2021-2022学年重庆市万盛经开区溱州中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市万盛经开区溱州中学八年级（下）开学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分其中是轴对称图形的是

A. 齐鲁医院 B. 华西医院
C. 湘雅医院 D. 协和医院

2. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是

A.  B.  C.  D.

5. 下面式子从等号左边到右边的变形属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

6. 若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

7. 如果多项式与多项式的乘积中不含的一次项，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，的平分线交于点，若垂直平分交于点，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图是一组有规律的图案，第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形依此规律，第个图案中有个三角形．

A.  B.  C.  D.

10. 关于的分式方程有增根，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，是的中点，在上，且：：，连接，交于点，若，则

A.
B.
C.
D.

12. 若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 某种电子元件的长为毫米，将这个数用科学记数法表示为______．
14. 计算：______．
15. 要使分式有意义，应满足的条件是______ ．
16. 已知，，则______．
17. 如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为______．
    
    
     

18. 渝北区某学校将开启“阅读节”活动，为了充实学校书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持．同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去元；语文组购买了、两种文学书籍若干本，用去元，已知、两种书的数量分别与甲、乙两种书的数量相等，且甲种书与种书的单价相同，乙种书与种书的单价相同，若甲种书的单价比乙种书的单价多元，则乙种书籍比甲种书籍多买了______本．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

19. 如图，与的顶点，，，共线，与交于点，与相交于点，，，．
    求证：≌；
    若，求线段的长．

20. 计算：
    化简：；
    解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
    在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标：______；
    求的面积；
    点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______．

22. 先化简，再求值：，其中，满足．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，，点在线段上，连接，过点作交于点，过点作，交的延长线于点，点是的中点，连接，．
    若，，求的长度；
    求证：．
    
    
    
    
    
    
     
24. 秋冬来临之际，天气开始慢慢变冷，某商家抓住商机，在十一月份力推甲、乙两款儿童棉服．已知十一月份甲款棉服的销售总额为元，乙款棉服的销售总额为元，乙款棉服的单价是甲款棉服单价的倍，乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少件．
    求十一月份甲款棉服的单价是多少元？
    十二月份，为了加大推销力度，该商家将甲款棉服的单价在十一月份的基础上下调了，结果甲款棉服的销量比十一月份多卖了件；乙款棉服的单价在十一月份的基础上下调，结果乙款棉服的销量比十一月份多卖了件．要使十二月份的总销售额不低于元，求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
    ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁、美观．
    请你检验说明这个等式的正确性；
    若的三边长分别为，，，当时，试判断的形状；
    若，，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，已知和是等边三角形，点在直线上，连接，过点作于点．
    
    如图，当点在线段上时：
    求的度数；
    猜想线段，，的数量关系，并加以证明．
    如图，当点在的延长线上时，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，请直接写出，，之间的数量关系．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项B、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，不能组成三角形；
，能组成三角形；
，能组成三角形；
，能组成三角形；
故选：．
根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
 

4.【答案】
 

【解析】解：作图的步骤：
以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；
以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
过点作射线．
所以就是与相等的角；
作图完毕．
在与，

≌，
，
显然运用的判定方法是．
故选：．
本题我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质．
 

5.【答案】
 

【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
解得，
故多边形是十八边形．
故选：．
根据多边形的内角和定理：进行求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和定理．解题时注意边形的内角和为：．
 

7.【答案】
 

【解析】解：

，
多项式的乘积中不含的一次项，
，
；
故选：．
先去括号，合并同类项，再根据多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为，列方程，解得．
本题主要考查了合并同类项、多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为．
 

