2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（五）（含解析）

这是一份2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（五）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（五）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−b)3结果正确的是(    )
A. −3b B. 3b C. −b3 D. b3
2. 据国家电影局初步统计，2023年春节档(1月21日至1月27日)电影票房约为6758000000元，数据6758000000用科学记数法表示为(    )
A. 6.758×109 B. 6.758×1010 C. 6758×106 D. 0.6758×1010
3. 某物体如图所示，它的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 已知a，b，c是实数，若a>b，c<0，则(    )
A. a+b>c B. a+c>b C. a>b+c D. 2a>b+c
5. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的(    )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
6. 如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E.若BC=6，∠A=60°，则DE的长为(    )
A. 12π
B. π
C. 2π
D. 3π
7. 已知点(−3,y1)、(−1,y2)、(1,y3)在下列某一函数图象上，且y3 A. y=3x B. y=3x2 C. y=3x D. y=−3x
8. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，3大桶加3小桶共盛斛米.(注：斛是古代一种容量单位)(    )
A. 34 B. 56 C. 52 D. 185
9. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE=AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G.若AB=6，EF∶AG=2∶3，则BG的长为．(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 已知二次函数y=x2+2cx+c的图象经过点A(a,c)，B(b,c)，且满足0 A. n=−3m−4 B. m=−3n−4 C. n=m−m2 D. m=n2+n
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x3−9x=          ．
12. 计算4aa2−4−2a+2的结果是______ ．
13. 某学校从“立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球”四个项目中抽取两项进行测试，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率为______ ．
14. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t−4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行        m才能停下．
15. 如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF/​/MN，则cos∠E= ______ ．


16. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF=3，EF=6，则AD的长是______ ，CD的长是______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
(1)计算： 9+|−6|−32；
(2)化简：(2a−1)2+a(4−a)．
18. (本小题8.0分)
为了推动阳光体育运动的广泛开展，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现随机抽取了学生a人，统计他们的鞋号并绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求a和m的值；
(2)直接写出本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
(3)根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？


19. (本小题8.0分)
如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若DECE=12．
(1)若BC=2，求线段CF的长；
(2)若△ADE的面积为3，求平行四边形ABCD的面积．

20. (本小题10.0分)
已知一次函数y1=x−a+2的图象与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象相交．
(1)若y2的图象经过点(k,m)，求m的值．
(2)若y1的图象过点(k,1)，且2a+k=8．
①求y2的函数表达式；
②当x>0时，比较y1，y2的大小．
21. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD中，BC>AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE的点F处，连接BF．
(1)求证：BC=CE；
(2)设AE=kAD，AB=mAD，求m与k满足的关系式．

22. (本小题12.0分)
设二次函数y=ax2+4ax+4a+1(a为常数，且a<0)．
(1)写出该函数的对称轴和顶点坐标；
(2)若该函数图象与直线y=1+9a有交点，求交点的横坐标；
(3)若该函数图象经过点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设n≤x1≤n+1，当x2≥1时均有y1≥y2，数n的取值范围．
23. (本小题12.0分)
如图，△ABC内接于⊙O(∠ACB>90°)，连接OA，OC，记∠BAC=α，∠BCO=β，∠BAO=γ．
(1)证明：α+β=90°；
(2)设OC与AB交于点D，⊙O半径为2，
①若β=γ+45°，AD=2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S；
②若α+2γ=90°，设sinα=k，用含k的代数式表示线段OD的长．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：(−b)3=(−b)(−b)(−b)=−b3，
故选：C．
根据乘方的定义进行计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握乘方的定义是正确解答的前提．

2.【答案】A 
【解析】解：6758000000×6.758×109．
故选：A．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】A 
【解析】解：某物体如图所示，它的主视图是：

故选：A．
根据主视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．

4.【答案】C 
【解析】解：A选项，无法确定a与c、b与c的大小关系，A错；
B选项，因为c<0，所以a>a+c，又因为a>b，无法确定a+c>b正确，B错；
C选项，因为c<0，所以b>b+c，又因为a>b，所以a>b>b+c，C项正确；
D选项，由C选项可知a>b+c，若a<0，则2ab+c正确，D错．
故选：C．
题目条件中仅有a>b，c<0，但不确定a与c、b与c的大小关系，故A、B、D均无法确定；因为c<0，所以b>b+c，又因为a>b，所以a>b+c，C项正确．
本题考查给定实数间的大小关系，判断各选项是否成立，解题的关键是实数加上一个小于0的数后小于原来的实数，以此确定绝对正确的选项．

