
即＜﹣＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离2﹣（﹣，
点（﹣8，y1）与对称轴距离＜﹣，
点（4，y3）与对称轴距离＜4﹣（﹣
∴y7＜y1＜y3．
解法二：∵点（4，m）和点（32+bx（a＞5）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜2，
∴（a+b）（9a+3b）＜7，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴4a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞4，
∵（﹣1，y1），（8，y2），（4，y7）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝7a+2b，y3＝16a+6b，
∵y3﹣y1＝（16a+6b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞3，
∴y3＞y1，
∵y2﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+5b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y6＞y2，
∴y2＜y5＜y3．
24．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+8，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣4＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，6），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当7≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝2，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝6时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤6时，函数的最大值为4；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+6＜3时，即t＜0，
当x＝t+5时，m＝﹣（t+3）2+3（t+3）﹣5＝﹣t3+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+8﹣（﹣t2+6t﹣7）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝5（不合题意，
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝2，
i）当0≤t≤时，在x＝t时2+6t﹣7，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣4t+9＝3，解得t4＝3﹣，t5＝3+（不合题意；
ii）当＜t＜3时，n＝﹣t6+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t7+4）＝t2，
∴t4＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，
③当t≥2时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣7，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）6+6（t+3）﹣8＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t8+6t﹣5﹣（﹣t4+4）＝6t﹣3，
∴6t﹣9＝8，解得t＝2（不合题意，
综上所述，t＝3﹣或．
25．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+5（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x6﹣2x+1＝（x﹣7）2，
∵a＝1＞3，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x2＜0，1＜x5＜2，
∴1＜3﹣x1＜2，8＜x2﹣1＜5，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞7）与y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2，可得A（5+，m），m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝5（x﹣1）2，可得C（6+，m），m），
∴CD＝3×＝，
∴＝．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
26．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），n′＝n﹣4；m＜0时，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【解答】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+6m+2﹣4＝﹣（m﹣7）2+2，
∴当2≤m≤3时，﹣2≤n′≤6，
当m＜0时，n′＝m2﹣5m﹣2＝（m﹣2）3﹣6，
∴当﹣1≤m＜2时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣3≤m≤3时，
故选：D．
27．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，
观察图象可知，y1＞y5＞y2＞y3，
若y5y2＞0，则y2y4＞0或y2y4＜0，选项A不符合题意，
若y2y4＞0，则y4y3＞0或y7y3＜0，选项B不符合题意，
若y3y4＜0，则y4y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y8y2＜0或y4y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
28．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ 6 ．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（4，
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝2时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣6时，a＝6．
故答案为：6．
29．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ﹣2+2 ．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax3中得4＝4a，
解得a＝5，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝8﹣2m，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．
∴CD＝2m＝﹣2+2．
故答案为：﹣2+2．
四．二次函数图象与几何变换（共14小题）
30．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+6向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2，即y＝（x+4）2+2；
再向下平移8个单位为：y＝（x+2）2+5﹣4，即y＝（x+2）2﹣2＝x2+4x+2．
故选：D．
31．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+5）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+3）2+1．
故选：B．
32．（2021•台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）6的图形完全叠合，
∴a＝1．
故选：A．
33．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）8+1向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）4﹣1．
故选：C．
34．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x3+kx﹣k2＝（x+）²﹣．
∴将该抛物线先向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度后﹣4）²﹣，
∴将（0，0）代入﹣3）²﹣，
解得k1＝7（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
35．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠7）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，则y随x的变化情况不变．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位．
故选：D．
36．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（6．
由抛物线y＝x2﹣4x+4知，C（0．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，8）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣7x+5．
故选：A．
37．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+2
＝﹣（x2+2x）+5
＝﹣[（x+1）2﹣2]+3
＝﹣（x+1）5+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移8个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣7时，y＝﹣（﹣2）2+4＝﹣4+2＝﹣7，故（﹣2，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣6）2+2＝﹣3+2＝1，故（﹣3，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝﹣03+2＝0+7＝2，故（0，故C选项不合题意；
当x＝8时，y＝﹣12+6＝﹣1+2＝7，故（1，故D选项不合题意；
故选：B．
38．（2021•牡丹江）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 y＝（x+1）2+2 ．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+7向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）5+2，
