专训四十二、关于原点对称的点的坐标-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训四十二、关于原点对称的点的坐标

牛刀小试

1．（2021·江苏海安·初三月考）点与点关于原点对称，则（　　）

A．1 B．-1 C．-5 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．

【详解】

解：∵点与点关于原点对称，

∴,

∴,

∴;

故选：B．

【点睛】

本题考查了关于原点 对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．

2．（2021·陕西西安·高新一中初二月考）在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）

A．33 B．－33 C．－7 D．7

【答案】D

【解析】

试题分析：关于原点对称的两个点，横坐标和纵坐标分别互为相反数．根据性质可得：a=－13，b=20，则a+b=－13+20=7．

考点：原点对称

3．（2019·全国初二课时练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且，，则点P关于坐标原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．

【详解】

因为点在第二象限，且，，所以，，所以点P的坐标为，所以点P关于坐标原点对称的点的坐标是．故选B．

【点睛】

此题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键在于利用第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数得到P点坐标.

4．（2021·上海市建平中学期末）已知点 与点关于轴对称，点与点关 于原点对称．

（1）求点、、、的坐标；

（2）顺次联结点 、、、，求所得图形的面积．

【答案】（1）A（-1，2），B（-1，-2），C（3，-1），D（-3，1）；（2）12

【解析】

【分析】

（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A-D-B-C-A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．

【详解】

解：（1）∵点A（-1，3a-1）与点B（2b+1，-2）关于x轴对称，
∴2b+1=-1，3a-1=2，
解得a=1，b=-1，
∴点A（-1，2），B（-1，-2），C（3，-1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（-3，1）；
（2）如图所示：
 

四边形ADBC的面积=三角形ABD的面积+三角形ABC的面积=×4×2+×4×4＝12．

【点睛】

本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

5．（2018·全国初三课时练习）若x1、x2是方程5x2-4x-1=0的两个根，且点A（x1，x2）在第二象限，点B（m，n）和点A关于原点O对称，求的值．

【答案】

【解析】

【分析】

用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，确定点A的坐标,根据关于原点对称的点的坐标,得到点B坐标,求出m、n的值，然后代入代数式求出代数式的值.

【详解】

解：因为点A（x1，x2）在第二象限，所以x1<0，x2>0．

方程5x2-4x-1=0的两个根是x1=-，x=1．

又因为点B和点A关于原点对称，所以m=，n=-1．

所以=．

【点睛】

本题考查了用因式分解法解一元二次方程,平面直角坐标系中点的坐标特征，关于原点对称的点的特征,确定m、n的值是解答本题的关键.

熟能生巧

6．（2018·全国初三课时练习）若点A的坐标是（a，b）且a、b满足+b2+4b+4=0，求点A关于原点O的对称点A′的坐标．

【答案】A′（-3，2）．

【解析】

【分析】

先把+b2+4b+4=0变形为+（b+2）2=0，然后根据二次根式和偶次方的非负性可得，从而可求出a和b的值，再根据中心对称的性质可求出点A′的坐标．

【详解】

解：因为+b2+4b+4=0，

所以+（b+2）2=0．

因为≥0，（b+2）2≥0，

所以a-3=0，b+2=0．即a=3，b=-2，

所以点A的坐标是（3，-2）．

又因为点A和点A′关于点O对称，所以A′（-3，2）．

【点睛】

本题考查了二次根式和偶次方的非负性，中心对称的性质，熟练掌握关于原点对称的两个点，横纵坐标都是互为相反数的关系式解答本题的关键.

7．（2021·沧州市第十四中学初三月考）点M(1，a)和点N（b，-2)关于原点对称，则（a+b）2021=__________．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据关于原点对称的点的坐标特点可得、的值，进而得到答案．

【详解】

∵点M(1，)、点N（，-2)关于原点对称，
∴，，
，
故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

8．（2021·宜春市宜阳学校初三期中）已知点与点关于原点对称，则的值等于______．

【答案】-4

【解析】

【分析】

利用关于原点对称点的性质求出x，y的值，进而求出答案．

【详解】

解：∵点与点关于原点对称，

∴x-2=-4，y-5=-3，

∴x=-2，y=2，

∴xy=（-2）×2=-4．

故答案为：-4

【点睛】

本题考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标，横坐标都互为相反数）得出x，y的值是解题关键．

9．（2021·山东泗水·初三期中）在平面直角坐标系中，点A（-5，b)关于原点对称的点为B（a，6），则(a+b)=____．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．

【详解】

解：点A（-5，b）关于原点对称的点为B（a，6），得
a=5，b=-6．
（a+b）2019=（-1）2019=-1，
故答案为：-1．

【点睛】

本题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

10．（2021·全国初三课时练习）已知点关于原点的对称点在第一象限内，且为整数，则关于的分式方程的解是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可知点关于原点的对称点为，由此列出不等式组，求出a的取值范围，并根据已知条件确定a的值，将a的值代入分式方程即可求解．

【详解】

∵点关于原点的对称点在第一象限内，点关于原点的对称点为，

∴，解得，

∵为整数，

∴，把代入分式方程中，得，

整理得，解得

经检验，x=3是分式方程的解，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系、解分式方程，还涉及到一元一次不等式组，理解题意确定参数a的值是解题关键．

庖丁解牛

11．（2021·江苏南通第一初中初三月考）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点的相关函数． 例如：当时，函数关于点的相关函数为．

当，时

①一次函数关于点的相关函数 ；

②点在函数关于点的相关函数的图象上，求的值．

函数关于点的相关函数，则        ；

当时，函数关于点的相关函数的最大值为，求的值．

【答案】（1）①；②；（2） ；（3）m的值为或

【解析】

【分析】

（1）①由相关函数的定义，将y=x-1旋转变换可得相关函数为y=x+1；

②将（，−）代入y＝a(x−)2−1−a可得a的值，

（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；

（3）在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．

【详解】

解：（1）①当时，则，∴关于原点对称的函数为y=x+1；

②∵y＝−ax2−ax+1＝−a(x+)2+1+a，

∴y=-ax2-ax+1关于点P(0，0)的相关函数为y＝a(x−)2−1−a，

∵点A(，−)在函数y＝a(x−)2−1−a的图象上，

∴−＝a(−)2−1−a，

解得a=，

（2）∵函数y=(x-1)2+2的顶点为(1，2)，函数y=-(x+3)2-2的顶点为(-3，-2)，这两点关于点P中心对称，

∴＝m，

∴m=-1，

故答案为：-1．

（3）∵y＝x2−mx−m2＝(x−m)2−m2，

∴y＝x2−mx−m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝−(x−m)2+m2，

①当m≤m−1，即m≤-2时，y有最大值是6，

∴−(m−1−m)2+m2＝6，

∴m1＝1−，m2＝1+（不符合题意，舍去），
②当m−1≤m≤m+2时，即-2＜m≤4时，当x＝m时，y有最大值是6，

∴m2＝6∴m1＝2，m2＝−2（不符合题意，舍去），

③当m＞m+2，即m＞4时，当x=m+2时，y有最大值是6，

∴−(m+2−m)2+m2＝6，

∴m＝−2±2（不符合题意，舍去），

综上，m的值为1−或2．

【点睛】

本题考查了新定义问题，二次函数的性质以及中心对称，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．