内蒙古鄂尔多斯康巴什新区2021-2022学年中考试题猜想数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．2018的相反数是（    ）

A． B．2018 C．-2018 D．

2．根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（    ）

A．-1 B．- C． D．–π

3．如图，AB∥CD，那么（　　）

A．∠BAD与∠B互补 B．∠1=∠2 C．∠BAD与∠D互补 D．∠BCD与∠D互补

4．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是(　　)

A． B． C． D．

5．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（　　）

A．54°    B．36°    C．30°    D．27°

6．已知代数式x+2y的值是5，则代数式2x+4y+1的值是（　　）

A．6     B．7    C．11    D．12

7．如图，菱形ABCD中，E. F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（  ）

A．12 B．16 C．20 D．24

8．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

A．73 B．81 C．91 D．109

9．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是10元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m1．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m1，根据题意列方程，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

10．不等式3x＜2（x+2）的解是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），则______

12．若反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+k的图象有一个交点为（m，﹣4），则这个反比例函数的表达式为_____．

13．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.

14．关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．

15．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于1．

53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=2．

（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的     ，请写出一个符合上述规律的算式      ．

（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．

16．已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC·AB，则AC的长___________cm．

17．已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB 的平分线．

求证：AB=DC．

19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

20．（8分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）

(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；

(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．

21．（10分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=1．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

22．（10分）先化简，再求值：，其中m＝2.

23．（12分）已知抛物线y=﹣x2﹣4x+c经过点A（2，0）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若点B（m，n）是抛物线上的一动点，点B关于原点的对称点为C．

①若B、C都在抛物线上，求m的值；

②若点C在第四象限，当AC2的值最小时，求m的值．

24．（14分）试探究：

小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝　   　；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．

拓展延伸：

小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：

（1）求证：△ACF∽△FCE；

（2）求∠A的度数；

（3）求cos∠A的值；

应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

【详解】2018与-2018只有符号不同，

由相反数的定义可得2018的相反数是-2018，

故选C.

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2、B

【解析】
根据两个负数，绝对值大的反而小比较．

【详解】

解：∵− ＞−1＞− ＞−π，

∴负数中最大的是−．

故选：B．

【点睛】

本题考查了实数大小的比较，解题的关键是知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．

3、C

【解析】
分清截线和被截线，根据平行线的性质进行解答即可．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠BAD与∠D互补，即C选项符合题意；

当AD∥BC时，∠BAD与∠B互补，∠1=∠2，∠BCD与∠D互补，

故选项A、B、D都不合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

4、A

【解析】

由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．

∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．

则y=2x，为正比例函数．

故选A．

5、D

【解析】解：∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，∵∠ODA=36°，∴∠AOD=54°，∵∠AOD与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOD=27°．故选D．

6、C

【解析】
根据题意得出x+2y=5，将所求式子前两项提取2变形后，把x+2y=5代入计算即可求出值．

【详解】

∵x+2y=5，

∴2x+4y=10，

则2x+4y+1=10+1=1．

故选C．

【点睛】

此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．

7、D

【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.

【详解】

、分别是、的中点，

是的中位线，

，

菱形的周长．

故选：.

【点睛】

本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.

8、C

【解析】

试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；

第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；

第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；

…，

第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；

第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1．

故选C．

考点：图形的变化规律.

9、A

【解析】

解：设去年居民用水价格为x元/cm1，根据题意列方程：

，故选A．

10、D

【解析】
不等式先展开再移项即可解答.

【详解】

解：不等式3x＜2（x+2），

展开得：3x＜2x+4，

移项得：3x-2x＜4，

解之得：x＜4.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式的步骤.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、﹣．

【解析】

试题分析：由根与系数的关系得：，

则， 则，

∴原式=．

点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的韦达定理以及规律的整理，属于中等题型．解决这个问题的关键就是要想到使用韦达定理，然后根据计算的法则得出规律，从而达到简便计算的目的．

12、y＝﹣．

【解析】
把交点坐标代入两个解析式组成方程组，解方程组求得k，即可求得反比例函数的解析式．

【详解】

解：∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+k的图象有一个交点为（m，﹣4），

∴，

解得k＝﹣5，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣，

故答案为y＝﹣．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象上点的坐标特征得出方程组是解题的关键．

13、1:3:5

【解析】

∵DE∥FG∥BC，

∴△ADE∽△AFG∽△ABC，

∵AD=DF=FB，

∴AD:AF:AB=1:2:3，

∴ =1:4:9，

∴SⅠ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.

故答案为1:3:5.

点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．

14、k＜2且k≠1

【解析】

试题解析：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，

∴k-1≠0且△=（-2）2-4（k-1）＞0，

解得：k＜2且k≠1．

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．

15、 (1)十位和个位，44×46=2024；(2) 10a（a+1）+b（1﹣b）

【解析】分析：(1)、根据题意得出其一般性的规律，从而得出答案；(2)、利用代数式表示出其一般规律得出答案．

详解：（1）由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，

例如：44×46=2024，

（2）（1a+b）（1a+1﹣b）=10a（a+1）+b（1﹣b）．

点睛：本题主要考查的是规律的发现与整理，属于基础题型．找出一般性的规律是解决这个问题的关键．

16、

【解析】
设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB列方程求解即可.

【详解】

解：设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),

解得：x=或（舍去）.

故答案为.

【点睛】

本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.