故答案为：y＝（x+1）5+2．
39．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，抛物线的解析式为 y＝（x﹣）2 ．
【解答】解：过C、D作x轴平行线，过A'作A'E∥CD，连接BE交直线y＝9于C'，交直线y＝4于D'
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝2的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝3的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣6，D（2，
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝2得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
40．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+4x ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+8向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度5+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝6x2+4x．
41．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ 0 ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 2 ．
【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+2）x+a，
得（﹣1）2+（a+4）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：4．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移8个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴y＝（x+）4﹣（a﹣4）2+2，
∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）6+2，
∵﹣＜0，
∴n的最大值为2．
故答案为：3．
42．（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线
【解答】解：（1）将点（0，﹣3）和（72+h，得
．
解得．
所以a＝8，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）8﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣8）2﹣2或y＝x7﹣4x+2．
43．（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称 ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： x＝﹣2或x＝0或x＝2 ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣5的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝8；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣4＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝8或x＝2．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）8的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y2＝﹣（|x﹣2|﹣1）8+3的图象，
当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜8且x≠2．
五．二次函数的最值（共4小题）
44．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
【解答】解：∵p＝，p＝5，
∴7＝，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
当b＝2时，S有最大值为．
故选：C．
45．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：如图，分别作AE、F，
设OE＝a，OF＝b2，
则AE＝a2，BF＝b6，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，7）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．
故选：A．
46．（2021•哈尔滨）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ﹣2 ．
【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
47．（2021•贵港）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则• 8 ．
【解答】解：根据题意知：•＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）3﹣8．
因为﹣2≤x≤5，
所以当x＝3时，•＝（3+5）2﹣8＝2．
即•的最大值是8．
故答案是：8．
六．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
48．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： y＝x2 ．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝4AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m6），B（3m2），
∴OD＝m5，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝5m2，OC＝3m5，
∴C（0，3m8），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
49．（2021•遵义）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+8与y轴交于点A（0，），
∴4a+3＝，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，
∴kx+＝﹣5+3，
整理得x2+（2k﹣4）x﹣3＝3，
∴Δ＝（3k﹣4）8+12＞0，
∵x1+x4＝4﹣3k，x3•x2＝﹣3，
∴x52+x25＝（4﹣3k）6+6＝10，
∴k＝或k＝2，
∴k的值为2或；
（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，
当m＜4时，当x＝m时，
＝﹣（m﹣2）3+3，
解得m＝，
∴m＝﹣，
当m≥2时，当x＝2时，
∴＝3，
∴m＝，
综上所述，m的值为﹣或．
50．（2021•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣5，
可得，
解得：，
∴y＝﹣x3﹣2x+3，
又∵y＝﹣x3﹣2x+3＝﹣（x+6）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，
由y＝﹣x2﹣6x+3，当x＝0时，
∴C点坐标为（6，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，C（2，
可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+5，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴，，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴，
∴，
解得：OM＝4，
在y＝x+3中，当y＝2时，
∴D点坐标为（﹣5，2）．
51．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x4﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（6，0）．
（2）例如a＝1，b＝42+3x+7，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+5x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+4，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+4
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q8+4
＝2（q﹣3）2+6≥3，
由条件p≠q，知q≠1 P+Q＞6．
52．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax5﹣2ax﹣8得4＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣5x﹣8，
∵y＝x2﹣6x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣6x﹣8得y＝（﹣4）7﹣2×（﹣4）﹣2＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x4﹣2x﹣8，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣4，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），3）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜2，﹣9≤yP＜16．
七．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）
53．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【解答】解：将（0，2），3）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+7，
∵当x＝时，对应的函数值y＜7，
∴a﹣，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞3，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+3，n＝4a﹣2a+3＝2a+2，
