2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列银行标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若x＞y，则（　　）
A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．2x＜2y D．﹣2x＜﹣2y
3．（3分）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）

A．30° B．20° C．25° D．15°
4．（3分）下列因式分解中，正确的是（　　）
A．x2﹣2＝（x+2）（x﹣2） B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
C．x2+1＝x（x+1） D．t2+t﹣16＝（t+4）（t﹣4）+t
5．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）

A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
6．（3分）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°，得到点A'，则点A'的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
8．（3分）224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　）
A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，延长BA和CD交于点E，若在∠BEC的内部存在一点P，使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P（　　）

A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠BEC的角平分线（E点除外）
D．组成线段BC的垂直平分线
10．（3分）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是　 　．
12．（3分）已知多项式2x2+bx﹣6分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b的值为　 　．
13．（3分）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＜0的解集为 　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为　 　．

15．（3分）已知关于x的不等式组的解集是x＜a，则a的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P（4，5），点Q（0，2），当腰长为2的等腰直角三角形ABC在x轴上滑动时，AQ+PC的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）a4﹣2a2b2+b4．
18．（6分）解不等式3（2x+1）≤7+2x，并直接写出它的最大整数解．
19．（6分）解不等式组．
20．（8分）尺规作图：在△ABC的边AB上作出点D，使得线段CD最短．

21．（10分）如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）连接BE，请你判断BE与AC垂直吗？并说明理由．

22．（10分）在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣4x分解结果为x（x+2）（x﹣2）．当x＝20时，x﹣2＝18，x+2＝22，此时可得到数字密码201822，或者是182022等．
（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m、n的值．
23．（10分）2021年第十四届全运会将在美丽的古城西安举行开幕式与闭幕式，为建设生态西安，打造最美全运会，某一路段绿化需国槐和白皮松共320棵，其中国槐比白皮松多80棵．
（1）求国槐和白皮松各需多少棵？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批国槐和白皮松全部运往该路段．已知每辆甲种货车最多可装国槐40棵和白皮松10棵，每辆乙种货车最多可装国槐和白皮松各20棵．如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．请问应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
24．（12分）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠D＝30°．
①∠BAD+∠BCD＝　 　；
②连接BD，得到△ABD，将△ABD绕点B顺时针旋转至△CBD'，连接DD'，若AD＝3，CD＝4，画图并求出BD的长度；
问题解决：
（2）如图2，已知四边形ABCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，那么线段AC的长是否存在最小值，若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年陕西省西安交大附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列银行标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
2．（3分）若x＞y，则（　　）
A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．2x＜2y D．﹣2x＜﹣2y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x+2＞y+2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴2x＞2y，故本选项不符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）

A．30° B．20° C．25° D．15°
【分析】由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD＝30°，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
4．（3分）下列因式分解中，正确的是（　　）
A．x2﹣2＝（x+2）（x﹣2） B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
C．x2+1＝x（x+1） D．t2+t﹣16＝（t+4）（t﹣4）+t
【分析】利用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可．
【解答】解：A．x2﹣2＝（x+）（x﹣），因此选项A不符合题意；
B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，因此选项B符合题意；
C．x2+x＝x（x+1），因此选项C不符合题意；
D．t2+t﹣16＝（t+4）（t﹣4）+t没有写成积的形式，不是因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）

A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（3分）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
【解答】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意；
D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°，得到点A'，则点A'的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】利用图象法解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知A′（﹣3，2）．

故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
8．（3分）224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　）
A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65
【分析】原式利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数．
【解答】解：224﹣1
＝（212﹣1）（212+1）
＝（26﹣1）（26+1）（212+1）
＝63×65×（212+1），
则这两个数为63与65．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，延长BA和CD交于点E，若在∠BEC的内部存在一点P，使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P（　　）

A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠BEC的角平分线（E点除外）
D．组成线段BC的垂直平分线
【分析】根据三角形的面积公式得到PE＝PF，根据角平分线的判定定理解答即可．
【解答】解：作射线EP，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，
∵S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，
∴PE＝PF，
∴点P在∠BEC的角平分线上，
故选：C．

