江西省吉安市吉安县重点中学2021-2022学年中考联考数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．函数（为常数）的图像上有三点，，，则函数值的大小关系是（  ）

A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1

2．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　）

A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查

B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查

C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查

D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查

3．不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　）

A．总不小于1    B．总不小于11

C．可为任何实数    D．可能为负数

4．如图，正方形被分割成四部分，其中I、II为正方形，III、IV为长方形，I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍，若II的边长为2，且I的面积小于II的面积，则I的边长为（    ）

A．4 B．3 C． D．

5．估算的值是在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

6．﹣0.2的相反数是（　　）

A．0.2 B．±0.2 C．﹣0.2 D．2

7．二次函数y=-x2-4x+5的最大值是（   ）

A．-7 B．5 C．0 D．9

8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（　　）

A． B． C． D．

9．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ）

A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4

10．﹣2018的相反数是（　　）

A．﹣2018 B．2018 C．±2018 D．﹣

11．某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如上表：那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（  ）

A．85和82.5 B．85.5和85 C．85和85 D．85.5和80

12．下列计算正确的是（    ）

A．a²+a²=a4 B．（-a2）3=a6

C．（a+1）2=a2+1 D．8ab2÷（-2ab）=-4b

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为__________．

14．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．

15．Rt△ABC的边AB=5，AC=4，BC=3，矩形DEFG的四个顶点都在Rt△ABC的边上，当矩形DEFG的面积最大时，其对角线的长为_______．

16．已知线段a＝4，线段b＝9，则a，b的比例中项是_____．

17．已知一组数据－3，x，－2， 3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为______．

18．已知a+ ＝3，则的值是_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，已知二次函数的图象经过，两点．

求这个二次函数的解析式；设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．

20．（6分）某学校要了解学生上学交通情况，选取七年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知七年级乘公交车上学的人数为50人．

（1）七年级学生中，骑自行车和乘公交车上学的学生人数哪个更多？多多少人？

（2）如果全校有学生2400人，学校准备的600个自行车停车位是否足够？

21．（6分）经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．

（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.1．）；

（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．（不用考虑计算问题，叙述清楚即可）

22．（8分）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．A、B两种奖品每件各多少元？现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？

23．（8分）试探究：

小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝　   　；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．

拓展延伸：

小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：

（1）求证：△ACF∽△FCE；

（2）求∠A的度数；

（3）求cos∠A的值；

应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．

24．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．

25．（10分）（2017四川省内江市）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：

（1）这项被调查的总人数是多少人？

（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；

（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．

26．（12分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D

（1）求证：DE是的⊙O切线；

（2）若AB=6，BG=4，求BE的长；

（3）若AB=6，CE=1.2，请直接写出AD的长．

27．（12分）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

试题解析：∵函数y＝（a为常数）中，-a1-1＜0，

∴函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，

∵＞0，

∴y3＜0；

∵-＜-，

∴0＜y1＜y1，

∴y3＜y1＜y1．

故选A．

2、D

【解析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可.

【详解】

A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；

B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；

C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；

D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

3、A

【解析】
利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；

【详解】

解：∵x2+4y2+6x-4y+11=（x+3）2+（2y-1）2+1，
又∵（x+3）2≥0，（2y-1）2≥0，
∴x2+4y2+6x-4y+11≥1，
故选：A．

【点睛】

本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法.

4、C

【解析】
设I的边长为x，根据“I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍”列出方程并解方程即可．

【详解】

设I的边长为x

根据题意有

解得或（舍去）

故选：C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．

5、C

【解析】
求出＜＜，推出4＜＜5，即可得出答案．

【详解】

∵＜＜，

∴4＜＜5，

∴的值是在4和5之间．

故选：C．

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，解此题的关键是得出＜＜，题目比较好，难度不大．

6、A

【解析】
根据相反数的定义进行解答即可.

【详解】

负数的相反数是它的绝对值，所以﹣0.2的相反数是0.2.故选A.