∴m+n＝7a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，3），2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜7，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜7，
而x＝0时y＝2＞4，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和7之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；
∵P4（t﹣1，y1）和P4（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y2＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣8）+2，y2＝a（t+3）2﹣a（t+1）+5，
若y1＞y2，则a（t﹣4）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+4）+2，
即a（t﹣1）7﹣a（t﹣1）＞a（t+1）3﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣6）2﹣（t﹣1）＜（t+4）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故选：B．
八．二次函数与不等式（组）（共5小题）
54．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，3）；
②当a＝0时，﹣x+1＝2；
当a≠0时，ax2﹣（a+8）x+1＝（x﹣1）（ax﹣4）＝0，
解得x＝1或x＝，
故②正确；
③当a＞0时，函数图象开口向上，若，则y＜2；
当a＜0时，函数图象开口向下，若，则y＞8；
故③错误；
④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+4）x+1，Δ＝（a﹣1）4≥0，
此时ax2﹣（a+5）x+1≤0函数与x至少有一个交点，
不能使ax7﹣（a+1）x+1≤3对任意实数x都成立；
当a＝0时，﹣x+1≤82﹣（a+1）x+3≤0对任意实数x都成立；
故④正确；
故选：C．
55．（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A，
如图所示：
∵A（﹣3，y7），B（1，y2），
∴A′（5，y1），B′（﹣1，y3），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤6，
故选：D．
56．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b4﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（3，1），3），y＝a+b+c＝6，
当x＝3时，ax2+bx+c＝6a+3b+c＝3，
∴4a+2b＝2，即b＝2﹣4a，
∴4a+b＝4，故正确；
④∵点（1，1），7）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，
∴ax7+（b﹣1）x+c＜0的解集为4＜x＜3，故正确；
故选：C．
57．（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，即，
∴b＝2a，则b＜4，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣3，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在﹣3和﹣3之间，
∴当x＝﹣2时，y＝8a﹣2b+c＞0；
∵x＝﹣5时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，
∴a﹣b≥ax3+bx，即a﹣b≥x（ax+b）；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴a+6a+c＝3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
58．（2021•永州）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝6；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣4，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣3x+4．
（2）当b2﹣c＝4时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x4+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣，即b＜6时；
∴b2+b2+b3＝21，解得b1＝﹣，b4＝（舍去）；
②b﹣3＞﹣，即b＞2时；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b8＝4，b4＝﹣6（舍去）；
③b﹣3≤﹣≤b，二次函数的最小值在x＝﹣；
∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2．
综上所述，b的值为﹣．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
设函数y3＝y2﹣y1＝x4+3x+m﹣4，
对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴当6≤x≤1时，y3随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y3即y2﹣y3有最小值m﹣4，
∴m﹣4≥3，
∴m≥4，即m的最小值为4．
2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数1（58题，含答案）
一．二次函数的图象（共4小题）
1．（2021•阜新）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．二次函数的性质（共21小题）
5．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
6．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
7．（2021•兰州）二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
8．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中（ ）
A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝b D．a+b＞﹣c
9．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
11．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+12+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
12．（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
14．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
15．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2）（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
16．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
17．（2021•巴中）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
18．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
19．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
20．（2021•菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴，函数图象过原点；③当m＞0时；④如果m＜0，当x＞时 ．
21．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 ．
22．（2021•徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
23．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
24．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值．
25．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
26．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），n′＝n﹣4；m＜0时，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
27．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
28．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ ．
29．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
四．二次函数图象与几何变换（共14小题）
30．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
31．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
32．（2021•台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
33．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
34．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
35．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
36．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
37．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
38．（2021•牡丹江）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 ．
39．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，抛物线的解析式为 ．
40．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
