初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.1 不等式9.1.2 不等式的性质练习

9.1.2 不等式的性质

基础对点练

知识点1 不等式的性质

1.（湖南省常德市2021年中考数学试卷）若，下列不等式不一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案．

【详解】

解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意；

B. 在不等式两边同时乘以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意；

C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意；

D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．

2.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）．

A． a＋c＞b＋c； B． c－a＞c－b； C． ac＞bc； D．．

【答案】A

【解析】

【详解】

根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．

解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；

B，∵a＞b，

∴-a＜-b，

∴-a+c＜-b+c，

故此选项错误；

C，∵a＞b，c＜0，

∴ac＜bc，

故此选项错误；

D，∵a＞b，c＜0，

∴，

故此选项错误；

故选A．

3.下列说法中，不一定成立的是（    ）

A.如果，那么      B.如果，那么

C.如果，那么         D.如果，那么

【答案】C

4.下列不等式变形正确的是 （          ）

A．由a＞b，得a－2＜b－2 B．由a＞b，得－2a＜－2b

C．由a＞b，得 D．由a＞b，得

【答案】B

5.已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由．

(1)a+3________b+3．(2)a-4________b-4．(3)a_______b．

(4)-2a________-2b．(5)3a-1________3b-1．(6)1-a________1-b．

【答案】(1)＞  (2)＞  (3)＞  (4)＜  (5)＞  (6)＜

6.说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：

（1）由x＞－3，得x＞－6；___________；

（2）由3＋x≤5，得x≤2；______________；

（3）由－2x＜6，得x＞－3；____________；

（4）由3x≥2x－4，得x≥－4._____________．

【答案】     （1）不等式的基本性质2    （2） 不等式的基本性质1    （3） 不等式的基本性质3   （4）不等式的基本性质1

【解析】

（1）由x＞－3，根据不等式的基本性质2，两边同时乘以2得x＞－6；

（2）由3＋x≤5，根据不等式的基本性质1，两边同时减去3得x≤2；

（3）由－2x＜6，根据不等式的基本性质3，两边同时除以－2得x＞－3；

（4）由3x≥2x－4，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2x得x≥－4.

故答案为：不等式的基本性质2；不等式的基本性质1；不等式的基本性质3，不等式的基本性质1．

7.阅读下面解题过程，再解题．

已知a＞b，试比较－2022a＋1与－2 022b＋1的大小．

解：因为a＞b，①

所以－2 022a＞－2 022b，②

故－2 022a＋1＞－2 022b＋1． ③

问：(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误；

(2)错误的原因是什么？

(3)请写出正确的解题过程．

【答案】(1)②；(2)错误地运用了不等式的基本性质3 (3)－2022a＋1＜－2022b＋1．

【解析】

【分析】

(1)由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；

(2)对不等式性质3应用错误；

(3)根据不等式的性质3，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．

【详解】

(1)②；

(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；

(3)因为a＞b，

所以－2 022a＜－2 022b，

故－2 022a＋1＜－2 022b＋1．

【点睛】

此题主要考察不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．

知识点2 利用不等式的性质解不等式

8.的解集是（       ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，先确定的符号，再确定不等号的方向即可解答．

【详解】

解：由于的符号不能判断，所以不等号的方向也不确定，所以解集无法确定．

故选D．

【点睛】

本题考查了不等式的性质：在不等式两边同加或减一个数或式子，不等号方向不变；在不等式两边同乘或除以一个正数或式子，不等号的方向不变；在不等式两边同乘或除以一个负数或式子不等号方向改变．

9.下列变形中，错误的是（     ）

A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若，则

C．若，则x＞﹣5 D．若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的两边都加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【详解】

解：A、不等式的两边都减5，不等号的方向不变，故A不符合题意；

B、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变得到，故B符合题意；

C、不等式的两边都乘以（﹣5），不等号的方向改变，故C不符合题意；

D、不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质计算式解题．

10.不等式的解集为         .

【答案】

11.不等式≥的解集为         .

【答案】≤

12.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．

(1)；          (2)；

(3)；       (4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】

【分析】

（1）根据不等式的性质1解答即可；

（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答；

（3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答；

（4）根据不等式的性质3解答即可；

(1)

解：，

两边加上得：，

解得：；

(2)

解：，

两边加上得：，即，

两边除以得：；

(3)

解：，

两边减去得：，即，

两边除以得：；

(4)

解：，

两边除以得：．

【点睛】

本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

能力达标练

13.下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

令，代入各式中判断是否成立，即可得出结果．

【详解】

解：A中当时，，原式不成立，故不符合要求；

B中，无论取何值，都成立，故符合要求；

C中当时，，原式不成立，故不符合要求；

D中当时，，原式不成立，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了不等式的性质．解题的关键在于举出不等式不成立的反例．

14.若，且，则m的值可以是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得m－2＜0，进而可得m的范围，进一步即得答案．

【详解】

解：∵，且，

∴m－2＜0，

解得：m＜2，

纵观各选项，m可能为1．

故选：A．

【点睛】

本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．

15.如果，则下列不等式成立的（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式的基本性质，分别求得x、及的取值范围，然后比较即可作出选择．

【详解】

解：∵，

∴（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变），

（不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变），

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．

16.如果，则大小关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，求出x−y＜x，x＋y＞x，即可得出答案．

【详解】

解：∵y＞0，

∴x−y＜x，x＋y＞x，

即x−y＜x＜x＋y，

故选：B．

【点睛】

本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．

17.若满足代数式的值与代数式的值相等，且求的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据题意求出x的值，再将x代入不等式求出的取值范围即可．

【详解】

解:由题意，得

解得

将代入得

解得

所以的取值范围是

【点睛】

本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式的问题，掌握解一元一次方程和一元一次不等式的方法是解题的关键．

18.已知关于的不等式，两边同除以，得，试化简：．

【答案】-1

【解析】

【分析】

首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得，所以；然后判断出的正负，求出的值是多少即可．

【详解】

解：因为，两边同除以，得，

所以，，

所以，

所以

【点睛】

此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出．

拓广探索突破

19.在实数范围内定义一种新运算“”其运算规则为：，如．

（1）若，则                       ．

（2）若关于的方程的解为非负数，求的取值范围．

【答案】（1）12；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．

（2）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程得到x，再根据解为非负数，得到不等式，解之即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴x⊕4=2x-（x+4）=x-6=0，

解得：x=12；

（2）∵，

∴

解得：x=，

∵方程的解为非负数，

∴，

解得：．

【点睛】

本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．