5.【答案】C 
【解析】解：由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第3的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

6.【答案】B 
【解析】解：连接OD、OE，
∵∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°，
∵OB=OD，OE=OC，
∴∠ODB=∠B，∠OEC=∠C，
∴∠BOD+∠EOC=360°−120°×2=120°，
∴∠DOE=60°，
∴DE的长为：60π×3180=π，
故选：B．
连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE=60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断y的大小，根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．
【解答】
解：A.y=3x，因为3>0，所以y随x的增大而增大，所以y1 B.y=3x2，当x=1和x=−1时，y相等，即y3=y2，故不符合题意；
C.y=3x，当x<0时，y随x的增大而减小，x>0时，y随x的增大而减小，所以y2 D.y=−3x，当x<0时，y随x的增大而增大，x>0时，y随x的增大而增大，所以y3 故选：D．  
8.【答案】C 
【解析】解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得：5x+y=3x+5y=2，即6x+6y=5．
∴2(3x+3y)=5，即3x+3y=52．
故答案为：C．
设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛”和“1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，两式相加可得6x+6y，然后整体求出3x+3y即可．
此题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组并运用整体法求得代数式的值是解答本题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠DAB=∠ABG=90°，
∴∠EAH+∠GAB=90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AHE=90°，
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠AEF=∠GAB，
∴Rt△EAF∽Rt△ABG(HL)，
∴AFBG=AEAB=EFAG=23，
∵AB=6，
∴AE6=23，
解得：AE=4，
∴AF=DE=AD−AE=2，
∵AFBG=EFAG=23，
∴BG=3，
故选：B．
根据有两个角相等的三角形相似可得Rt△EAF∽Rt△ABG，因为EF：AG=2：3，所以△EAF与△ABG的相似比为2：3，由相似三角形对应线段成比例，列比例式即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵二次函数y=−x2+2cx+c的图象与x轴交于A(a,c)，B(b,c)两点，
∴图象开口向下，对称轴为直线x=a+b2=c，
∵0 ∴0 ∴当−1≤x≤1时，函数的最大值是x=c时所对应的函数值，函数的最小值是x=−1时所对应的函数值，
∴m=−c2+2c2+c=c2+c，n=−1−2c+c=−c−1，
∴m=n2+n
故选：D．
由二次函数y=−x2+2cx+c的图象经过点A(a,c)，B(b,c)两点，得出对称轴为直线x=a+b2，即可得出对称轴在0 本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在0～1之间、确定函数的最大值是x=c时所对应的函数值，函数的最小值是x=−1时所对应的函数值是解题的关键．

11.【答案】x(x+3)(x−3) 
【解析】解：原式=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)，
故答案为：x(x+3)(x−3)．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．

12.【答案】2a−2 
【解析】解：4aa2−4−2a+2
=4a(a+2)(a−2)−2a+2
=4a(a+2)(a−2)−2(a−2)(a+2)(a−2)
=4a−2(a−2)(a+2)(a−2)
=4a−2a+4(a+2)(a−2)
=2(a+2)(a+2)(a−2)
=2a−2．
故答案为：2a−2．
根据分式混合运算法则化简即可得到答案．
本题考查了分式混合运算，掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．

13.【答案】16 
【解析】解：用1，2，3，4分别表示立定跳远，抛掷实心球，100米短跑，足球．
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“立定跳远”和“100米短跑”的概率是：212=16．
故答案为：16．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“立定跳远”、“100米短跑”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】16 
【解析】解：s=16t−4t2=−4(t−2)2+16，
∵−4<0，
∴当t=2时，s最大，
∴当t=2时，汽车停下来，滑行了16m．
故答案为：16．
由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
本题考查二次函数的实际应用，关键是把函数解析式化为顶点式．

