2022年（通用版）中考数学二轮复习核心攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程（原卷+解析版）

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专题04  分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01  分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。【注意】A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。4、分式的乘除①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。④整数负指数幂：。5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减：；②异分母分式的加法：。【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 【例 1】 若分式在实数范围内无意义，则x的取值范围是（    ）A．x≠1          B．x=1    C．x=0          D．x＞1【例 2】 若分式的值不存在，则__________．【例 3】分式的值是零，则x的值为（  ）A．5     B．2      C．－2       D．－5【例 4】下列变形正确的是（  ）A．=        B．C．–1=        D．=考点02  分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．【注意】解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．【例 5】 方程的解为_______________． 【例 6】若关于的方程有正数解，则（    ）A．且      B．且C．        D．【例 7】已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（    ）A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定【例 8】数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 考点03  一元二次方程相关概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．【注意】（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．3. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适合于或形式的方程．（2）配方法： ①化二次项系数为1；②移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成的形式；⑤运用直接开平方法解方程．（2）公式法：①把方程化为一般形式，即；②确定的值；③求出的值；④将的值代入即可．（4）因式分解法：把方程化成的形式，可得或．4. 一元二次方程根的判别式及根与系数关系（1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有1个（两个相等的）实数根；③当时，方程没有实数根．（3）根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，）有根时，设其两根分别为，，则，．5. 利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．（1）增长率等量关系①增长率=增长量÷基础量．②设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．（2）利润等量关系：①利润=售价－成本．②利润率=×100％．（3）面积问题①类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．②类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．③类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．             图1                      图2                          图3（4）碰面问题（循环问题）①重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m=②不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.∴m=【例 9】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是A．m≠−1            B．m=−1C．m≥−1            D．m≠0【例 10】已知，且．则的值是_________．【例 11】关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（  ）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【例 12】某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？A．4             B．5C．6             D．7 【例 13】如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．  第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）1. 使得式子有意义的x的取值范围是（    ）A．x≥4     B．x>4    C．x≤4    D．x<42.要使分式有意义，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．3.下列分式中，是最简分式的是A．       B．   C．      D．4.分式方程的根为（    ）A．或        B．C．         D．或 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）A．-=20 B．-=20 C．-= D．=6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．且7.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ）A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根   C．有两个相等的实数根   D．没有实数根 同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为（   ）A．x（x–1）=45 B．x（x–1）=
C．x（x–1）=45 D．x（x+1）=459.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）A．16 B．24 C．16或24 D．4810.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）A． B． C． D．第二部分      填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.方程的解为__________．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为_______________． 若关于x的分式方程有增根，则_________．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000 kg所用时间与B型机器人搬运800 kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为_______________．15.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_______________．16.一元二次方程的两根为，则____       _ 第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题，共56分）17. .先化简，再求值：，其中x=4   先化简，再求值：，其中，．     解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．        某工程队准备修建一条长的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？    已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．    22.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价（元/件）606570销售量（件）140013001200（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？