【点评】本题考查的是角平分线的判定、三角形的面积计算，掌握角平分线的判定定理是解题的关键．
10．（3分）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算．
【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，
∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，
∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，
∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是　12　．
【分析】题中没有指明哪个边是腰哪个是底，故应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①腰长为2，底边长为5，2+2＝4＜5，不能构成三角形，故舍去；
②腰长为5，底边长为2，则周长＝5+5+2＝12．
故其周长为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（3分）已知多项式2x2+bx﹣6分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b的值为　﹣4　．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件得出答案即可．
【解答】解：2（x﹣3）（x+1）
＝2（x2﹣2x﹣3）
＝2x2﹣4x﹣6，
∵二次三项式x2+bx﹣6可分解为2（x﹣3）（x+1），
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
13．（3分）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＜0的解集为 　x＞2　．

【分析】从函数y＝kx﹣b的图象及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx﹣b＜0的解集．
【解答】解：从图象知，函数y＝kx﹣b的图象经过点（2，0），
当x＜2时，图象在x轴上方，即y＞0，
所以关于x的不等式kx﹣b＜0的解集是x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为　2　．

【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE＝8，DE＝6，
∴BE＝2，
在Rt△BED中，
BD＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
15．（3分）已知关于x的不等式组的解集是x＜a，则a的取值范围是　a≤1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式2＞2x，得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜a，
∴a≤1，
故答案为：a≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P（4，5），点Q（0，2），当腰长为2的等腰直角三角形ABC在x轴上滑动时，AQ+PC的最小值为　　．

【分析】根据题意，连接QC、AQ、CO、OP，然后根据矩形的性质可以得到AQ＝OC，要求AQ+PC的最小值，只要求OC+PC的最小值，然后三角形三边关系和两点线段最短，可以得到OC+PC的最小值等于OP的长，再根据点P的坐标和勾股定理计算出OP即可．
【解答】解：连接QC、AQ、CO、OP，如右图所示，
∵Q（0，2），△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，
∴∠CAO＝∠QOA＝∠OQC＝90°，
∴四边形QOAC是矩形，
∴AQ＝OC，
∴AQ+PC＝OC+PC，
∵OP＜OC+PC，等腰直角三角形ABC在x轴上滑动，
∴当OC+PC等于OP时，取得最小值，
∵点P（4，5），
∴OP＝＝，
∴AQ+PC的最小值是，
故答案为：．

【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）把下列各式因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）a4﹣2a2b2+b4．
【分析】（1）提公因式后再用平方差公式分解因式；
（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
18．（6分）解不等式3（2x+1）≤7+2x，并直接写出它的最大整数解．
【分析】不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，确定出最大整数解即可．
【解答】解：去括号得：6x+3≤7+2x，
移项合并得：4x≤4，
解得：x≤1，
则不等式的最大整数解为1．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
19．（6分）解不等式组．
【分析】首先解出不等式组的各个不等式x的取值范围，然后求出x的公共部分，该公共部分就是不等式的解．
【解答】解：
由①得，x
由②得，x＜2，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（8分）尺规作图：在△ABC的边AB上作出点D，使得线段CD最短．

【分析】根据垂线段最短过点C作CD⊥AB于点D即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

所以点D即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，垂线段最短，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．（10分）如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）连接BE，请你判断BE与AC垂直吗？并说明理由．

【分析】（1）根据题意，平行线的性质和角平分线的性质可以证明结论成立；
（2）先写出BE与AC的关系，再根据题意和图形，利用线段的垂直平分线的判定即可证明．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB；
（2）AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE＝CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE＝AB，CE＝CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．

