重庆市万盛经开区2021-2022学年八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年重庆市万盛经开区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，共48分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 将直线沿轴向上平移个单位长度后得到的直线解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考(    )

A. 众数 B. 平均数 C. 加权平均数 D. 中位数

4. 如图，为测量池塘边、两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，找到、的中点分别是点、，并测得米，则、间的距离是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 不能确定

5. 下列长度的四组线段中，能作为直角三角形三条边的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列命题为假命题是(    )

A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形

8. 在某次体质健康测试中，将学生分两组进行测试，两组学生测试成绩的折线统计图如图，设第一组学生成绩的方差为，第二组学生成绩的方差为，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9. 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为，瓶中水位的高度为，下列图象中最符合故事情景的是。(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则菱形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 若关于的分式方程的解为整数，且一次函数的图象不经过第四象限，则符合题意的整数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共4小题，共16分）

13. 函数中，自变量的取值范围是______．
14. 为了解某校八年级学生在延期开学期间每天学习时间的情况，随机调查了该校八年级名学生，将所得数据整理并制成下表．据此估计该校八年级学生每天的平均学习时间大约是______

15. 如图，在矩形中，，对角线，交于点，且，则矩形的面积为______．

16. 如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为______．

三、解答题（共9小题，共86分）.

17. 计算：
    ；
    ．
     
18. 如图，▱中，、是对角线上的两个点，且求证：．
     
19. 如图是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：
    汽车在前分钟内的平均速度是______ ．
    汽车在中途停了______  ．
    当时，求与的函数关系式．

20. 某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩构成的，如果最终评价成绩分以上含分，则评为“优秀”下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：

若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请计算小张的最终评价成绩；
根据实际情况，学校决定足球知识、身体素质、足球技能三项成绩按：：的权重来确定最终评价成绩．
请计算小张的最终评价成绩为多少分？
小王在足球技能应该最少考多少分才能达到优秀？

 

21. 如图，四边形是矩形．
    尺规作图：作的平分线，与交于点保留作图痕迹，不写作法；
    若，，求点到线段的距离．

22. 某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，对全校学生进行了相关知识测试，并在七、八两个年级各随机抽取名学生的成绩百分制，进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
    Ⅰ七年级名学生成绩的频数分布统计表如下：

Ⅱ七年级成绩在这一组的是：
Ⅲ七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：
的值为______；
根据以上信息，你认为该校七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由写出一条即可；
若测试成绩在分以上为优秀，该校有七年级学生人，估计此次测试中七年级获得优秀的人数是多少？
 

23. 某商店销售一台型电脑利润为元，销售一台型电脑的利润为元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．
    求关于的函数关系式；
    该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大销售利润．
24. 如图，在菱形中，，是对角线上一点．
    如图，若是线段的中点，且，求的长度；
    如图，是线段延长线上一点，且，连接，求证：．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线为交轴于点，交轴于点，经过点且平行于轴的直线交于点，是直线上一动点，且在点的上方，设．
    求点的坐标；
    求的面积用含的代数式表示；
    当时，在第一象限找点，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
符合最简二次根式的概念，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
根据二次根式化简方法和最简二次根式的概念进行化简辨别即可．
此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解最简二次根式的概念，并能对二次根式进行正确的化简．
 

2.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移个单位所得函数的解析式为．
故选：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应重点参考众数．
故选A．
在决定在这个月的进货中多进某种型号服装，应考虑各种型号的服装销售数量，选销售量最大的，即参考众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，，不能作为直角三角形三条边，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，能作为直角三角形三条边，
故B符合题意；
C、，，
，
，，不能作为直角三角形三条边，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，不能作为直角三角形三条边，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、与不是同类二次根式，故不能合并，故B不符合题意．
C、与不是同类二次根式，故不能合并，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、两条对角线垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，原命题是假命题，符合题意；
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定判断即可．
本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，熟练运用定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：从每组数据的波动情况看，第一组的数据波动比第二组数据波动大，
因此第一组数据的方差大于第二组数据的方差，即．
故选：．
方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从每组数据的波动情况可以直观得出答案，
本题考查方差的意义和反映数据的特征，方差是反映数据离散程度的统计量，方差越大，数据波动越大，就越不稳定．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数和的图象相交于点，
不等式的解集为．
故选：．
以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是以交点为分界．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解。
由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断。
【解答】
解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，
排除；
乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，
排除；
乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
排除；
C正确。
故选C。  