【点睛】

本题主要考查相反数的定义，熟练掌握这个知识点是解题关键.

7、D

【解析】
直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．

【详解】

y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，

即二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是9，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．

8、C

【解析】
根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．

【详解】

由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，

则△PBQ的面积S＝PB•BQ＝（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，

故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．

9、C

【解析】
由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．

【详解】

∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，

∴这两个三角形的面积比为4：1．

故选C．

【点睛】

此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．

10、B

【解析】

分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

详解：-1的相反数是1．

故选：B．

点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

11、B

【解析】
根据众数及平均数的定义，即可得出答案.

【详解】

解：这组数据中85出现的次数最多，故众数是85；平均数= （80×3+85×4+90×2+95×1）=85.5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了众数及平均数的知识，掌握各部分的概念是解题关键.

12、D

【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

A、原式=2a2，不符合题意；

B、原式=-a6，不符合题意；

C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；

D、原式=-4b，符合题意，

故选：D．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】
由题中所给条件证明△ADF△ACG，可求出的值.

【详解】

解：在△ADF和△ACG中，

AB=6，AC=5，D是边AB的中点

AG是∠BAC的平分线，

∴∠DAF=∠CAG

∠ADE＝∠C

∴△ADF△ACG

∴.

故答案为.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.

14、

【解析】

试题分析：连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案．连接OC，∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=∠D=30°，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠COD=60°，在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2，∴CD=2，∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB=×2×2﹣=2﹣π，故答案为2﹣π．

考点：1.等腰三角形性质；2.三角形的内角和定理；3.切线的性质；4.扇形的面积.

15、或

【解析】
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题

【详解】

情况1：如图1中，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，设DE=CF=x，则BF=3-x

∵EF∥AC，

∴=

∴=

∴EF=(3-x)

∴S矩形DEFG=x•(3-x)=﹣(x-)2+3

∴x=时，矩形的面积最大，最大值为3，此时对角线=．

情况2：如图2中，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，设DE=GF=x，

作CH⊥AB于H，交DG于T．则CH=，CT=﹣x，

∵DG∥AB，

∴△CDG∽△CAB，

∴

∴

∴DG=5﹣x，

∴S矩形DEFG=x（5﹣x）=﹣（x﹣）2+3，

∴x=时，矩形的面积最大为3，此时对角线== 

∴矩形面积的最大值为3，此时对角线的长为或

故答案为或

【点睛】

本题考查相似三角形的应用、矩形的性质、二次函数的最值等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题

16、6

【解析】
根据已知线段a＝4，b＝9，设线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．

【详解】

解：∵a＝4，b＝9，设线段x是a，b的比例中项，

∴ ，

∴x2＝ab＝4×9＝36，

∴x＝6，x＝﹣6（舍去）．

故答案为6

【点睛】

本题主要考查比例线段问题，解题关键是利用两内项之积等于两外项之积解答．

17、

【解析】

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
详解：∵－3，x，－1， 3，1，6的众数是3，
∴x=3，
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3，
∴这组数的中位数是=1．
故答案为： 1．

点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

18、7

【解析】
根据完全平方公式可得：原式=．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、见解析

【解析】
（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点，两点代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；

（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．

【详解】

（1）把，代入得

，

解得.

∴这个二次函数解析式为.

（2）∵抛物线对称轴为直线，

∴的坐标为，

∴，

∴.

【点睛】

本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．

20、（1）骑自行车的人数多，多50人；（2）学校准备的600个自行车停车位不足够，理由见解析

【解析】

分析: （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；

（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案.

