2021-2022学年广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部九年级（上）开学数学试卷

这是一份2021-2022学年广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部九年级（上）开学数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）下列美丽的图案，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）若x＞y，则下列式子中正确的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+4＜y+4 C．﹣5x＞﹣5y D．＜
4．（3分）下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（　　）
①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）若分式方程有增根，则m等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
6．（3分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC垂直平分BD时，它是正方形

8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）
A．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
B．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．对角线相等的四边形是平行四边形．

9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1，则DE的长为（　　）

A．2 B． C．2 D．

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．3 B． C． D．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若的值为零，则x的值是　 　．

12． （3分）分解因式：a2y﹣4y＝　 　．

13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．


13． （3分）“618购物节”前，天猫某品牌服装旗舰店采购了一大批服装，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了避免滞销库存，商店准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多可打　 　折．

15．（3分）如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BE＝4，CD＝6，则DE的长为　 　．


三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（8分）（1）解方程：+＝；
（2）解不等式组：．



17． （6分）先化简，再求值：，其中m＝．


18．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的三角形；
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形；
（3）填空：∠C+∠F＝　 　．



19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．



20．（8分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同．
（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？
（2）学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台，其中A种型号电脑至少要购进10台，请问有哪几种购买方案？

21．（9分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．
（1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．



22．（9分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．


2021-2022学年广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案．
【解答】解：＝＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为（﹣3）2的算术平方根，结果为非负数．
2．（3分）下列美丽的图案，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故本选项错误；
B、不是中心对称图形．故本选项正确；
C、是中心对称图形．故本选项错误；
D、是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）若x＞y，则下列式子中正确的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+4＜y+4 C．﹣5x＞﹣5y D．＜
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＞y﹣3，原变形正确，故此选项符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时加上4，不等号的方向不变，即x+4＞y+4，原变形错误，故此选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣5，不等号的方向改变，即﹣5x＜﹣5y，原变形错误，故此选项不符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时除以2，不等号的方向不变，即＞，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（　　）
①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：①必须是三项式，②其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，③另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【解答】解：①a2+2a+4不是积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解；
②a2+2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；
③a2+2a+1能用完全平方公式进行分解；
④﹣a2+2a+1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；
⑤﹣a2﹣2a﹣1首先提取负号，可得a2+2a+1，能用完全平方公式进行分解；
⑥a2﹣2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解．
故选：A．
【点评】此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点．
5．（3分）若分式方程有增根，则m等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3＝m，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（3分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用函数图象，找出直线y＝x+m在直线y＝kx﹣1的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据图象得，当x＜﹣1时，x+m＜kx﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC垂直平分BD时，它是正方形
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形，故A正确，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故B正确，
当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形，故C正确，
当AC垂直平分BD时，它是正方形，故D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）
A．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
B．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．对角线相等的四边形是平行四边形．
【分析】利用直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题；
B、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质、三角形的外心的性质、平行四边形的对称性及判定，难度不大．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1，则DE的长为（　　）

A．2 B． C．2 D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG＝AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD＝∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD＝2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD＝∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD＝DG，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB，∠ADE＝∠BED＝90°，
又∵点G为AF的中点，
∴DG＝AG，
∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠CGD＝2∠CAD，
∵∠ACD＝2∠ACB＝2∠CAD，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG＝3，
在Rt△CED中，DE＝＝2．
故选：C．
【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】解法一：连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝3，CM＝2，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长；
解法二：过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，判定△AEH∽△EMG，即可得到＝＝，设MG＝x，则EH＝3x，DG＝1+x＝AH，利用勾股定理可得，Rt△AEH中，（1+x）2+（3x）2＝32，进而得出EH＝＝BN，CG＝CM﹣MG＝＝EN，FN＝，再根据勾股定理可得，Rt△EFN中，EF＝＝．
【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3．
∵DM＝1，
∴CM＝2．
∴在Rt△BCM中，BM＝＝，
∴EF＝，
故选：C．

解法二：如图，过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，则∠AHG＝∠MGE＝90°，
由折叠可得，∠AEM＝∠D＝90°，AE＝AD＝3，DM＝EM＝1，
∴∠AEH+∠MEG＝∠EMG+∠MEG＝90°，
∴∠AEH＝∠EMG，
∴△AEH∽△EMG，
∴＝＝，
设MG＝x，则EH＝3x，DG＝1+x＝AH，
∴Rt△AEH中，（1+x）2+（3x）2＝32，
解得x1＝，x2＝﹣1（舍去），
∴EH＝＝BN，CG＝CM﹣MG＝＝EN，
又∵BF＝DM＝1，
∴FN＝，
∴Rt△EFN中，EF＝＝，
故选：C．