15.【答案】12 
【解析】解：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MN，
∵EF/​/MN，
∴MC⊥EF，
∴CE=CF，
∴ME=MF，
而ME=EF，
∴ME=EF=MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴cos∠E=cos60°=12．
故答案为：12．
连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MN，而EF/​/MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．

16.【答案】9 9 77 
【解析】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE=DE=DF+EF=3+6=9，∠ABD=∠DCF=60°，
∵∠BAD+∠ABD=∠ADC=∠ADF+∠CDF，∠ABD=∠ADF=60°，
∴∠BAD=∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴ABCD=ADDF=BDCF，
∴ABCD=93=3，
设CD=x，则AB=3x，BD=2x，
∴ABBD=CDCF，
∴3x2x=xCF，
∴CF=23x，则AF=AC−CF=AB−CF=3x−23x=73x，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ADF=∠ACD，∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴ADAC=AFAD，
即93x=AF9，
∴AF=27x，
∴AF=27x=73x，
解得：x=9 77(负值舍去)，
∴CD=9 77，
故答案为：9，9 77．
根据△ABC和△ADE都是等边三角形，得出△ABD∽△DCF、△ADF∽△ACD，设CD=x，得到两个用x表示AF的关系式，解方程即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角的性质，解题的关键是正确找出相似三角形．

17.【答案】解：(1)原式=3+6−9
=0；
(2)原式=4a2−4a+1+4a−a2
=3a2+1． 
【解析】(1)先计算算术平方根、绝对值、乘方的运算，再合并即可；
(2)先根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则计算，再合并即可．
此题考查的是完全平方公式、实数的运算、单项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．

18.【答案】解：(1)12÷30%=40(人)，即a=40，
6÷40×100%=15%，即m=15，
答：a=40，m=15；
(2)抽取的这40名学生的鞋码出现次数最多的是35号，共有12人，因此众数是35号，
将这40名学生的鞋码从小到大排列，处在中间位置的两个数都是36号，因此中位数是36号，
答：中位数是36号，众数是35号；
(3)200×25%=50(双)，
答：学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋约为50双． 
【解析】(1)从两个统计图可知，抽取鞋码是35号的学生有12人，占调查总数的30%，由频率=频数总数进行计算即可求出调查人数，进而求出鞋码是34号的学生所占的百分比，确定m的值；
(2)根据中位数、总数的定义进行解答即可；
(3)用200乘以“样本中36号鞋子数量所占的百分比”即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．

19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BF，AD=BC，
∴△ADE∽△FCE，
∴ADCF=DECE，
而DECE=12，
∴CF=2AD=2BC，
而BC=2，
∴CF=6；
(2)如图，过E作MN⊥AD于M，交CF于N，
∵AD/​/BF，
∴EN⊥CF于N，
根据(1)EN=2EM，
∵△ADE的面积为3，
∴12×AD×ME=3，
∴AD×ME=6，
∴平行四边形ABCD的面积=AD×MN=AD×4EM=4×6=24． 
【解析】(1)利用平行四边形的性质可以证明△ADE∽△FCE，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解；
(2)利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出AD×ME，然后利用平行四边形的面积即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式，有一定的综合性，对于学生的要求比较高．

20.【答案】解：(1)∵y2的图象经过点(k,m)，
∴m=kk=1．
(2)①∵y1的图象过点(k,1)，且2a+k=8．
∴k−a+2=12a+k=8，
∴a=3k=2，
∴y2=2x，
②由①可得y1=x−1，
∵y1=x−1y2=2x，
x=2y=1或x=−1y=−2(舍去)，
∵两个函数在一象限交点的横坐标是2．
y1=x−1，y1随x的增大而增大，y2=2x在第一象限，y2随x的增大而减小，
∴当0y1，
当x>2时，y1>y2． 
【解析】(1)直接将点(k,m)代入解析式算出m值；
(2)①将点(k,1)代入y1，联立2a+k=8求出a、m即可求出y2的函数表达式．②求出交点坐标，根据增减性进行分段分析．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是突破本题的关键．