11.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
，，
，
故选：．
由点坐标求得，再解，求得，进而根据菱形的性质求得、，最后根据菱形的面积公式求得结果．
本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，解直角三角形，关键是解直角三角形求得对角线的长度．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第四象限，
，
解得，
由分式方程得，，
分式方的解为整数，且，
，，，
符合题意的整数的个数个，
故选：．
根据题意求得满足条件的的值，从而可以得到满足条件的所有整数的个数．
本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式有意义的条件是，即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

14.【答案】 

【解析】解：这名学生每天的平均学习时间是小时．
据此估计该校八年级学生每天的平均学习时间大约是．
故答案为：．
利用样本与总体的关系，即只需求出这名学生每天的平均学习时间的平均数即可．
本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等．
 

15.【答案】． 

【解析】解：四边形是矩形，
与相等且互相平分，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是：，
故答案为：．
首先利用矩形的性质证明是等边三角形，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得矩形的面积．
此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：

如图所示：以为对称轴作的对称点，连接，，
因为正方形的对角线互相垂直平分且相等，
点和关于成轴对称，
，
，
当点，，三点共线时，的值最大，为的长，
在正方形中，，
，
是的中点，点和关于成轴对称，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
即的最大值为，
故答案为：．
以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“”，再求得，即可得出，，再根据为等腰直角三角形，即可得到．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
≌，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，据此得，再由知，从而证≌得，即可得证．
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．
 

19.【答案】
当时，
则设与的函数关系式为：，
将，代入得：
，
解得：，
故当时，与的函数关系式为：． 

【解析】

解：汽车在前分钟内的平均速度是：；
故答案为：；

汽车在中途停了：分钟；
故答案为：；

见答案；
【分析】
直接利用总路程总时间平均速度，进而得出答案；
利用路程不发生变化时，即可得出停留的时间；
利用待定系数法求出与的函数关系式即可．
此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出点的坐标是解题关键．  

20.【答案】解：小张的期末评价成绩为分；

小张的期末评价成绩为分；
设小王在足球技能应该考分才能达到优秀，
根据题意，得：，
解得，
故小王在足球技能应该最少考分才能达到优秀． 

【解析】直接利用算术平均数的定义求解可得；
根据加权平均数的定义列式计算可得；
设小王在足球技能应该考分才能达到优秀，根据加权平均数的定义列出不等式计算可得．
本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：如图．

过点作于点，
四边形为矩形，
，
，
为的平分线，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
即点到线段的距离为． 

【解析】根据角平分线的作图步骤进行作图即可．
过点作于点，由矩形的性质可得，则，根据角平分线的性质可得，，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即可得出答案．
本题考查尺规作图、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质和矩形的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：七年级成绩的中位数是第、个数据的平均数，这个数据分别为、，
所以七年级成绩的中位数，
故答案为：；
八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，理由如下：
从平均数上看，七、八年级的平均分相等，但从中位数上看，八年级的中位数大于七年级的中位数，说明分以上八年级得分高的人数相对较多，
由八年级方差小于七年级可以看出八年级成绩较稳定，
综上所述，八年级的总体水平较好；
人，
答：估计此次测试中七年级获得优秀的人数是多人．
根据中位数的定义直接求解即可；
从中位数、众数和方差其中一个方面进行分析即可；
利用样本估计总体的方法即可求解．
本题考查了平均数、众数、中位数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；众数的一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
即关于的函数解析式为；
型电脑的进货量不超过型电脑的倍，
，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
答：该商店购进型台、型电脑台时，才能使销售总利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以写出关于的函数解析式．
根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，可以得到相应的不等式，从而可以得到的取值范围，再根据中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到当购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润为多少．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式，利用一次函数的性质解答．
 

24.【答案】解：如图，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
是线段的中点，
，
；
证明：如图，作交于点，

是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由四边形是菱形，且，证明是等边三角形，根据是线段的中点，进而可以解决问题；
作交于点，先证明是等边三角形，得，再证明≌，得．
此题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：将代入得：
，
，
令得：，
解得，
；
根据题意得：，
，
，
；
答：的面积为；
，
，
解得，
，
设，，而，
，，，
若、为直角边，则，，
，
解得或舍去，
，
若，为直角边，则，，
，
解得舍去或，
；
若，为直角边，则，，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为：或或或 

【解析】将代入得，即知，令得；
根据题意得，，，可得的面积为；
由，得，设，，而，可得，，，分三种情况：若、为直角边，则，，即，可得，若，为直角边，，得；若，为直角边，，得或
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．