2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其中是中心对称图形的是
    

A.  B.  C.  D.

2. 已知四边形是平行四边形，下列结论：当时，它是菱形；当时，它是菱形；
   当时，它是矩形；当时，它是正方形，其中错误的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
   ，这与三角形内角和为矛盾
   因此假设不成立．
   假设在中，
   由，得，即这四个步骤正确的顺序应是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

7. 为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在小时之间的学生数大约是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，矩形中，，，过点，作相距为的平行线段，，分别交，于点，，则的长是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点、同时出发，当四边形是平行四边形时，运动时间的值为

A.  B.  C.  D. 或

10. 如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，给出如下结论：
    ；四边形为菱形；；；
    其中正确结论的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11. 大润发超市对去年全年每月销售总量进行统计，为了更清楚地看出销售总量的变化趋势，应选用______统计图来描述数据．
12. 如图，平行四边形中，平分，若，，则平行四边形的周长是______．
     

13. 已知菱形的周长为，两条对角线之比为：，则菱形的面积为______．
14. 如图，点在▱的边上，且，、分别是、的中点，连接，已知，则的长是______ ．

15. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞条，若其中有标记的鱼有条，则估计池塘里有鱼______条．
16. 两张完全相同的长方形、纸条，长、宽分别为、，按如图所示的方式摆放对角线、重合，则重叠部分的四边形的对角线的长是______ ．

17. 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为______ ．
18. 如图，已知正方形的边长为，点，分别是，边上的点，且，若，则的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共74.0分）

19. 如图：在▱中，的平分线交于，若，求、的度数．
     

20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、．
    画出绕点逆时针旋转的；
    画出关于点的中心对称图形；
    可由绕点旋转得，请写出点的坐标：______．

21. 某市环保局为了了解噪声污染情况，相关工作人员在全市噪声测量点中随机调查了部分测量点的噪声声级，将结果分成、、、、五组，并绘制成频数分布直方图如下图所示，其中每组含起点值不含终点值和扇形统计图，已知扇形统计图中圆心角，，、两组的频数相等．
    
    根据以上信息，请完成下列问题：
    本次抽样调查的样本容量是______ ；
    频数分布直方图中组的频数是______ ；
    扇形统计图中的值是______ ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，四边形是平行四边形，点、、、在同一直线上，且．
    求证：四边形是平行四边形．

23. 如图，四边形中，，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求四边形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，连接，，．
    求证：；
    若，平分，．
    求的度数；
    求的长．
     

25. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
    求证：矩形是正方形；
    探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点．
    求直线的函数解析式；
    将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点求证：四边形是菱形；
    在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
当时，它是菱形，故正确，
当时，它是菱形，故正确，
当时，它是矩形，故正确，
当时，它是矩形，不是正方形，故错误，
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
 

3.【答案】

【解析】

解：由反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；
所以题目中“已知：中，，求证：”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设；
那么，由，得，即
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，；
所以假设不成立．
所以；
原题正确顺序为：．
故选：．
通过反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；理顺证明过程即可．
本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
，
将绕点旋转到的位置，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值．
【解答】
解：根据题意得，解得，
所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：．  

6.【答案】

【解析】

解：，，，
，
是直角三角形，，
又，，
四边形是矩形，
连接，
，
当时，取得最小值，
此时，
解得，
的最小值是，
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后再根据，，即可得到四边形是矩形，根据矩形的性质可以得到，要求的最小值，只要求得的最小值即可，然后根据垂线段最短，即可得到的最小值，从而可以得到的最小值．
本题考查勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是求出和的关系，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】

【解析】

解：由题意可得，
条形统计图中，小时有学生：名，
则该校五一期间参加社团活动时间在小时之间的学生数大约是：人，
故选：．
根据条形统计图中的数据可以计算出统计图中小时的学生数，从而可以估计该校五一期间参加社团活动时间在小时的学生数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】