详解:

（1）乘公交车所占的百分比=，

调查的样本容量50÷=300人，

骑自行车的人数300×=100人，

骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；

（2）全校骑自行车的人数2400×=800人，

800＞600，

故学校准备的600个自行车停车位不足够．

点睛: 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21、 (1)21米（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意易发现，直角三角形ABC中，已知AC的长度，又知道了∠ACB的度数，那么AB的长就不难求出了．

（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的．

解：（1）在Rt△BAC中，∠ACB=68°，

∴AB=AC•tan68°≈100×2.1=21（米）

答：所测之处江的宽度约为21米．

（2）

①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答

22、（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）A种奖品最多购买41件．

【解析】

【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．

【详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，

根据题意得：，

解得：，

答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，

根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，

解得：a≤，

∵a为整数，

∴a≤41，

答：A种奖品最多购买41件．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.

23、（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A＝36°；（4）

【解析】
尝试探究：根据勾股定理计算即可；

拓展延伸：（1）由AE2＝AC•EC，推出 ，又AE＝FC，推出 ，即可解问题；

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；

（3）如图，过点F作FM⊥AC交AC于点M，根据cos∠A＝ ，求出AM、AF即可；

应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；

【详解】

解：尝试探究：﹣1；

∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，

∴AB＝，

∴AD＝AE＝，

∵AE2＝（）2＝6﹣2，

AC•EC＝2×[2﹣（）]＝6﹣ ，

∴AE2＝AC•EC，

∴小张的发现正确；

拓展延伸：

（1）∵AE2＝AC•EC，

∴

∵AE＝FC，

∴，

又∵∠C＝∠C，

∴△ACF∽△FCE；

（2）∵△ACF∽△FCE，∴∠AFC＝∠CEF，

又∵EF＝FC，

∴∠C＝∠CEF，

∴∠AFC＝∠C，

∴AC＝AF，

∵AE＝EF，

∴∠A＝∠AFE，

∴∠FEC＝2∠A，

∵EF＝FC，

∴∠C＝2∠A，

∵∠AFC＝∠C＝2∠A，

∵∠AFC+∠C+∠A＝180°，

∴∠A＝36°；

（3）如图，过点F作FM⊥AC交AC于点M，

由尝试探究可知AE＝ ，

EC＝，

∵EF＝FC，由（2）得：AC＝AF＝2，

∴ME＝ ，

∴AM＝ ，

∴cos∠A＝ ；

应用迁移：

∵正十边形的中心角等于 ＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形，

∴如图，当点A是圆内接正十边形的圆心，AC和AF都是圆的半径，FC是正十边形的边长时，

设AF＝AC＝2，FC＝EF＝AE＝x，

∵△ACF∽△FCE，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴半径为2的圆内接正十边形的边长为．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．

24、 (1) ；（2）.

【解析】
（1）直接利用概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．

25、（1）50；（2）108°；（3）．

【解析】

分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．

本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．

(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)＝．

点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

26、（1）证明见解析；（1）；（3）1.

【解析】
（1）要证明DE是的⊙O切线，证明OG⊥DE即可；

（1）先证明△GBA∽△EBG，即可得出=,根据已知条件即可求出BE；

（3）先证明△AGB≌△CGB，得出BC=AB=6，BE=4.8再根据OG∥BE得出=，即可计算出AD.

【详解】

证明：（1）如图，连接OG，GB，

∵G是弧AF的中点，

∴∠GBF=∠GBA，

∵OB=OG，

∴∠OBG=∠OGB，

∴∠GBF=∠OGB，

∴OG∥BC，

∴∠OGD=∠GEB，

∵DE⊥CB，

∴∠GEB=90°，

∴∠OGD=90°，

即OG⊥DE且G为半径外端，

∴DE为⊙O切线；

（1）∵AB为⊙O直径，

∴∠AGB=90°，

∴∠AGB=∠GEB，且∠GBA=∠GBE，

∴△GBA∽△EBG，

∴，

∴；

（3）AD=1，根据SAS可知△AGB≌△CGB，

则BC=AB=6，

∴BE=4.8，

∵OG∥BE，

∴，即，

解得：AD=1．

【点睛】

本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质.

27、1

【解析】解：

取时，原式．