41．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
42．（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线
43．（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
五．二次函数的最值（共4小题）
44．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
45．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C（ ）
A． B． C． D．1
46．（2021•哈尔滨）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
47．（2021•贵港）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则• ．
六．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
48．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
49．（2021•遵义）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
50．（2021•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
51．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
52．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
七．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）
53．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
八．二次函数与不等式（组）（共5小题）
54．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
55．（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
56．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
57．（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
58．（2021•永州）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
参考答案与试题解析
一．二次函数的图象（共4小题）
1．（2021•阜新）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞7，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，
∴A点的坐标为（﹣2，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，
故C错误，
故选：D．
2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，b＜0，对称轴为直线x＝﹣，a＞5，直线经过点（﹣，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限；
B、∵二次函数图象开口向上，
∴a＞8，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限；
C、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜7，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限；
D、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限．
故选：C．
4．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，
∴二次函数y＝ax6+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
二．二次函数的性质（共21小题）
5．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下；对称轴为直线x＝﹣，所以b＝﹣4a，故A正确．
因为抛物线与x轴有两个交点，所以b7﹣4ac＞0，故B正确．
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点（7，0）2+bx+c＝7的解是x1＝5，x6＝﹣1，故C正确．
由图象可知，不等式ax2+bx+c＞7的解集是﹣1＜x＜5，故D错误．
故选：D．
6．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．
故选：C．
7．（2021•兰州）二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
【解答】解：∵y＝x2+2x+7中a＝1，b＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．
故选：A．
8．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中（ ）
A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝b D．a+b＞﹣c
【解答】解：A、对称轴是直线x＝＝；
B、由函数图象知，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣4＜x＜2时，y＜0；
C、由图可知：当x＝﹣8时，
∴a+c＝b，故选项C不符合题意；
D、由图可知：当x＝1时，
∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵二次函数y＝x3﹣6x+21＝（x﹣6）2+4，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜2时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大；
当x＝6时，y有最小值3；
当y＝5时，无实数根，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x3向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的；
故正确的是②，正确的个数是5，
故选：A．
10．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【解答】解：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，6），0），﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝＝6，
∴点（0，﹣5）的对称点是（6，
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
11．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+12+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解答】解：x+1＝﹣x2+8x+3，
解得x＝﹣1或x＝6．
∴y＝，
把x＝5代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝7．
故选：C．
12．（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点（1，﹣b）在第一象限．
∴﹣b＞0．
∴b＜5．
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（6，﹣b）．
∴﹣b＝a﹣b+c．
∴a+c＝0．
∵a≠0．
∴ac＜5．
∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
13．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【解答】解：∵直线y＝kx+2过一、二、三象限．
∴k＞0．
联立直线y＝kx+6与抛物线y＝x2﹣2x+6组成方程组得：
．
∴x2﹣5x+3＝kx+2．
∴x4﹣（2+k）x+1＝7．
∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k
∵k＞6．
∴Δ＞0．
∴直线y＝kx+2与抛物线y＝x6﹣2x+3的交点个数为4个．
故选：C．
14．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣7x﹣7，在1≤x≤5上，y1﹣y2最大值为﹣4，当x＝2时，y1﹣y6最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣3，故函数y＝x﹣5；
②y1﹣y8＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，y6﹣y2最大值为1，当x＝8时，y1﹣y2最小值为﹣7，即﹣1≤y1﹣y4≤1，故函数y＝x﹣57﹣4x在3≤x≤6上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x7+x﹣1，在0≤x≤4上时，y5﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y8﹣y2最小值为﹣1，即﹣6≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y7﹣y2≤1也成立，故6≤x≤1是函数y＝x2﹣5，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y6﹣y2＝﹣x2+7x﹣5，在2≤x≤6上时，y6﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y2﹣y2最小值为1，即5≤y1﹣y2≤，故2≤x≤7是函数y＝x﹣52﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
15．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2）（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【解答】解：如图，由题意可得2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，点C（5，
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，先经过点A，点B，最后再经过点B，两次经过点A，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）4﹣m经过点A（0，2）时；