8.【答案】
 

【解析】解：垂直平分交于点，
，
，
平分，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题知，第个图案中有个三角形，
第个图案中有个三角形，
第个图案中有个三角形，
，
第个图案中有个三角形，
第个图案中有个三角形，
故选：．
根据图形的变化规律归纳出第个图形有个三角形即可．
本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律归纳出第个图形有个三角形是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
方程有增根，
，
，
，
故选：．
先解分式方程为，再由方程的增根为，可得，求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解，理解方程增根的意义是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：过点作交于，
则，
是的中点，
，
，
：：，
，
，
，
，，：：，
，，
，
，
，
故选：．
过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、三角形的面积计算，正确作出辅助线、灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：不等式组，
由得，，
由得，，
不等式组恰有个整数解，
，
，
，
，
，
，
，
方程有正整数解，
，，，，
，
，
的值为，，，
，
，，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
先解不等式组得，根据题意可得，可求的范围为，再解分式方程得，再由题意可得的值为，，，最后解出符合条件的的值即可．
本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握分式方程的解，一元一次不等式组的解集是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案．
本题考查了零指数幂和负整数指数幂，掌握是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得
，
解得．
故答案是：．
分式有意义，分式的分母不为零．
本题考查了分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
；
故答案为：
根据完全平方公式得出，再代入求出即可；
本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：，．
 

17.【答案】
 

【解析】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，
，，是边上的中线，
，，平分，
在上，
在中，，
，
，
关于的对称点，
，
，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是．
故答案为：．
作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据两点之间线段距离最短画出符合条件的图形．
 

18.【答案】
 

【解析】解：设甲种书的单价为元，甲种书本，则乙种书的单价为元，乙种书本，
由题意可得：，
，
，
答：乙种书籍比甲种书籍多买了本，
故答案为：．
设甲种书的单价为元，甲种书本，则乙种书的单价为元，乙种书本，由“购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去元，购买了、两种文学书籍若干本，用去元”可列方程组，即可求解．
本题考查了三元一次方程组的应用，找到正确的等量关系列出方程组是本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
和都是直角三角形，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
．
 

【解析】根据，可以得到，然后再根据题目中的条件，即可证明≌；
根据中的结论和全等三角形的性质，可以得到结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：原式
；

原方程化为：，
方程两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
即原方程的解是．
 

【解析】先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
变形后方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

21.【答案】  或
 

【解析】解：如图，即为所求，点的坐标．
故答案为：；

．
点与点关于轴对称，若，
，
或，
点的坐标为或．
故答案为：或．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；
构建方程求出可得结论．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：原式


，
，满足，
且，
解得：，，
当，时，原式．
 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，再求出、的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了绝对值、偶次方的非负性和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

23.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
；
证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
点是的中点，
，，
，
，
≌，
．
 

【解析】利用含角的直角三角形的性质可得答案；
连接，利用证明≌，得，再利用证明≌，从而得出．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，利用全等证明是解题的关键．
 

24.【答案】解：设十一月份甲款棉服的单价是元，则十一月份乙款棉服的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：十一月份甲款棉服的单价是元．
十一月份甲款棉服的销售数量为件，
十一月份乙款棉服的销售数量为件．
依题意得：，
解得：．
答：的最大值为．
 

【解析】设十一月份甲款棉服的单价是元，则十一月份乙款棉服的单价是元，利用数量总价单价，结合乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
利用数量总价单价结合乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少件，即可求出十一月份甲、乙两款棉服的销售量，利用总销售额销售单价销售数量，结合十二月份的总销售额不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：等式右边


等式左边，
等式成立；
为等边三角形，理由如下：


，
，，，
，
，，分别是三角形的三条边，
是等边三角形；
，，
，

，


，
，
．
 

【解析】根据整式的混合计算解答即可；
根据整式的混合计算和等边三角形的判定解答即可；
根据整式的混合计算和有理数的混合计算解答即可．
此题考查三角形的综合题，关键是根据整式的混合计算和等边三角形的判定解答．
 

26.【答案】解：和是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
；
，理由如下：
于点，
，
，
在中，，
设，则，，
≌，，
，
即，
，
即，
化简得，；
过点作于点，过点作于点，

和是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据等边三角形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
根据含角的直角三角形的性质解答即可；
根据等边三角形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．
此题考查三角形综合题，关键是根据等边三角形的性质和证明三角形全等解答．