人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课后测评

2.1 等式与不等式的性质

考点一 等式性质

【例1】(2019·全国高一课时练习)下列变形中错误的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】根据等式的性质易知A，B，C正确；对于D，当时，两边都除以无意义，故本选项错误.故选:D.

【举一反三】

1．(2019·全国高一课时练习)根据等式的性质判断下列变形正确的是(    )

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

【答案】D

【解析】对于A，没有的条件，等式的两边不能都除以，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以后加上5，等式不成立，故选项B不正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以，等式成立，故选项D正确.故选:D.

2．(2019·全国高一课时练习)若，则下列变形正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，根据等式的性质，得，故该选项错误；对于B，根据等式的性质，得-，故该选项正确；对于C，根据等式的性质，得或，故该选项错误；对于D，根据等式的性质，得，故该选项错误.故选:B.

考点二 不等式性质

【例2】(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：

①若，，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则.

其中正确命题的个数为(    )

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】时，若，则，①错误；

若，则，②错误；

若，则，∴，③正确；

，若，仍然有，④错误．

正确的只有1个．故选：C．

【举一反三】

1．(2020·上海高一开学考试)下列命题正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【解析】A.若，则，取 不成立

B.若，则，取 不成立

C. 若，，则，正确

D. 若，，则，取 不成立故答案选C

2．(2020·全国高一开学考试)若、、为实数，则下列命题正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【解析】对于A选项，若，则，故A不成立；

对于B选项，，在不等式同时乘以，得，

另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；

对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；

对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.

故选B.

3．(2020·武汉外国语学校高一月考)下列结论正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A，取时，，则A错误；

对于B，取时，，则B错误；

对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确；

对于D，取时，，则D错误；故选：C

考点三 比较大小

【例3】(2020·全国高一课时练习)已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.

【答案】

【解析】∵

.

又a，b均为正实数，

当时，；

当时，，

则.

综上所述，.

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)已知，那么的大小关系是( )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由，则，所以，所以，故选C.

2．(2020·浙江高一课时练习)设，则的大小关系为(    )．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，.又，故．综上可得：．

故选：.

考点四 代数式的取值范围

【例4】(1)(2019·广东高考模拟(理))已知，，则的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

(2)(2019·浙江绍兴一中高一月考)已知实数，满足，，则的取值范围是(   )

A． B．

C． D．

【答案】(1)C(2)B

【解析】(1)令

则，∴，

又，…∴①，

∴…②∴①②得．

则．故选C．

(2)令，，,

则

又，因此，故本题选B.

【举一反三】

1．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 二次函数的图像过原点，

设二次函数为：，

，，

……①，……②，

则3①+6②得：即，故选：B.

2．(2020·山东济宁.高一月考)若，则的范围为_______________

【答案】

【解析】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.故填：.

3．(2019·全国高一课时练习)已知，，则的值为____________.

【答案】24

【解析】由题得.故答案为：2

考点五 不等式证明

【例5】(2020·全国高一课时练习)已知，，求证：.

【答案】证明见解析.

【解析】，

因为，，所以，，故，即证：.

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)证明不等式 ().

【答案】证明见解析.

【解析】证明：因为，

所以，

所以

两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号.

2．(2020·全国高一课时练习)如果，，证明：.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：由，，则，

又,，则，又，故.

3．(2020·全国高一)已知，．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)证明：．

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析

【解析】(Ⅰ)由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，

由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．

(Ⅱ).

因为，所以，故.同理，.

从而.即