2020-2021学年陕西省西安市新城区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年陕西省西安市新城区八年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年陕西省西安市新城区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上，将该项涂黑）
1．（3分）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　）
A．4＞1 B．x＜3 C．＜2 D．4x﹣3＜2y﹣7
2．（3分）在下列现象中，属于平移的是（　　）
A．月亮绕地球运动
B．翻开书中的每一页纸张
C．教室可移动黑板的左右移动
D．投掷出去的铅球
3．（3分）若a＞b，则下列不等式变形不正确的是（　　）
A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣1＞b﹣1 C．am＜bm D．+1＞+1
4．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
5．（3分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既不是轴对称图形又不是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（　　）
A．65° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab+a﹣b+1．例如，2※4＝2×4+2﹣4+1＝7．请根据上述的定义，若不等式2※x＞8，则该不等式的解集为（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＜5 D．x＞5
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：　 　．
12．（3分）将点P（﹣3，﹣2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到点的坐标为　 　．
13．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图，则不等式kx+b＞0的解集是　 　．

14．（3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限．将等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B'的坐标是　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共78分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（5分）解不等式3（x﹣2）﹣1＜2，并把它的解集在数轴上表示出来，
16．（5分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，分别将△ABC向左平移3个单位长度后得到△A1B1C1，绕着点A顺时针旋转90°后得到△A2B2C2．
（1）画出平移后的△A1B1C1．
（2）画出旋转之后的△AB2C2．

17．（5分）解不等式组：．
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC边上确定一点P，使得∠APC＝∠BAC．（要求保留作图痕迹，不写作法）

19．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．

20．（7分）如图，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的图形．A，B，D三点在同一条直线上，∠F＝35°．
（1）试判断CE，AD之间的数量关系，并说明理由．
（2）求∠EBC的度数．

21．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若AC＝4，BC＝3，求AF的长．

22．（7分）已知方程组的解满足x为非负数，y为正数．
（1）求m的取值范围．
（2）若不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1，求满足条件的整数m的值．
23．（8分）如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CB．
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．

24．（10分）嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？
25．（12分）已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．

2020-2021学年陕西省西安市新城区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上，将该项涂黑）
1．（3分）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　）
A．4＞1 B．x＜3 C．＜2 D．4x﹣3＜2y﹣7
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B．是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C．是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．是二元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．（3分）在下列现象中，属于平移的是（　　）
A．月亮绕地球运动
B．翻开书中的每一页纸张
C．教室可移动黑板的左右移动
D．投掷出去的铅球
【分析】根据平移的性质，对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、月亮绕地球运动是旋转，不是平移，故本选项不符合题意；
B、翻开书中的每一页纸张是旋转，不是平移，故本选项不符合题意；
C、教室可移动黑板的左右移动，符合平移的特点，是平移，故本选项符合题意；
D、投掷出去的铅球有旋转，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的平移，平移的特点是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，学生容易混淆图形的平移和旋转．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式变形不正确的是（　　）
A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣1＞b﹣1 C．am＜bm D．+1＞+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1，故本选项不符合题意；
C．当m≥0时，不能从a＞b推出am＜bm，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴＞，
∴+1＞+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为D．
5．（3分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既不是轴对称图形又不是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：左起第一、四两个图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形；
第二个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第三个是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．（3分）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（　　）
A．65° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】在表示数轴时，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．而它们相交的地方加上阴影即为不等式的解集在数轴上的表示．
【解答】解：两个不等式的公共部分是在数轴上，5以及5右边的部分，因而解集可表示为：
故选：D．

【点评】注意不等式组解的解集在数轴上的表示方法，当包括原数时，在数轴上表示应用实心圆点表示方法，当不包括原数时应用空心圆圈来表示．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出DE，根据角平分线的性质求出CD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
则×AB×DE＝16，即×8×DE＝16，
解得，DE＝4，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4，
故选：B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．（3分）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab+a﹣b+1．例如，2※4＝2×4+2﹣4+1＝7．请根据上述的定义，若不等式2※x＞8，则该不等式的解集为（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＜5 D．x＞5
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式，再进一步求解即可．
【解答】解：∵2※x＞8，
∴2x+2﹣x+1＞8，
解得x＞5，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．
【解答】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，
∴BE＝BD＝
同理可得，CF＝，
∴BE+CF＝＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出CF和BE的长是解此题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：　两直线平行，同位角不相等　．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．（3分）将点P（﹣3，﹣2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到点的坐标为　（﹣1，﹣5）　．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点P（﹣3，﹣2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到点的坐标为（﹣3+2，﹣2﹣3），
即（﹣1，﹣5），
故答案为：（﹣1，﹣5）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图，则不等式kx+b＞0的解集是　x＞1　．

【分析】不等式kx+b＞0的解集就是图象在x轴的上边的部分的x的取值范围，据此即可求解．
【解答】解：不等式kx+b＞0的解集是x＞1．
故答案是：x＞1．
【点评】此题为一次函数与不等式的简单应用，搞清楚交点意义和图象的相对位置是关键．
14．（3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限．将等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B'的坐标是　（2，﹣2）　．

