专题9—几何压轴 2022年内蒙鄂尔多斯中考数学复习专题（无答）

1．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M是BC上的一点，BM=1cm，CM=2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM=__________cm．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB=AD=a，CB=CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD=∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD=CD，∠ADC=60°，∠ABC=75°，AB=2，BC=2，求四边形ABCD的面积．

2．（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B=______°．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC=1，∠C=90°，延长CA到D，使CD=1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=1，CD=3，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
 

3．（1）【探究发现】
如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF=90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是_________．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF=60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，∠BOD=120°，OD=，OB=4，OA平分∠BOD，AB=，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD=60°，求OC的长．
 

4．（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，请直接写出图中的另外一对相似三角形：_______；
（2）【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；
（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=2，AC=3，请直接写出AD的长．
 

5．在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．
（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若BC=4，CD=2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60°时，请直接写出线段OD的长．
 

6．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．
 

7．【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是_________，位置关系是________；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
 

8．“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆．“隐圆”现身，“圆”来如此简单．
【小试牛刀】如图1，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=70°，则∠DBC=_____度．
【大显身手】如图2，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD=90°，过点A的直线a与CD平行，点B是直线a上的一个动点，且∠CBE=90°．
（1）如图①，当BE与AD的交点P在边AD上时，试判断BC，BP的数量关系是__________　 ；
（2）如图②，当BE与AD的交点P在AD的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当BE与AD的交点P在DA的延长线上，且BP=5，AD=8时，求AB的长．

9．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为______；
②线段AD，BE之间的数量关系为_________．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
 

10．如图1，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．
观察猜想
（1）①OE与CE的数量关系是________；
②∠OEC与∠OAB的数量关系是______；
类比探究
（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展迁移
（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD=，OB=3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．
 

11．【问题发现】
（1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，其中∠APE=90°，AP=PE，如图2．当点P在对角线BD上，点E恰好在CD边所在直线上时，则BP与CE之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形ABCD中，AB=2，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE＝6，求△BPE的面积．
 

12．【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE=FG．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．
 

13．（1）【问题探究】
如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
（2）【问题解决】
如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=，AC=2，OC=，点P在OC上，求DP+PC的最小值．
（3）【问题拓展】
如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+BD的最小值．
 

14．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．

（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是______；
②直线DE、BG之间的位置关系是___________．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．

15．（1）【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
请证明△PBC是等边三角形．
（2）【数学思考】
如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
（3）【问题解决】
已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
 

16．【问题情景】通过作平行线来实现问题转化是我们常用到的方法．
如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=2，BE=4，求BC+DE的值．我们可以过点D作BE的平行线（如图2），也可过点E作CD的平行线解决问题．
【问题解决】（1）请回答：BC+DE的值为__________．
【类比探究】（2）如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，参考上述思考问题的方法，求∠AGF的度数．
【迁移应用】（3）如图4，已知：AB、CD交于E点，连接AD、BC，AD=3，BC=1．且∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，则∠AED=_________度，若CD=4，求AB的长．
 

17．情景观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是_____，∠CAC′=______-°；
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE、AC=kAF，探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

18．问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠DCE=45°，试探究BD、DE、EA满足的等量关系．
[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CBD绕点C逆时针旋转90°得到△CAF，连接EF，由已知条件易得∠EAF=90°，∠ECF=∠ECA+∠ACF=∠ECA+∠BCD=45°．根据“边角边”，可证△CEF≌______，得EF=ED．在Rt△FAE中，可得AF2+AE2=EF2．由AF=BD，可得BD、DE、AE之间的等量关系是 __________．
[实践运用]
（1）如图2，在正方形ABCD中，△DEF的顶点E、F分别在AB、BC边上，高DG与正方形的边长相等，求∠EDF的度数．
（2）在（1）的条件下，连接AC，分别交DE、DF于点M、N，若AE=4，CF=6，AM=3，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．
 

19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=，请直接写出FH的长．
 

20．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM=1，MN=2，则BN=______．
（1）【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC=CP，连接PA，PB，若∠A=2∠B，求∠B的度数．
（3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数y=（x＞0）上的动点，直线y=-x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点．
 

21．（1）【问题情境】
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE=CF．（不需证明）
（2）【探索发现】
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．
【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）【类比迁移】
如图③，在等边△ABC中，AB=4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF=2CE时，求CE的长．
 

22．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．
2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF=ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
 

23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究：
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展：
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．