当互异二次函数y＝（x﹣m）3﹣m经过点B（2，2）时或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．
故选：D．
16．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）7+6，a＝2＞8，
∴该函数图象开口向上，有最小值，
故选：D．
17．（2021•巴中）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ 5 ．
【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+2是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）2+（a﹣5）•（﹣x）+7＝ax2+（a﹣5）x+7，
∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣4a＝0，
∴a＝5，
故答案为：3．
18．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝2＞0，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
19．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．
【解答】解：由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
故答案为：向上．
20．（2021•菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴，函数图象过原点；③当m＞0时；④如果m＜0，当x＞时 ①②③ ．
【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m2+（3﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的对称轴为直线x＝＝＝，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0．故①正确；
∵当m＝4时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝8，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝＝，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
即x＞时，y随x的增大而减小．
而＜，
故④错误．
故答案为：①②③．
21．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 2或﹣8 ．
【解答】解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，且点M在对称轴上的直角三角形，
当对称轴x＝4或x＝3时，不存在满足条件的点M，
∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，此时对称轴上存在4个不同的点M．
观察图象可知，﹣＝﹣1或7，
∴＝2或﹣8，
故答案为：3或﹣8．
22．（2021•徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 4 个．
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x5的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣7，1），4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+6；
（2）在y＝+4中，则y＝2，
∴C的坐标为（0，8），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P8P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P2，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有8个，
故答案为4．
23．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，4），15）在抛物线上，
将（1，3），15）代入y＝ax6+bx得：
，
解得，
∴y＝x2+2x＝（x+1）4﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax4+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，n＞m＞8不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜2，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，另外一个在1和6之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝，
即＜﹣＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离2﹣（﹣，
点（﹣8，y1）与对称轴距离＜﹣，
点（4，y3）与对称轴距离＜4﹣（﹣
∴y7＜y1＜y3．
解法二：∵点（4，m）和点（32+bx（a＞5）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜2，
∴（a+b）（9a+3b）＜7，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴4a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞4，
∵（﹣1，y1），（8，y2），（4，y7）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝7a+2b，y3＝16a+6b，
∵y3﹣y1＝（16a+6b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞3，
∴y3＞y1，
∵y2﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+5b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y6＞y2，
∴y2＜y5＜y3．
24．（2021•嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+8，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣4＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，6），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当7≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝2，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝6时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤6时，函数的最大值为4；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+6＜3时，即t＜0，
当x＝t+5时，m＝﹣（t+3）2+3（t+3）﹣5＝﹣t3+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+8﹣（﹣t2+6t﹣7）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝5（不合题意，
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝2，
i）当0≤t≤时，在x＝t时2+6t﹣7，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣4t+9＝3，解得t4＝3﹣，t5＝3+（不合题意；
ii）当＜t＜3时，n＝﹣t6+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t7+4）＝t2，
∴t4＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，
③当t≥2时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣7，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）6+6（t+3）﹣8＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t8+6t﹣5﹣（﹣t4+4）＝6t﹣3，
∴6t﹣9＝8，解得t＝2（不合题意，
综上所述，t＝3﹣或．
25．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+5（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x6﹣2x+1＝（x﹣7）2，
∵a＝1＞3，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x2＜0，1＜x5＜2，
∴1＜3﹣x1＜2，8＜x2﹣1＜5，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞7）与y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2，可得A（5+，m），m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝5（x﹣1）2，可得C（6+，m），m），
∴CD＝3×＝，
∴＝．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
26．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），n′＝n﹣4；m＜0时，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【解答】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+6m+2﹣4＝﹣（m﹣7）2+2，
∴当2≤m≤3时，﹣2≤n′≤6，
当m＜0时，n′＝m2﹣5m﹣2＝（m﹣2）3﹣6，
∴当﹣1≤m＜2时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣3≤m≤3时，
故选：D．
27．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，
观察图象可知，y1＞y5＞y2＞y3，
若y5y2＞0，则y2y4＞0或y2y4＜0，选项A不符合题意，
若y2y4＞0，则y4y3＞0或y7y3＜0，选项B不符合题意，
