2020-2021学年2.1 等式性质与不等式性质同步练习题

2.1 等式性质与不等式性质

【题组一 不等式性质】

1．(2020·全国高一开学考试)若、、为实数，则下列命题正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【解析】对于A选项，若，则，故A不成立；

对于B选项，，在不等式同时乘以，得，

另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；

对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；

对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.

故选B.

2．(2020·武汉外国语学校高一月考)下列结论正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A，取时，，则A错误；

对于B，取时，，则B错误；

对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确；

对于D，取时，，则D错误；

故选：C

3．(2020·全国高三课时练习(理))若则一定有( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

4．(2020·全国高一课时练习)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(    )

A．a>b⇒ac2>bc2 B． C． D．

【答案】C

【解析】当c＝0时，A不成立；

当c<0时，B不成立；

当时，，即，所以C成立.

当时，，即，所以D不成立.

故选：C

5．(2020·浙江高一课时练习)对于实数，判断下列命题的真假．

(1)若，则．

(2)若，则．

(3)若，则．

(4)若，则．

(5)若，则．

(6)若，，则．

【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题；(4)真命题；(5)真命题；(6)真命题.

【解析】(1)由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题．

(2)，，，，故该命题为真命题．

(3)．又，．

故该命题为真命题．

(4),

又,故该命题为真命题．

(5)，，

，．故该命题为真命题．

(6)由已知条件，得，

，．又，．

故该命题为真命题．

【题组二 比较大小】

1．(2020·全国高一课时练习)比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)与；

(2)当，且时，与.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)，

因此，；

(2).

①当时，即，时，，；

②当时，即，时，，.

综上所述，当，且时，.

2．(2020·全国高一课时练习)已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.

【答案】

【解析】∵

.

又a，b均为正实数，

当时，；

当时，，

则.

综上所述，.

3．(2020·全国高一课时练习)已知，比较与的大小.

【答案】

【解析】

，，

又

，

.

【题组三 代数式的取值范围】

1．(2019·全国高一课时练习)已知，，则的值为____________.

【答案】24

【解析】由题得.故答案为：24

2．已知，，则的取值范围是(  )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令4a﹣2b＝x(a﹣b)+y(a+b)，即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3(a﹣b)+(a+b).

∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3(a﹣b)≤6，∴5≤(a﹣b)+3(a+b)≤10

故选：B．

3．(2019·广东高考模拟(文))设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】又因为1是一元二次方程的一个实根，

所以有，且，所以，

所以，所以排除A、B两项，

当时，，所以，此时，

当时，，此时，

当时，，所以，此时，

所以，故选C.

【题组四 不等式的证明】

1．(2020·全国高一课时练习)证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).

【答案】证明见详解.

【解析】，，当且仅当时，等号成立.

2.已知x≥1，y≥1，证明：

【证明】

因为x≥1，y≥1，所以x－1≥0，y－1≥0，xy≥1，所以≥0

故≥0，所以