【解析】

解：过作于，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故选：．
解法二：四边形是矩形，
，
，
，，，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
设，则，，
在中，，
．
故选：．
过作于，根据矩形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到，列方程即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：当四边形是平行四边形时，点在的右侧时，
根据题意得：，，
则，
，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
故选：．
由题意可得当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

10.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，
，
≌，
，
，
，故正确，

，，
，
是的中点，
，
，，
，故说法正确；

，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形不是菱形；
故说法不正确；

，
，
，
则，故说法正确，
故选：．
根据已知先判断≌，则，得出，由等边三角形的性质得出，从而证得≌，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出，从而得到答案．
本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．
 

11.【答案】

折线
 

【解析】

解：根据题意，得
要求清楚地表示销售总量的总趋势是上升还是下降，结合统计图各自的特点，应选用折线统计图，
故答案为：折线．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
 

12.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长，
故答案为：．
只要证明，即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】

【解析】

解：设两条对角线长分别为，，
根据勾股定理可得，
解之得，，
则两条对角线长分别为、，
菱形的面积
故答案为．
根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．
主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
 

14.【答案】

【解析】

解：、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为．
由三角形的中位线定理可得，由平行四边形的性质可得，由线段关系可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：条．
故答案为：．
捕捞条，其中有标记的鱼有条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有条，根据所占比例即可解答．
本题考查的是通过样本去估计总体．
 

16.【答案】

【解析】

解：四边形、是完全相同的矩形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
▱是菱形，
长方形长、宽分别为、，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即，
菱形的面积，
菱形的面积，
，
，
故答案为：．
由题意得出，，，即可证明≌，得到，进而得到，根据，，证四边形是菱形，根据勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，再利用菱形面积的两种求法即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是解题的关键．
 

17.【答案】

或
 

【解析】

解解：当较长对角线长为时，则另一对角线长为：；
当较短对角线长为时，则另一对角线长为；
故另一条对角线的长为或．
题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分析．
此题主要考查菱形的性质以及勾股定理，做题时注意分两种情况进行分析．
 

18.【答案】

【解析】

解：逆时针旋转得到，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
，
故答案为：．
由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

19.【答案】

解：的平分线交于，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
．
 

【解析】

先利用角平分线的性质得，即，再利用平行四边形的性质得，，然后根据平行线的性质计算的度数．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

20.【答案】

【解析】

解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．
如图所示，点即为所求，其坐标为．
将点、分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
作、中垂线，交点即为所求．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．
 

21.【答案】

【解析】

解：本次抽样调查的样本容量为，
故答案为：；
组人数为，
组的频数为，
故答案为：；
，
扇形统计图中的值是，
故答案为：．
用组频数除以组圆心角占周角的比例即可；
用样本容量减去、、的频数，再除以即可得出答案；
用组频数除以样本容量即可得出答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】

证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】

连接，由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

证明：，
，
是边的中点，
，
在与中，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：≌，
，
，，
，
，
，，
，
四边形的面积．
 

【解析】

证明≌，得出，即可得出结论；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，由平行四边形面积公式即可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】

证明：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，，是中点，
，
，
；
解：，平分，
，
由可知，，
，
，
，
；
，
，
由可知
，
，
或舍去．
 

【解析】

根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明；
首先证明，根据即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】

解：如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；

的值是定值，定值为，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，
是定值．
 

【解析】

作出辅助线，得到，然后判断，得到≌，则有即可；
同的方法判断出≌得到，即：．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
 

26.【答案】

解：直线：与直线：相交于点，
，
直线交交轴于点，
，
把代入得，，
，
直线的解析式为；

，
，
将沿直线翻折得到，
，，
，
四边形是菱形；

如图，过作于，
则，
，
，
，
，
过作轴于，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，
；
同理可得，，
综上所述，点的坐标是或或
 

【解析】

解方程得到，待定系数法即可得到结论；
根据勾股定理得到，折叠的性质得到：，，从而有，于是得到结论；
如图，过作于，求得，得到，过作轴于，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的求得点的坐标是解题的关键．