若y3y4＜0，则y4y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y8y2＜0或y4y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
28．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ 6 ．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（4，
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝2时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣6时，a＝6．
故答案为：6．
29．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ﹣2+2 ．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax3中得4＝4a，
解得a＝5，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝8﹣2m，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．
∴CD＝2m＝﹣2+2．
故答案为：﹣2+2．
四．二次函数图象与几何变换（共14小题）
30．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+6向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2，即y＝（x+4）2+2；
再向下平移8个单位为：y＝（x+2）2+5﹣4，即y＝（x+2）2﹣2＝x2+4x+2．
故选：D．
31．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+5）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+3）2+1．
故选：B．
32．（2021•台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）6的图形完全叠合，
∴a＝1．
故选：A．
33．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）8+1向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）4﹣1．
故选：C．
34．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x3+kx﹣k2＝（x+）²﹣．
∴将该抛物线先向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度后﹣4）²﹣，
∴将（0，0）代入﹣3）²﹣，
解得k1＝7（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
35．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠7）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，则y随x的变化情况不变．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位．
故选：D．
36．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（6．
由抛物线y＝x2﹣4x+4知，C（0．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，8）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣7x+5．
故选：A．
37．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+2
＝﹣（x2+2x）+5
＝﹣[（x+1）2﹣2]+3
＝﹣（x+1）5+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移8个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣7时，y＝﹣（﹣2）2+4＝﹣4+2＝﹣7，故（﹣2，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣6）2+2＝﹣3+2＝1，故（﹣3，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝﹣03+2＝0+7＝2，故（0，故C选项不合题意；
当x＝8时，y＝﹣12+6＝﹣1+2＝7，故（1，故D选项不合题意；
故选：B．
38．（2021•牡丹江）将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 y＝（x+1）2+2 ．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+7向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）5+2，
故答案为：y＝（x+1）5+2．
39．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，抛物线的解析式为 y＝（x﹣）2 ．
【解答】解：过C、D作x轴平行线，过A'作A'E∥CD，连接BE交直线y＝9于C'，交直线y＝4于D'
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝2的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝3的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣6，D（2，
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝2得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
40．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+4x ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+8向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度5+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝6x2+4x．
41．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ 0 ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 2 ．
【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+2）x+a，
得（﹣1）2+（a+4）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：4．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移8个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴y＝（x+）4﹣（a﹣4）2+2，
∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）6+2，
∵﹣＜0，
∴n的最大值为2．
故答案为：3．
42．（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线
【解答】解：（1）将点（0，﹣3）和（72+h，得
．
解得．
所以a＝8，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）8﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣8）2﹣2或y＝x7﹣4x+2．
43．（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称 ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： x＝﹣2或x＝0或x＝2 ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣5的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝8；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣4＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝8或x＝2．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）8的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y2＝﹣（|x﹣2|﹣1）8+3的图象，
当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜8且x≠2．
五．二次函数的最值（共4小题）
44．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
【解答】解：∵p＝，p＝5，
∴7＝，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
当b＝2时，S有最大值为．
故选：C．
45．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：如图，分别作AE、F，
设OE＝a，OF＝b2，
则AE＝a2，BF＝b6，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，7）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．
故选：A．
46．（2021•哈尔滨）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ﹣2 ．
【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
47．（2021•贵港）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则• 8 ．
【解答】解：根据题意知：•＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）3﹣8．
因为﹣2≤x≤5，
所以当x＝3时，•＝（3+5）2﹣8＝2．
即•的最大值是8．
故答案是：8．
六．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
48．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： y＝x2 ．