【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣4x分解结果为x（x+2）（x﹣2）．当x＝20时，x﹣2＝18，x+2＝22，此时可得到数字密码201822，或者是182022等．
（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m、n的值．
【分析】（1）先将多项式x3﹣xy2分解因式，利用题干中的方法即可得出结论；
（2）由于密码为101213，x＝10，可得多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后的式子为x（x+2）（x+3），因为多项式x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，所以x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3），将（x+2）（x+3）展开后结论可得．
【解答】解：（1）∵x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y），
又∵当x＝16，y＝4时，x+y＝20，x﹣y＝12，
∴可得到数字密码为：162012或161220；
（2）∵x＝10，得到的密码为101213，
∴多项式x3+（m﹣n）x2+nx可分解为x（x+2）（x+3），
∵x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，
∴x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3）．
∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
∴n＝6，m﹣n＝5，
∴m＝11．
∴m＝11，n＝6．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义和因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
23．（10分）2021年第十四届全运会将在美丽的古城西安举行开幕式与闭幕式，为建设生态西安，打造最美全运会，某一路段绿化需国槐和白皮松共320棵，其中国槐比白皮松多80棵．
（1）求国槐和白皮松各需多少棵？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批国槐和白皮松全部运往该路段．已知每辆甲种货车最多可装国槐40棵和白皮松10棵，每辆乙种货车最多可装国槐和白皮松各20棵．如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．请问应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【分析】（1）设白皮松需要x棵，则国槐需要（x+80）棵，根据需国槐和白皮松共320棵，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆甲种货车，则租用（8﹣m）辆乙种货车，根据要一次性将这批国槐和白皮松全部运往该路段，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各租车方案，利用总运费＝每辆车的运费×租车数量，即可分别求出各租车方案所需运费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设白皮松需要x棵，则国槐需要（x+80）棵，
依题意得：x+80+x＝320，
解得：x＝120，
∴x+80＝200（棵）．
答：国槐需要200棵，白皮松需要120棵．
（2）设租用m辆甲种货车，则租用（8﹣m）辆乙种货车，
依题意得：，
解得：2≤m≤4．
∵m为整数，
∴m可以取2，3，4，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用2辆甲种货车，6辆乙种货车，运费为400×2+360×6＝2960（元）；
方案2：租用3辆甲种货车，5辆乙种货车，运费为400×3+360×5＝3000（元）；
方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车，运费为400×4+360×4＝3040（元）．
∵2960＜3000＜3040，
∴选择方案：租用2辆甲种货车，6辆乙种货车可使运费最少，最少运费是2960元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（12分）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠D＝30°．
①∠BAD+∠BCD＝　270°　；
②连接BD，得到△ABD，将△ABD绕点B顺时针旋转至△CBD'，连接DD'，若AD＝3，CD＝4，画图并求出BD的长度；
问题解决：
（2）如图2，已知四边形ABCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，那么线段AC的长是否存在最小值，若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由四边形内角和为360°即可求解；
（2）证△DBD'是等边三角形，得BD＝DD'，再证∠DCD'＝90°，然后由勾股定理求出DD'＝5，即可求解；
（3）将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，过E作EH⊥CB交CB的延长线于H，则BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，设BE＝CD＝x，证△ACE是等腰直角三角形，得EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，则EC的值最小时，AC的值最小，再证∠BEH＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得BH＝x，EH＝x，然后在Rt△CEH中，由勾股定理得EC2＝EH2+CH2＝（x）2+（x+12﹣x）2＝（x﹣6）2+324，当x＝6时，EC2的长最小，此时EC＝18，AC＝EC＝9．
【解答】解：（1）∵四边形内角和为360°，∠ABC＝60°，∠D＝30°，
∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣60°﹣30°＝270°，
故答案为：270°；
（2）如图2所示：
由旋转的性质得：∠DBD'＝60°，△CBD'≌△ABD，
∴∠CBD'＝∠ABD，CD'＝CD，BD'＝AD＝3，
∴△DBD'是等边三角形，
∴BD＝DD'，
由（1）得：∠BAD+∠BCD＝270°，
∴∠BCD'+∠BCD＝270°，
∴∠DCD'＝360°﹣（∠BCD'+∠BCD）＝360°﹣270°＝90°，
∴DD'＝＝＝5，
∴BD＝DD'＝5；
（3）线段AC的长存在最小值，理由如下：
如图2中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，过E作EH⊥CB交CB的延长线于H，
则BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，设BE＝CD＝x，
∵AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，
∴EC的值最小时，AC的值最小，
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，
∴∠BEC+∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠EBH＝180°﹣120°＝60°，
∵EH⊥CB，
∴∠EHB＝90°，
∴∠BEH＝90°﹣60°＝30°，
∴BH＝x，EH＝x，
∵CD+BC＝12，CD＝x，
∴BC＝12﹣x
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EC2＝EH2+CH2＝（x）2+（x+12﹣x）2＝x2﹣12x+432＝（x﹣6）2+324，
当x＝6时，EC2的长最小，
此时EC＝18，AC＝EC＝9，
即AC的最小值为9．


【点评】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值问题，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明△ACE为等腰直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
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