【分析】作B′H⊥x轴于H，解直角三角形求出OH，HB′可得结论．
【解答】解：作B′H⊥x轴于H，如图，
∵等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，
∴A′落在x轴上，
∵△OA′B′为等边三角形，
∴OH＝A′H＝2，∠B′OA′＝60°，
∴B′H＝OH＝2，
∴B′点坐标为（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等边三角形的性质．
三、解答题（本大题共11小题，共78分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（5分）解不等式3（x﹣2）﹣1＜2，并把它的解集在数轴上表示出来，
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去括号，得：3x﹣6﹣1＜2，
移项，得：3x＜2+6+1，
合并，得：3x＜9，
系数化为1，得：x＜3，
将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16．（5分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，分别将△ABC向左平移3个单位长度后得到△A1B1C1，绕着点A顺时针旋转90°后得到△A2B2C2．
（1）画出平移后的△A1B1C1．
（2）画出旋转之后的△AB2C2．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出B，C的对应点2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△AB2C2即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC边上确定一点P，使得∠APC＝∠BAC．（要求保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作AC的垂直平分线交BC于点P，根据垂直平分线的性质可得PC＝PA，可得∠C＝∠PAC＝∠B，再根据三角形内角和即可得∠APC＝∠BAC．
【解答】解：如图，作AC的垂直平分线交BC于点P，

所以点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂直平分线性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】求出∠CBF＝90°，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB＝CB，再根据等腰三角形的判定推出即可．
【解答】证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
20．（7分）如图，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的图形．A，B，D三点在同一条直线上，∠F＝35°．
（1）试判断CE，AD之间的数量关系，并说明理由．
（2）求∠EBC的度数．

【分析】（1）利用平移的性质解决问题即可．
（2）利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）结论：AD＝2EC．
理由：由平移的性质可知，AB＝EC，BD＝CE，
∴AD＝2CE．

（2）∵BC＝EF，BC∥EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴∠EBC＝∠F＝35°．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若AC＝4，BC＝3，求AF的长．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝5，根据旋转的性质得到BE＝BC＝3，EF＝AC＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝3，EF＝AC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2，
∴AF＝＝＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．（7分）已知方程组的解满足x为非负数，y为正数．
（1）求m的取值范围．
（2）若不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1，求满足条件的整数m的值．
【分析】（1）解方程组得出，根据x为非负数，y为正数得出关于m的不等式组，解之可得答案；
（2）根据不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1得出m+1＜0，即m＜﹣1，结合﹣3≤m＜2知﹣3≤m＜﹣1，从而得出答案．
【解答】解：（1）解方程组得，
根据题意，得：，
解得﹣3≤m＜；
（2）∵不等式（m+1）x＜m+1的解集为x＞1，
∴m+1＜0，
解得m＜﹣1，
又﹣3≤m＜，
∴﹣3≤m＜﹣1，
则整数m的值为﹣3、﹣2．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（8分）如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CB．
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．

【分析】（1）根据题意，平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论成立；
（2）先证明Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质得到AE＝AB，CE＝CB，根据线段的垂直平分线的判定即可得到AC垂直平分BE．
【解答】证明：（1）∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB；
（2）由（1）知，CE＝CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE＝AB，CE＝CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质证得∠DAC＝∠CAB．
24．（10分）嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？
【分析】（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，根据“嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，利用消耗总热量＝每个波比跳消耗热量×做波比跳的数量+每个深蹲消耗热量×做深蹲的数量，结合要消耗至少200大卡，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，
依题意得：，
解得：．
答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡．
（2）设要做m个波比跳，则要做＝（120﹣m）个深蹲，
依题意得：5m+0.8（120﹣m）≥200，
解得：m≥24．
又∵m为整数，
∴m的最小值为25．
答：嘉嘉至少要做25个波比跳．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（12分）已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．
【分析】（1）先判断出△CQB≌△CPA，即可得出∠CBQ＝∠CAP＝90°．
（2）如图2，根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，则∠ACP＝∠BCQ，根据“SAS”可证明△ACP≌△BCQ，得到∠APC＝∠Q，然后利用三角形内角和定理可得到∠QEP＝∠PCQ＝60°．
（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，由∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，qcAH，CH，可求出PH的长，即可得出结论．
【解答】解：（1）结论：BC⊥EQ．
理由：如图1，QE与CP的交点记为M，

∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CBQ＝∠CAP，
∵∠CAP＝90°，
∴∠CBQ＝90°，
∴CB⊥EQ．

（2）∠QEP＝60°．
理由如下：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，
∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC＝∠Q，
∵∠BOP＝∠COQ，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°．

（3）作CH⊥AD于H，如图3，

与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝45°，∠PCB＝45°，
∴∠HAC＝60°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝AC＝3，CH＝AH＝3，
在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，
∴PA＝PH﹣AH＝3﹣3，
∴BQ＝3﹣3．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，判断出△ACP≌△BCQ是解本题的关键．
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