专训四十六、圆内接四边形的计算-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训四十六、圆内接四边形的计算

牛刀小试

1．（2021·宁县南义初级中学初三月考）圆内接四边形中，已知，则的对角（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补求解即可．

【详解】

解：∵四边形是圆的内接四边形， ，

∴180°-80°=100°．

故选D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角．

2．（2021·西安交通大学附属中学雁塔校区初三三模）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．

【详解】

解：设∠BAD=x，则∠BOD=2x，
∵∠BCD=∠BOD=2x，∠BAD＋∠BCD=180°，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠BAD=60°，
故选：C．

【点睛】

本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

3．（2019·北京市陈经纶中学初三期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）

A．130° B．120° C．80° D．60°

【答案】B

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．

考点：圆内接四边形的性质．

4．（2021·河北裕华·石家庄外国语学校初三三模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（　　）

A．80° B．100° C．120° D．160°

【答案】D

【解析】

【分析】

在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．

【详解】

解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．

∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，

∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，

∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．

故选：D．

【点睛】

此题考查的是圆的内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆的内接四边形的对角互补和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键．

5．（2019·天津滨海新·初三期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝68°，则∠ABD的度数为(    )

A．34° B．56° C．68° D．112°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠A，然后根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】

解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴∠ABD＝(180°﹣∠A)＝34°，

故选：A.

【点睛】

本题考查的圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

熟能生巧

6．（2019·广东澄海·中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC＝∠EBC＝55°，

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝55°，

∴∠DAC＝70°，

由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，

故选D．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．

7．（2017·天津滨海新·初三期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于

A．30° B．35°

C．40° D．45°

【答案】D

【解析】

试题解析：连接AC；

∵四边形ABCD是圆的内接正方形，

而∠ABP=∠ACP,

则

故选D.

8．（2021·山东宁阳·初三期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（    ）

A．140° B．130° C．120° D．110°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆周角定理求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B，求出∠D+∠B=180°，再代入求出即可.

【详解】

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=40°，

∴∠B=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=50°，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠D+∠B=180°，

∴∠D=130°，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握，即可解题.

9．（2021·江苏南京一中初三月考）如图，四边形内接于，与为对角线，，过点作交的延长线于点．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用平行线的性质结合已知条件证得，利用平角及圆内接四边形的性质证得，利用三角形内角和定理证得，从而证明结论．

【详解】

证明：∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．

10．（2021·江苏南京·初三月考）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点

求证：（1）；

（2）为⊙O的切线．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；

（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，

∴∠EAM＝∠EBC，

∵AE平分∠BAM，

∴∠BAE＝∠EAM，

∵∠BAE＝∠BCE，

∴∠BCE＝∠EAM，

∴∠BCE＝∠EBC，

∴BE＝CE；

（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，

∵OB＝OC，EB＝EC，

∴直线EO垂直平分BC，

∴EO⊥BC，

∵EF//BC，

∴EO⊥EF，

∵OE是⊙O的半径，

∴EF为⊙O的切线．

【点睛】

本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

庖丁解牛

11．（2021·江西寻乌·初三期末）（1）解方程：

（2）如图，四边形是的内接四边形，若，求的度数．

【答案】（1）；（2）136°

【解析】

【分析】

（1）提出公因式(x-2)，将方程转化为两个因式的积等于零的形式，即可得出两个一元一次方程，再求解即可；

（2）先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出∠BAD，然后根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠BCD．

【详解】

（1）解：，

，

∴或，

解得：；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

即的度数是136°．

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程和圆周角定理、圆内接四边形的性质，正确的将方程转化为两个因式的积等于零的形式是解决（1）的关键；熟记圆周角定理和圆内接四边形的性质是解决（2）的关键．