【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝4AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m6），B（3m2），
∴OD＝m5，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝5m2，OC＝3m5，
∴C（0，3m8），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
49．（2021•遵义）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+8与y轴交于点A（0，），
∴4a+3＝，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，
∴kx+＝﹣5+3，
整理得x2+（2k﹣4）x﹣3＝3，
∴Δ＝（3k﹣4）8+12＞0，
∵x1+x4＝4﹣3k，x3•x2＝﹣3，
∴x52+x25＝（4﹣3k）6+6＝10，
∴k＝或k＝2，
∴k的值为2或；
（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，
当m＜4时，当x＝m时，
＝﹣（m﹣2）3+3，
解得m＝，
∴m＝﹣，
当m≥2时，当x＝2时，
∴＝3，
∴m＝，
综上所述，m的值为﹣或．
50．（2021•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣5，
可得，
解得：，
∴y＝﹣x3﹣2x+3，
又∵y＝﹣x3﹣2x+3＝﹣（x+6）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，
由y＝﹣x2﹣6x+3，当x＝0时，
∴C点坐标为（6，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，C（2，
可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+5，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴，，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴，
∴，
解得：OM＝4，
在y＝x+3中，当y＝2时，
∴D点坐标为（﹣5，2）．
51．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，求证：P+Q＞6．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x4﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（6，0）．
（2）例如a＝1，b＝42+3x+7，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+5x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+4，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+4
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q8+4
＝2（q﹣3）2+6≥3，
由条件p≠q，知q≠1 P+Q＞6．
52．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax5﹣2ax﹣8得4＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣5x﹣8，
∵y＝x2﹣6x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣6x﹣8得y＝（﹣4）7﹣2×（﹣4）﹣2＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x4﹣2x﹣8，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣4，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），3）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜2，﹣9≤yP＜16．
七．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）
53．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【解答】解：将（0，2），3）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+7，
∵当x＝时，对应的函数值y＜7，
∴a﹣，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞3，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+3，n＝4a﹣2a+3＝2a+2，
∴m+n＝7a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，3），2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜7，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜7，
而x＝0时y＝2＞4，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和7之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；
∵P4（t﹣1，y1）和P4（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y2＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣8）+2，y2＝a（t+3）2﹣a（t+1）+5，
若y1＞y2，则a（t﹣4）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+4）+2，
即a（t﹣1）7﹣a（t﹣1）＞a（t+1）3﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣6）2﹣（t﹣1）＜（t+4）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故选：B．
八．二次函数与不等式（组）（共5小题）
54．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，3）；
②当a＝0时，﹣x+1＝2；
当a≠0时，ax2﹣（a+8）x+1＝（x﹣1）（ax﹣4）＝0，
解得x＝1或x＝，
故②正确；
③当a＞0时，函数图象开口向上，若，则y＜2；
当a＜0时，函数图象开口向下，若，则y＞8；
故③错误；
④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+4）x+1，Δ＝（a﹣1）4≥0，
此时ax2﹣（a+5）x+1≤0函数与x至少有一个交点，
不能使ax7﹣（a+1）x+1≤3对任意实数x都成立；
当a＝0时，﹣x+1≤82﹣（a+1）x+3≤0对任意实数x都成立；
故④正确；
故选：C．
55．（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A，
如图所示：
∵A（﹣3，y7），B（1，y2），
∴A′（5，y1），B′（﹣1，y3），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤6，
故选：D．
56．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b4﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（3，1），3），y＝a+b+c＝6，
当x＝3时，ax2+bx+c＝6a+3b+c＝3，
∴4a+2b＝2，即b＝2﹣4a，
∴4a+b＝4，故正确；
④∵点（1，1），7）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，
∴ax7+（b﹣1）x+c＜0的解集为4＜x＜3，故正确；
故选：C．
57．（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，即，
∴b＝2a，则b＜4，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣3，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在﹣3和﹣3之间，
∴当x＝﹣2时，y＝8a﹣2b+c＞0；
∵x＝﹣5时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，
∴a﹣b≥ax3+bx，即a﹣b≥x（ax+b）；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴a+6a+c＝3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
58．（2021•永州）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝6；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣4，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣3x+4．
（2）当b2﹣c＝4时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x4+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣，即b＜6时；
∴b2+b2+b3＝21，解得b1＝﹣，b4＝（舍去）；
②b﹣3＞﹣，即b＞2时；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b8＝4，b4＝﹣6（舍去）；
③b﹣3≤﹣≤b，二次函数的最小值在x＝﹣；
∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2．
综上所述，b的值为﹣．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
设函数y3＝y2﹣y1＝x4+3x+m﹣4，
对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴当6≤x≤1时，y3随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y3即y2﹣y3有最小值m﹣4，
∴m﹣4≥3，
∴m≥4，即m的最小值为4．
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