17、-3

【解析】

试题解析：根据题意得：△=（2）2-4×1×（-k）=0，即12+4k=0，
解得：k=-3，

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、∵平分平分，

∴

在与中，

．

【解析】

分析：根据角平分线性质和已知求出∠ACB=∠DBC，根据ASA推出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质推出即可．

解答：证明：∵AC平分∠BCD，BC平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABC，∠ACB=∠DCB，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠ACB=∠DBC，

∵在△ABC与△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AB=DC．

19、 (1)证明见解析

(2)BC=

【解析】
（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；

（2）可证明△ABC∽△BDC，则，即可得出BC=．

【详解】

（1）∵AB是⊙O的切直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，

∴∠BAD=∠DBC，

∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，

∴∠ABC=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，

∴BC=．

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.

20、（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；

（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.

【详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，

所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，

∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为＝；

（2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为，所有可能性如下表所示：

由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为.

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21、（1）证明见解析（2）7/24（3）25/6

【解析】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

  ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。

在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，

∴△ABG≌△C′DG（ASA）。

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。

设AG=x，则GB=1﹣x，

在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（1﹣x）2，解得x=。

∴。

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4。

∵tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=AB=×6=3。

∴EF=EH+HF=。

（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=1-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。

22、，原式.

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值.

【详解】

原式，

当m＝2时，原式.

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23、（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x+12，顶点坐标为（﹣2，16）；（2）①m=2或m=﹣2；②m的值为 ．

【解析】

分析：（1）把点A（2，0）代入抛物线y=﹣x2﹣4x+c中求得c的值，即可得抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标即可；（2）①由B（m，n）在抛物线上可得﹣m2﹣4m+12=n，再由点B关于原点的对称点为C，可得点C的坐标为（﹣m，﹣n），又因C落在抛物线上，可得﹣m2+4m+12=﹣n，即m2﹣4m﹣12=n，所以﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12，解方程求得m的值即可；②已知点C（﹣m，﹣n）在第四象限，可得﹣m＞0，﹣n＜0，即m＜0，n＞0，再由抛物线顶点坐标为（﹣2，16），即可得0＜n≤16，因为点B在抛物线上，所以﹣m2﹣4m+12=n，可得m2+4m=﹣n+12，由A（2，0），C（﹣m，﹣n），可得AC2=（﹣m﹣2）2+（﹣n）2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=（n﹣）2+，所以当n=时，AC2有最小值，即﹣m2﹣4m+12=，解方程求得m的值，再由m＜0即可确定m的值．

详解：

（1）∵抛物线y=﹣x2﹣4x+c经过点A（2，0），

∴﹣4﹣8+c=0，即c=12，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x+12=﹣（x+2）2+16，

则顶点坐标为（﹣2，16）；

（2）①由B（m，n）在抛物线上可得：﹣m2﹣4m+12=n，

∵点B关于原点的对称点为C，

∴C（﹣m，﹣n），

∵C落在抛物线上，

∴﹣m2+4m+12=﹣n，即m2﹣4m﹣12=n，

解得：﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12，

解得：m=2或m=﹣2；

②∵点C（﹣m，﹣n）在第四象限，

∴﹣m＞0，﹣n＜0，即m＜0，n＞0，

∵抛物线顶点坐标为（﹣2，16），

∴0＜n≤16，

∵点B在抛物线上，

∴﹣m2﹣4m+12=n，

∴m2+4m=﹣n+12，

∵A（2，0），C（﹣m，﹣n），

∴AC2=（﹣m﹣2）2+（﹣n）2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=（n﹣）2+，

当n=时，AC2有最小值，

∴﹣m2﹣4m+12=，

解得：m=，

∵m＜0，∴m=不合题意，舍去，

则m的值为．

点睛：本题是二次函数综合题，第（1）问较为简单，第（2）问根据点B（m，n）关于原点的对称点C（-m，-n）均在二次函数的图象上，代入后即可求出m的值即可；（3）确定出AC2与n之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得当n=时，AC2有最小值，在解方程求得m的值即可.

24、（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A＝36°；（4）

【解析】
尝试探究：根据勾股定理计算即可；

拓展延伸：（1）由AE2＝AC•EC，推出 ，又AE＝FC，推出 ，即可解问题；

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；

（3）如图，过点F作FM⊥AC交AC于点M，根据cos∠A＝ ，求出AM、AF即可；

应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；

【详解】

解：尝试探究：﹣1；

∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，

∴AB＝，

∴AD＝AE＝，

∵AE2＝（）2＝6﹣2，

AC•EC＝2×[2﹣（）]＝6﹣ ，

∴AE2＝AC•EC，

∴小张的发现正确；

拓展延伸：

（1）∵AE2＝AC•EC，

∴

∵AE＝FC，

∴，

又∵∠C＝∠C，

∴△ACF∽△FCE；

（2）∵△ACF∽△FCE，∴∠AFC＝∠CEF，

又∵EF＝FC，

∴∠C＝∠CEF，

∴∠AFC＝∠C，

∴AC＝AF，

∵AE＝EF，

∴∠A＝∠AFE，

∴∠FEC＝2∠A，

∵EF＝FC，

∴∠C＝2∠A，

∵∠AFC＝∠C＝2∠A，

∵∠AFC+∠C+∠A＝180°，

∴∠A＝36°；

（3）如图，过点F作FM⊥AC交AC于点M，

由尝试探究可知AE＝ ，

EC＝，

∵EF＝FC，由（2）得：AC＝AF＝2，

∴ME＝ ，

∴AM＝ ，

∴cos∠A＝ ；

应用迁移：

∵正十边形的中心角等于 ＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形，

∴如图，当点A是圆内接正十边形的圆心，AC和AF都是圆的半径，FC是正十边形的边长时，

设AF＝AC＝2，FC＝EF＝AE＝x，

∵△ACF∽△FCE，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴半径为2的圆内接正十边形的边长为．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．