21.【答案】(1)证明：由折叠的性质可知，∠BEA=∠BEF，
∵AD/​/BC，
∴∠BEA=∠EBC，
∴∠BEF=∠EBC，
∴BC=CE；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AE=kAD，AB=mAD，
∴DE=AD−AE=AD(1−k)，
在Rt△CED中，CE2=CD2+DE2，
∴AD2=(mAD)2+[AD(1−k)]2，
整理得，m2=2k−k2． 
【解析】(1)根据折叠的性质得到∠BEA=∠BEF，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；
(2)根据题意用AD表示出AB、AD，根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是矩形的性质、翻折变换的性质，掌握翻折变换的性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x=−2，顶点为(−2,1)．

(2)∵该二次函数图象与直线y=1+9a有交点，
∴ax2+4ax+4a+1=1+9a，化简得：x2+4x−5=0，
解得x1=−5，x2=1．
∴交点的横坐标为：−5或1．

(3)∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=−2，当x2≥1时均有y1≥y2，
∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2，
∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥−2−x2，
∴x1≤x2，或x1≥−4−x2，
∵x2≥1，
∴−4−x2≤−5，
∵该二次函数图象上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
设n≤x1≤n+1，当x2≥1时，均有y1≥y2，
∴n≥−5n+1≤1，
∴−5≤n≤0． 
【解析】(1)根据二次函数的对称轴和顶点坐标公式计算即可．
(2)联立两个函数关系式，得到一个一元二次方程，该方程的解就是交点的横坐标．
(3)利用二次函数的对称性，首先根据y1≥y2，可得x1≤x2或x1≥−4−x2，再根据x2≥1，可得x1≤−5，从而得到关于n的不等式组，求解即可得出n的取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，灵活应用二次函数的性质是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OB，如图，

∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=α，
∴∠BOC=2α．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=β．
∴∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°，
∴2α+2β=180°．
∴α+β=90°；
(2)解：①∵β=γ+45°，α+β=90°，
∴90°−α=γ+45°．
∴α+γ=45°．
∵∠BAC=α，∠BAO=γ，
∴∠OAC=∠BAC+∠BAO=45°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°．
∴∠AOC=90°．
∵AD=2OD，
∴sin∠OAD=ODAD=12．
∴∠OAD=30°．
∴∠BAC=15°．
∴∠BOC=2∠BAC=30°．
∵OA=OD，
∴∠OBA=∠BAO=30°．
∴∠DOB=∠DBO=30°，
∴DO=DB．
过点D作DE⊥OB于点E，如图，

则OE=EB=12OB=12．
∵tan∠DOB=DEOE，
∴ 33=DE12．
∴DE= 36．
∴S△DOB=12×OB⋅DE= 312．
∵S扇形OCB=30π×12360=π12，
∴S=S扇形OCB−S△DBO=π− 312．
②∵α+2γ=90°，α+β=90°，
∴β=2γ．
延长AO，交圆O于点G，连接BG，如图，

∵∠BOG=2∠BAO=2γ，
∴∠BOG=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠BOG=∠OBC．
∴BC/​/AG．
过点O作OF⊥BC于点F，则CF=BF=12BC，∠COF=12∠BOC=α．
∵sinα=k，sinα=CFOC，
∴CF=OC⋅sinα=k，
∴BC=2k．
设OD=x，则CD=OC−OD=1−x，
∵BC/​/OA，
∴△DAO∽△DBC．
∴OABC=ODCD．
∴12k=x1−x．
解得：x=12k+1．
∴OD=12k+1． 
【解析】(1)连接OB，利用圆周角定理可得∠BOC=2α，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；
(2)①利用(1)的结论与已知条件可得α+γ=45°，则△OAC为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得∠BAO=30°，过点D作DE⊥OB于点E，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段DE的长，利用△OBC的面积减去扇形OCB的面积即可求得结论；
②延长AO，交圆O于点G，连接BG，利用圆周角定理可得∠BOG=2γ，利于等腰三角形的性质可得∠BOG=∠OBC，进而得到BC//AG；过点O作OF⊥BC于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求CF=k，则BC=2k，利用平行线的性质可得△DAO∽△DBC，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设OD=x，则CD=OC−OD=1−x，代入比例式，解方程即可得出结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．