【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若的值为零，则x的值是　﹣3　．
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得：|x|﹣3＝0且x﹣3≠0．
解得x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．（3分）分解因式：a2y﹣4y＝　y（a+2）（a﹣2）　．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a2y﹣4y，
＝y（a2﹣4），
＝y（a+2）（a﹣2）．
故答案为：y（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　4　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
14．（3分）“618购物节”前，天猫某品牌服装旗舰店采购了一大批服装，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了避免滞销库存，商店准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多可打　八　折．
【分析】设打了x折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
【解答】解：设打了x折，
由题意得360×0.1x﹣240≥240×20%，
解得：x≥8．
则要保持利润不低于20%，至多打8折．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
15．（3分）如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BE＝4，CD＝6，则DE的长为　2　．

【分析】把△ADC绕点A顺时针旋转120°得到△AD′B，再结合条件可证明△AD′E≌△ADE，可得DE′＝DE，过D′作D′F⊥BD于点F，可求得EF和D′F的长，在Rt△D′FE中可求得DE′，则可求得DE．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴可把△ADC绕点A顺时针旋转120°得到△AD′B，
∴BD′＝DC＝4，AD′＝AD，∠D′AB＝∠DAC，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAE+∠DAC＝60°
∴∠D′AE＝∠D′AB+∠BAE＝60°，
在△E′AD和△EAD中
，
∴△D′AE≌△DAE（SAS），
∴D′E＝ED，
过D′作D′F⊥BD于点F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝∠E′BA＝30°，
∴∠D′BF＝60°，
∴∠BD′F＝30°，
∴BF＝BD′＝3，D′F＝3，
∵BE＝4，
∴FE＝BE﹣BF＝1，
在Rt△D′FE中，由勾股定理可得D′E＝＝2，
∴DE＝2．
故答案为2．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（8分）（1）解方程：+＝；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：4+9+3x＝7，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：2x+6≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣2；
（2），
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法及不等式组的解法是解本题的关键．
17．（6分）先化简，再求值：，其中m＝．
【分析】直接利用分式的混合运算法则将原式变形计算进而得出答案．
【解答】解：原式＝[+]×
＝×
＝，
当m＝时，
原式＝＝﹣（﹣2）2＝﹣7+4．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的三角形；
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形；
（3）填空：∠C+∠F＝　90°　．

【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的三角形；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△DEF关于直线l对称的三角形；
（3）依据图中∠F与∠C互余，即可得到∠C+∠F＝90°．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；

（2）如图所示，△A'D'F'即为所求；
（3）由图可得，∠C+∠F＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换以及平移变换的知识，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；
（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．

（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1，
∵AD＝2BC＝2，
∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
在Rt△ACD中，∵AD＝2，
∴CD＝1，AC＝．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
20．（8分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同．
（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？
（2）学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台，其中A种型号电脑至少要购进10台，请问有哪几种购买方案？
【分析】（1）设求A种型号电脑每台价格为x万元，则B种型号电脑每台价格（x﹣0.1）万元．根据“用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同”列出方程并解答．
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．根据“A种型号电脑至少要购进10台”、“用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑”解答．
【解答】解：（1）设求A种型号电脑每台价格为x万元，则B种型号电脑每台价格（x﹣0.1）万元．
根据题意得：，
解得：X＝0.5．
经检验：x＝0.5是原方程的解，x﹣0.1＝0.4
答：A、B两种型号电脑每台价格分别是0.5万元和0.4万元．

（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．
根据题意得：0.5y+0.4（20﹣y）≤9.2．
解得：y≤12，
又∵A种型号电脑至少要购进10台，∴10≤y≤12 y的整数解为10、11、12．
∴有3种方案．
即：购买A种型号电脑10台、购买B种型号电脑10台；
购买A种型号电脑11台、购买B种型号电脑9台；
购买A种型号电脑12台、购买B种型号电脑8台．
【点评】考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
21．（9分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．
（1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．

【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；
（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；
（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM＝a，则AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出＝，＝，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，

∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DCB＝90°，
∵DM＝MB，
∴CM＝DB，EM＝DB，
∴CM＝EM．

（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，
∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°，
∵CM＝DM＝ME，
∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，
∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，
∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．

（3）证明：如图2中，设FM＝a．

∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，
∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°
∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，
∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，
∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，
∵CN＝NM，
∴MN＝a，
∴＝，＝，
∴＝，
∴EM∥AN．
（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
22．（9分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD＝BF＝；然后由CF＝BF﹣BC＝即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD＝90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF＝90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD＝BF，DG＝FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD＝＝，
∴BF＝，
∴CF＝BF﹣BC＝﹣1；
（3）解：如图2，∵CF＝﹣1，BH＝CF
∴BH＝﹣1，
①当BH＝BP时，则BP＝﹣1，
∵∠PBC＝45°，
设P（x，x），
∴2x2＝（﹣1）2，
解得x＝1﹣或﹣1+，
∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；
②当BH＝HP时，则HP＝PB＝﹣1，
∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（﹣1，﹣1）；
③当PH＝PB时，∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（，），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）或（﹣1，﹣1）或（，）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．